概率论与数理统计公式超全版

1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式-nm!,人人,Pm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数.(mn)!nm!Cm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数.n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,那么这件事可由m+n种方法来完成.乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,那么这件事可由mxn种方法来完成.(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和

2、随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,那么称这种试验为随机试验.试验的可能结果称为随机事件.(5)根本领件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质：每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件,都是由这一组中的局部事件组成的.这样一组事件中的每一个事件称为根本领件,用来表示.根本领件的全体,称为试验的样本空间,用表示.一个事件就是由中的局部点(根本领件)组成的集合.通常用大写字母A,B,C,表示事件,它们是的子集.为必然事件,？为不可能事件.

3、不可能事件(？)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件.(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成局部也是事件B的组成局部,(A发生必有事件B发生)：AB如果同时有AB,BA,那么称事件A与事件B等价,或称A等于B：A=BAB中至少有一个发生的事件：AB,或者A+Bo属于A而不属于B的局部所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件.A、B同时发生：AB,或者ABAB=?,那么表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥.根本领件是互不相容的.-A称

4、为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为Ao它表示A不发生的事件.互斥未必对立.运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)AiAi_德摩根率：i1iABAB,ABAB(7)概率的公理化定义设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),假设满足以下三个条件：1°0<P(A)<1,2°P(Q)=13.对于两两互不相容的事件A1,A2,有PAiP(Ai)i1i1常称为可列(完全)可加性.那么称P(A)为事件A的概率.(8)古典概型1°1 1,2

5、n,o_12 P(1)P(2)P(n)一.n设任一事件A,它是由1,2m组成的,那么有P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(mA所包含的根本领件数n根本领件总数2)P(m)(9)几何概型假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述,那么称此随机试验为几何概型.对任一事件A,P(A)L(A).其中L为几何度量(长度、面积、体积).L()(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时,P(A-B)=P

6、(A)-P(B)当A=Q时,P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,那么称P(AB)为事件a发生条件下,事件B发生的条件概率,记为P(A)P(B/A)P(AB).P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率.例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地,对事件A,X,An,假设P(A1AA-1)>0,那么有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).P(An|A1A2.An1).(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(

7、A)P(B),那么称事件假设事件A、B相互独立,且P(A)0,那么有P(B|A)迪P(B)P(A)P(A)假设事件A、B相互独立,那么可得到A与B、A与B必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立.?与任何事件都互斥.多个事件的独立性设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)A、B是相互独立的.、A与B也都相互独立.并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互独立.对于n个事件类似.(15)全概公式设事件B1,B2,Bn满足1.B1,B2,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i1,2,n

8、),nABi2°i1,那么有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)o(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,Bn及A满足1°B1,B2,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i1,2,n,n2.Ai1Bi,P(A)0,那么P(Bi)P(A/Bi)iP(Bi/A)-nL1,2,n.P(BJP(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式.P(Bi),(i1,2,n),通常叫先验概率.P(Bi/A),(i1,2,n),通常称为后验概率.贝叶斯公式反映了“因果的概率规律,并作出了“由果朔因的推断.(17)伯努利概型我们作了n次试验,且满足每次试验只有

9、两种可能结果,A发生或A不发生；n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的.这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验.用P表示每次试验A发生的概率,那么A发生的概率为1Pq,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,d(k)C：Pkqnk,k0,1,2,n.第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk,k=1,2,那么称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.有时也用分布列的

10、形式给出：Xx1,x2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,显然分布律应满足以下条件：pk1(1)pk0k1,2,(2)k1.(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数,假设存在非负函数f(x),对任意实数x,有xF(x)f(x)dx那么称X为连续型随机变量.f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度.密度函数具有下面4个性质：1 f(x)0.f(x)dx12°o(3)离散与连续型随机变量的关系P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似.(4)分布函数设

