微积分期末测试题及答案

1、5.已知limf(x)=0及(x_x0g(x)为任意函数时仅当limg(x)=0时xt。，则limf(x)g(x)=0.x_0当g(x)为有界函数时仅当limg(x)存在时xx0以上结论都不对).-1f(a)3).(-OO,+OO)导数不存在单项选择题(每小题3分，共15分)1 .设limf(x)=k,那么点x=a是贻)的().x-a连续点可去间断点跳跃间断点f(a-h)-f(a-2h)2 .设f(x)在点x=a处可导，那么lim=(h>0h3f(a)2f'(a)f'(a)3 .设函数f(x)的定义域为卜1,1,则复合函数f(sinx)的定义域为(-1,1)，(0,+&#

2、176;°)IL22、一f(x)f(a)一4 .设lim2=1，那么f(x)在2处().xT(x-a)导数存在，但f(a)=0取得极大值取得极小值填空题(每小题5分，共15分)x-sinx1. limxx2. lim(1x-:二1x3)x3x3. f(x)Jsinx2,那么左导数f_0)，右导数f«0)=三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分，共40分)1 11. lim(-)，求2dy2dxx1lnxx-1x=e2.y=te2Tdy3.y=ln(x+%+x)，求dy和1dx4.由方程ex十-xy=0确定隐函数y=f(x)，求.dx，求limxx-:二5 .设x1=1,

3、xn6 .lim(3x./axbx-,-c)=2，求常数a,b.x-四证明题(每小题10分，共30分)f(x)f(x)1.设f(x)在(-8,+oo)上连续，且lim=lim=0,证明：存在亡W(-O0,)，使x：二xxuxf().=0.，.一一,一一,一一，一f(x)2 .右函数f(x)在a,+00上可导，对任息xC(a,+°°)，有f(x)<M,M是吊数，则lim=0.xx1,一，3 .证明函数y=sin在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续.x答案一单项选择题(每小题3分，共15分)1.2.3.4.5.二填空题(每小题5分，共15分)xsinx1.

4、lim=1.x-x-sinx1 x32. lim(1+)=e.xx3. f(x)=Jsinxx1lnx1-1,那么左导数f&0)=_-1_，右导数f(0)=1.三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分，共40分)111,lim(-)x二lim二二lnxx-111 -111(x-1)-lnxx-1斛:lim()=lim=lim=limx1lnxx-1x1(x1)lnxx1(x1)xwxlnxx-1lnxx2dyt，求一dxx=et2,y=tedydydttt1斛：=(e-te)=(t-1)dxdtdxeddy2()dy_dtdx_1_2tdxdxedt2丁dy3.y=In(x+5+x)

5、，求dy和dx解：dy=dIn(x<.;1-x2)=d(xx，二一x2.?1-x2)(dx-d(,1-x2)x(dxdx),1，x2-12dy2dx1dx,2xd1二dx1x22x=_(1-x2)3(1x.ydy4.由方程e-xy=0确te隐函数y=f(x)，求一.dx解：方程两边求微分得xd(ex.ye*xy)=0,即dex(dx，dy)=ydx=dxy-xdydyy-ex+dxex"，求limxnx-:二证明：先证x单调增加.显然x7>x1,设n=k时成立，即Xk>x,n2Ikk1n=k+1时,xk+_xk=(1+xk/xk1)-(1-)xk(1-xk1)-xk

6、1(1-xk)>0,所以xn单调增加；(1xk)(1-xk1)(1xk)(1-xk1)xnlimn0xn6.lim(3xx-:二解：显然xn1<2,所以=a，则limxn.nJ0=1+3,得a由单调增加有界数列必有极限得xn收敛.=lim(1n-.0xn1Timxn0n1-.51_5乙+(a=舍去).c:-；ax2-bx，c)=2，求常数a,b.a>0,lim(3x-.ax2bx-c)x-二二3x,ax2bxc=lim-x>:-(3xFax2+bx-c)(3-cax2bx-c)=lim3x，'fax2'bx-cbca一一=limJ，9x-axbx-c9x

7、-axb-3a所以，9a=0,-b2,得a=9,b=3四证明题(每小题10分，共30分)、一一f(x)1.设f(x)在(-8,+oo)上连续，且limJ,x=limf(x)、一.=0,证明:存在:w(-0o,+0C)，使f()''=0.一一,f(x)证明：因为lim=0,所以对0<e<1,存在X>0,使得当xX时，有f(x)xx<6成立，即一xE<f(x)<x&,故一x(名+1)<f(x)x<x(s1)<0,取b>X,所以当x之b时有f(x)x<0,特别的f(b)<0.同理可得存在a<0,使得

8、f(a)>0.而f(x)在(，)上连续，所以在闭区间a,b连续，从而f(x)=f(x)-x在a,b上连续，而F(a)<0,F(b)>0,所以由闭区间上连续函数性质(零点存在定理)得存在t(-oo,-He),使得f(b=f(t)+U=0.f(x)2 .右函数f(x)在a,+8上可导，对任意xC(a,+8)，有f，(x)<m,M是常数，则lim=0.Xx证明：因为f(x)在区间(a,十元)满足f*(x)WM,所以满足李普希兹条件，即：对任意的x1,x2(a,+oc),有f(x1)_f(x2)<Mx1_x2令b>a,则xW(a,-He),有f(x)-f(b)<

9、;Mx_b成立.f(x)-f(b)2x则当xx时，f(x)xf(x)-f(b)lim2x-x=0,所以得证.,而、f(x)f(x)-f(b)=0,故要证lim=0,只需证1而=0.，2'2xJ：.x2<4一<2<xxxI2Mr，2M只需x>即可，令X=maxb,)二xxb时，对任意给定的g>0,要使f(x)-f(b)Mlx-bMx+Mb2M13 .证明函数y=sin在(c,1)内一致连续，但在(0,1)内非一致连续x证明：设0<c<x,x0<1,对任意的£>0,要使111111sin-sin=2cos(+)sin(一)x-x02xx°xx0:2:-cxx02x2x02x2x0x+x0xx0=2cos()sin()<22xx02xx0只需x-x0一一一，_，,，-2，一一所以对任息的8>0,存在6=cE>0,当x-x0<6时，有sin1一sinx<8成立，故y=s