11、X为随机变量,x是任意实数,那么函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数.P(aXb)F(b)F(a)可以得到x落入区间(a,b的概率.分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率.分布函数具有如下性质：1.0F(x)1,x;2°F(x)是单调不减的函数,即x1x2时,有F(x1)F(x2)；3 F()limF(x)0,F()limF(x)1;xx4 .F(x0)F(x),即F(x)是右连续的；5.P(Xx)F(x)F(x0).x对于离散型随机变量,F(x)pk；对于连续型随机变量,F(x)f(x)dxoxkx(5)八大分布0-1分布P(X=1)

12、=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p.事件A发生的次数是随机变量,设为X,那么X可能取值为0,1,2,n.P(Xk)Pn(k)C：pkqnk,其中q1p,0p1,k0,1,2,n,那么称随机变量X服从参数为n,p的二项分布.记为XB(n,p).,、k1k当n1时,P(Xk)pq,k0.1,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例.泊松分布设随机变量X的分布律为kP(Xk)e,0,k0,1,2,k!那么称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X-()或者P().泊松分布为二项分布的极限分布(np=入,n-8).超几何分布p/xcM?cnMk0,1

13、,2,iP(Xk)n,CNlmin(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M).几何分布、k1,一一P(Xk)qp,k1,2,3,其中p).,q=1-p.随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)o均匀分布1设随机变量X的值只落在a,b内,其密度函数f(x)在a,b上为常数,即ba1awx<bf(x)ba,O其他,那么称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为XU(a,b).分布函数为0,x<a,xax<baa<x<bF(x)f(x)dx1,x>b.k当awxyxzwb时,X落在区间(x1,x2)内的概率为x2x1P(x1Xx

14、2)1.ba指数分布xre,x0f(x)J0,x0,其中0,那么称随机变量X服从参数为的指数分布.X的分布函数为xxx1 e,x0F(x)10,00,x<0.记住积分公式：xnexdxn!0正态分布设随机变量X的密度函数为(x)2.1c2f(x)万e2,x其中、0为常数,那么称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)、,4,2、分布,记为XN(,).f(x)具有如下性质：1 .f(x)的图形是关于x对称的；一.、,12 当x时,f()1为最大值;*22/M/2_假设XN(,),那么X的分布函数为(t)21 x2F(x)1e2dt<2.参数0、1时的正态分布称为标准正态分

15、布,记为Xn(0,1),其密度函数记为1金(x)-e2炎,x,分布函数为dxt21 7(x)edt.(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用.1(-x)=1-(x)且(0)=.22、X如果XN(,2),那么XN(0,1).P(x1Xx2)o(6)分位数下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)=.(7)函数分布离散型X的分布列为XX1,X2,xn,P(XXi)P1,P2,pn,Yg(X)的分布列(yig(x)互不相等)如下：Yg(x1),g(x2),g(xn),P(Yy)P1,P2,Pn,假设有某些g(xi)相等,那么应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率.连续型先利用X的概率密度fX

16、(x)写出丫的分布函数FY(y)=P(g(X)<y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy).第三章二维随机变量及其分布11)联合分布离散型如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),那么称为离散型随机量.设=(X,Y)的所有可能取值为(xj,yj)(i,j1,2,),且事件=仪,yj)的概率为Pij,称P(X,Y)3M)Pj(i,j1,2,)为=(X,Y)的分布彳聋或称为X和丫的联合分布律.联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjx1P11P12P1jx2P21P22P2jxPi1Pj这里Pij具有卜面两个性质：(1) Pj>0(i,j=1,

17、2,)；(2) Pij1.连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d)有P(X,Y)D)f(x,y)dxdy,D那么称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和丫的联合分布密度.分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y)>0;(2) f(x,y)dxdy1.(2)二维随机变量的本质(Xx,Yy)(XxYy)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)P(Xx,Yy

18、)称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和丫的联合分布函数.分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件(1,2)lX(1)x,Y(2)y)的概率为函数值的一个实值函数.分布函数F(x,y)具有以下的根本性质：(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的,即当x2>xi时,有F(xz,y)>F(xi,y);当y?>yi时,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的,即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);(4) F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)对于x1x2,y1y2,

19、F(x2,、2)F(x2,y1)F(x1,y)F(xby1)0.(4)离散型与连续型的关系P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy(5)边缘分布离散型X的边缘分布为Pi?P(Xx)Pj(i,j1,2,);Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pij(i,j1,2,).连续型X的边缘分布密度为fx(x)f(x,y)dy;丫的边缘分布密度为fy(y)f(x,y)dx.(6)条件分布离散型在X=x的条件下,丫取值的条件分布为PijP(丫yj|Xx.；Pi?在Y=y的条件下,X取值的条件分布为PijP(Xxi|Yyj)二,P?j连续型在Y=y的条件下,X的条件分布密度为f(x|y)3

20、；fY(y)在X=x的条件下,丫的条件分布密度为f(y|x)罕"fX(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型PijPi?P?j有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件：可别离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布221x12(xi)(y2)y212(12)1122f(x,y)2121=0随机变量的函数假设X1,X2,凡Xm+1,Xn相互独立,h,g为连续函数,那么：h(X1,XXm)和g(Xm+1,Xn)相互独立.特例：假设X与丫独立,那么：h(X)和g(Y)独立.例如：假设X与丫独立,那么：3X+1和5Y-2独立.(9)二维正态分布

21、设随机向量(X,Y)的分布密度函数为221x12(xi)(y2)y2_.12(12)1122f(x,y)e,212J1其中1,2,10,20,l11是5个参数,那么称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)-N(1,2,12,2,).由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即X-N(1,12),YN(2,2).但是假设XN(1,2),YN(2,；),(X,Y)未必是二维正态分布.(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)对于连a,fZ(z)=f(x,zx)dx22两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,12).n个相互独立的正态分

22、布的线性组合,仍服从正态分布.C2C22Cii,CiiZ=max,min(X1,X2,Xn)假设X1,X2Xn相互独立,其分布函数分别为Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),那么Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：Fmax(x)FXi(X)?FX2(X)FJx)Fmin(x)11Fxi(X)?1Fx2(X)1Fxn(x)2八七分布设n个随机变量X1,X2,Xn相互独立,且服从标准正态分布,可以证实它们的平方和nWX：i1的分布密度为nu11寸u2e2u0,n,f(u)2区20,u0.一,一22我们称随机变重W1从自由度为n的分布,记为w(n),其中n-1一x2exdx.20所

23、谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数.2.一分布满足可加性：设2Yi(ni1那么k2ZYi-(nn2nk).i1t分布设X,丫是两个相互独立的随机变量,且2XN(0,1),Y(n),可以证实函数TXJY/n的概率密度为n1n12t22f(t)1-(t)nnn().Vn一2我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为Tt(n).t1(n)t(n)F分布、5-2/2/、._X/n1设*2(njY2(n2),口X与y独立,可以证实F1的概率密度函数为Y/n2必ninn22ni291ni2.foy1y,y0T(y)n1n2n2明220,y0我们称随机变量F服从第一个自由

24、度为m,第二个自由度为小的F分布,记为Ff(n1,n2).F1(QN)广,、F(%,必)第四章随机变量的数字特征(1)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量,其分布律为P(Xxk)=pk,k=1,2,n,nE(X)XkPkk1(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),E(X)xf(x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(x)nE(Y)g(Xk)Pkk1Y=g(x)E(Y)g(x)f(x)dx方差D(X)=EX-E(X)2,标准差(X)Vd(x),D(X)XkE(X)2pkkD(X)xE(X)2f(x)dx矩对于正整数k,称随机变量X的k次嘉

25、的数学期望为X的k阶原点矩,记为Vk,即vk=E(Xk)=x：pi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次募的数学期望为X的k阶中央矩,记为卜,即kkE(XE(X)k,k=(XiE(X)Pi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的k次嘉的数学期望为X的k阶原点矩,记为Vk,即k、Vk=E(X)=xf(x)dx,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次嘉的数学期望为X的k阶中央矩,记为k,即kkE(XE(X)k=(xE(X)f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)=v,方差D(X)2P(|X|)-切比雪夫不等式给出了在未知

26、X的分布的情况下,对概P(|X的一种估计,它在理论上有重要意义.=b2,那么对于任意正数£,有以下切比雪夫不等式率)(2)期望的性质(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(CiXi)CiE(Xi)i1i1(4) E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：x和丫独立；充要条件：X和丫不相关.(3)方差的性质(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y

27、)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关.D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立.而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立.(4)常见分布的期望和方差期望方差0-1分布B(1,p)Pp(1p)二项分布B(n,p)npnp(1p)泊松分布P()几何分布G(p)1P1.2p超几何分布H(n,M,N)nMNnM(MNn1NNN1均匀分布U(a,b)ab2(ba)212指数分布e()1122正态分布N(,)22分布n2nt分布0n(n>2)n2(5)二维随机变量的数字特征期望nE(X)xm?i1nE(Y

28、)yjP?jj1E(X)xfX(x)dxE(Y)yfY(y)dy函数的期望EG(X,Y)=G(Xi,yj)pijEG(X,Y)=G(x,y)f(x,y)dxdy方差D(X)XiE(X)2pi?2D(Y)XjE(Y)2p?j2D(X)xE(X)2fx(x)dx2-D(Y)yE(Y)fY(y)dy协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中央矩11为X与Y的协方差或相关矩,记为XY或cov(X,Y),即xy11E(XE(X)(YE(Y).与记号XY相对应,X与丫的方差D(X)与D(Y)也可分另1记为XX与YY.相关系数对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,那么称XY,D(

29、X)JD(Y)为X与丫的相关系数,记作XY(有时可简记为).|?1,当|=1时,称X与丫完全相关：P(XaYb)1“相关正相关,当1时(a0),兀金相夫负相关,当1时(a0),而当0时,称X与丫不相关.以下五个命题是等价的： XY0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混合矩k_l对于随机变量X与Y,如果有E(XY)存在,那么称之为X与丫的k+l阶混合原点矩,记为kl；k+l阶混合中央矩记为：UklE(XE(X)k(YE(Y)T(6)协方差的性质(i) cov(X,Y)=cov(

30、Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov(Xi+X,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).独立和不相关(i)假设随机变量X与丫相互独立,那么XY0；反之不真.XY'22(ii)假设(X,Y)N(1,2,；,2,),那么X与丫相互独立的充要条件是X和丫不相关.第五章大数定律和中央极限定理(1)大数定律X切比雪夫大数定律设随机变量对于任意的工特殊情limPnXi,X2,相互独立数£,有limPn形：假设Xi,X2,J1n一Xini1,均具有有限方差,且被同一常数C所界：D(X

31、)<C(i=1,2,),那么1n1nt-Xi-E(Xi)1.ni1ni1更有相同的数学期望E(X)=g,那么上式成为1.伯努利大数定律设v是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,那么对于任意的正数£,有limPp1.nn|伯努利大数定律说明,当试验次数n很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即limPp0.nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性.辛钦大数定律设Xi,X2,limPn-,X,是相互独二11nxini1H同分布的随机变量序列,且E(X)=g,那么对于任意的正数£有1.(2)中央极限定理2XN(,)n列维一林德

32、伯格定理设随机变量Xi,X2,E(Xk),D(XQ2相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：0(k1,2,),那么随机变量nXkn7k1的分布函数,n品Fn(X)对任意的实数X,有nXknt2L/、Ck11x等工limFn(x)limp厂xieui.nnVnV2此定理也称为独立同分布的中央极限定理.棣莫弗一拉普拉斯定理设随机变量Xn为具有参数n,p(0<p<1)的二项分布,那么对于任意实数x,有2.DXnnp1x1limPxedt.nJnp(1p)V2(3)二项定理假设当N时,Mp(n,k/、父),那么NpknkCMCNMik、nkpnCnP(1P)(N).CN超几何分

33、布的极限分布为二项分布.(4)泊松定理假设当n时,np0,那么k0kk、nkCnp(1p)e(n).k!其中k=0,1,2,n,.二项分布的极限分布为泊松分布.第六章样本及抽样分布(D数理统总体在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体).我们总是把总计的根本概体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量).念个体总体中的每一个单元称为样品(或个体).样本我们把从总体中抽取的局部样品x1,x2,xn称为样本.样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n表示.在一般情况下,总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本.在泛指任一次抽

34、取的结果时,x1,x2,xn表示n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后,x1,x2,xn表示n个具体的数值(样本值).我们称之为样本的两重性.样本函数和统一设Xi,x2,xn为总体的一个样本,称计量(Xi,X2,Xn)为样本函数,其中为一个连续函数.如果中不包含任何未知参数,那么称(x1,x2,xn)为一个统计量.常见统计量及其性质-1n样本均值X-X1.nii1nc21/、2样本方差S/(Xix).n1iiJ1n,-、2样本标准差SJ(xix).nn1i1样本k阶原点矩1nMkx；,k1,2,.ni1样本k阶中央矩1nMk一(xix)k,k2,3,.ni12E(X),D(X),n匚/C*

35、2n12E(S2)2,E(S)n,1n其中S*2(XiX)2,为二阶中央矩.ni1(2)正态总体下的四大分布正态分布设x1,x2,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,那么样本函数defxu广N(0,1).7nt分布、r.-一2设x1,x2,xn为来自正态息体N(,)的一个样本,那么样本函数defxt厂t(n1),s/«n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布.2分布2、设Xi,X2,Xn为来自正态总体N(,)的一个样本,那么样本函数def(n1)S22/八w-2(n1),2,、2其中(n1)表不自由度为n-1的分布.F分布2设x1,x2,xn为来自正态息体N(,1)的一个样本

36、,而y1,y2,yn为来自正态息体一,2、N(,2)的一个样本,那么样本函数defS12/12F-1212F(n11,n21),S"f其中dn1_1n2_S12d(XiX)2,S22(yiy)2;n11i1“1i1F(n11,n21)表示第一自由度为n11,第二自由度为n21的f分布.(3)正态总体下分布的性质_2、X与S独立.第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数1,2,m,那么其分布函数可以表成F(x；1,2,m).它的k阶原k点矩VkE(X)(k1,2,m)中也包含了未知参数1,2,m,即VkVk(1,2,m).又设x1,x2,xn为总体X的n个样本值,其

37、样本的k阶原点矩为nn1kx：一n1(k1,2,m).ni1这样,我们根据“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩的原那么建立方程,即有nV1(1,2,m)xi,ni1、,/、I"1V2(1,2,m)xi,ni11nJVm(1,2,m)xi.ni1由上面的m个方程中,解出的m个未知参数(1,2,m)即为参数(1,2,m)的矩估计量.假设为的矩估计,g(x)为连续函数,那么9(?)为9()的矩估计.极大似然估计当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为f(X；1,2,m),其中1,2,m为未知参数.又设X1,X2,Xn为总体的一个样本,称nL(1,2,m)f(Xi；1,2,m)i

38、1为样本的似然函数,简记为Ln.当总体X为离型随机变量时,设其分布律为PXxp(X；1,2,m),那么称nL(X1,X2,Xn；1,2,m)p(Xi；1,2,m)i1为样本的似然函数.假设似然函数L(X1,X2,Xn；1,2,m)在1,2,m处取到最大值,那么称1,2,m分别为1,2,m的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量.lnLnn0,i1,2,miii假设为的极大似然估计,g(x)为单调函数,那么9(3为9()的极大似然估计.(2)估计量的评选标准无偏性设(X1,X2,Xn)为未知参数的估计量.假设E()=,那么称为的无偏估计量.E(X)=E(X),E(S2)=D(X)有效性设

39、11(x1,X,2,Xn)和22(X1,X,2,Xn)是未知参数的两个无偏估计量.假设D(1)D(2),那么称1比2有效.一致性设n是的一串估计量,如果对于任意的正数,都有limP(|n|)0,那么称n为的一致估计量(或相合估计量).假设为的无偏估计,且D(7)0(n),那么为的一致估计.只要总体的E(X)和D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量.(3)区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数.如果我们从样本x1,x,2,xn出发,找出两个统计量1i(Xi,X,2,Xn)与22(Xi,X,2,Xn)(12),使得区间1,2以1(01)的概率包含这个待估参数,即P121,那么称区间1,2为的置信区间,1为该区间的置信度(或置信水平).