范德蒙行列式几点应用

1、第2讲范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n阶范德蒙德行列式1x1Vn=1"1xn2nAXiXi2nAX2X2,:：=口(为一Xj%1<j祖nn2nAXnXn当这些X两两互异时，Vn#0.这个事实有助于我们理解不少结果.证明一个n次多项式之多有n个互异根.设f(x)=a0+aX+a2X2+十anXn有n+1个互异的零点X1,X2：,%书,则有f(X)=a+a1Xi+a2x2+anx：=0,1<i<n+1.a0x1alX2a2一'X1nan;0,aoX2a2X2a2一一Xnan=0,©0+Xn+an+X2由a2十一十xn由an=0.这个关于%,a,，a

2、n的齐次线性方程组的系数行列式21X1X121x2x2aamd21Xn1Xn1nX1nX2一，一:=n(x-Xj#0,1<j4=n+nXn4因此a0二a1二a2二=an=0.这个矛盾表明f(x)至多有n个互异根.例2设a1,a2,，an是n个两两互异的数.证明对任意n个数5,3,，bn,存在惟一的次数小于n的多项式L(X)：yja-a使得Lg)=b,1&iwn.证从定义容易看出L(x)的次数小于n,且L(a)=h,故只需证明唯一性即可.设f(x)=c0+Gx+c2x2+cnqXni满足2co'a|C|aic22C0a2Ga2c2n1WCn=b，n1a2Cn=b2,2co.

3、anG.anC2这个关于Co,%,.,，Cn的线性方程组的系数行列式21a1a1d21a2a2mm*21anann1a1nAa2n1an故C0,G,C2,，Cn是唯一的,必须f(x)=L(x).这个例子就是有名的拉格朗日插值公式.例3设f1(x),f2(x)，fn(x谡n1个复系数多项式，满足1+x十+xn|f1(xn)+xf2(xn)+xn/fn(xn),证明f1(1)=f2(1上=fn(1)=0.证设f1(xn)+xf2(xn)+xnfn(xn)=p(x(+x+xn)，取8=cos2"+isin2nn分别以x=S,6，mn代入,可得rn_2M1)+Sf2(1)l+snfn/1)=

4、0,片(1)+切气2(1广一十0笛“耳(1)=0，(1)+conf2(1广一十8(n'P“)fn(1)=0.这个关于f1(1Jf2(1),，储二。)的齐次线性方程组的系数行列式因此f1(1)=f2(1尸=储4(1)=0.例4设n是奇fi(x),f2(x)，fn(x)是n-1个复系数多项式，满足n1n2n3n2nn2nx_X_+x一一+1|f1(x_)+xf2(X)+x_fn,(x),证明f1(-1)=f2(1)=fnA(-1)=0.证注意到当n是奇数时，nn1n2n3x+1=(x+1)(xx+x+1),可按照例3的思路完成证明.例5设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性

5、无关.证设，1,%,，是A的两两不同的r个特征值，非零向量3,0(2，Pr适合假设汇1x2：2xr：r-0,那么有Aj(x10tl+x20t2+xrur)=0,1<j<r-1.即.r.rj-A乙x%|=乙xiA%=ZA(X%)=0，,iWi=1i=1注意到，必须X>1=x2=2=%支r=0,于是X=乂2=%=0,这证明了口口2,线性无关.例6计算行列式111甲1肾1)叼旧)中1(xJDn=*2(x1)*2(x2)*2(xn)aaaQi%)Q,(x2)Q/xn1其中Q(x)=xk+a1kxk'+ank.解注意到下面的等式:1X1：1X2：1Xn2X1：2X2Xn着俨)Q

6、(X2)"即得例7计算行列式100小10a22a121aaa、annan_2n1an_3no¥110X10X2X22X2nAn人X1X2Xn2Xn1AnJX1'产X2、'Xn'、UU31/其中/xx(x-1广(X-k+1)N厂k1解直接利用例6可得1!2!n-1!n(x-Xj)1<j4Mn例8设ai,a2,，an是正整数，证明n阶行列式Vn1a1a22a12a2n1an2ana1na2能被1n,2n(n22(n-1)整除.证直接运用例6、例7可得11Vn二a1a2aa1-1a2a2-1ai(a11Ka1-2)(a1n+2)a2(a2一1aa2-

7、2)"(a2n+2Jlananan-1an(an_1aan2广(ann+2：la11=1!2!n-1!a2.1a12&2、2Ja1n-1a2iin-1an.1能被1!2!,-n-1!=1n°2n2-n例9计算n阶范德蒙德行列式2二其中】ccosin2二sin一注意到小当且仅当由此Vnn4n-2n=：i2n2an2ann-*2-2)(n-1)整除.Vn|k可得2，nn-12ndnJVn2n12nd=-12nn，Vn的模Vn=n2,现在来确定JIVn的幅角：令"=cos+isin,;k-；j=0<j：k<n1、工k'j-0<j<

8、k<n12isin上匚对于上面考虑的j和k,总有0<k-j<n,这意味着sinU->0,因此(k-jyr2Vn|=口2sin-=n2,0<jw=nn由此可设Vn=VnP,其中0=j.k<n40<j.:k<n_1n1|j3n_2n这样就求得了Vn=i2n2.例10证明缺项的n阶范德蒙德行列式2n3n=1!2n!了n)1:211112232Vn=12333mma12n3n证按Vn的第一行展开行列式，可得Vn=22232nn=Ei=132333n112i1n!.2i1ii-1-122232n2n-13n-1nn-1n-2i-1n-2i1n-2n21/1

9、n!n-1!n-2!2!1!-12idii-1!n-i!ai,a2,，an以及由x的恒等式例11设有n个常数b1,b2，bn,n个两两不同的常数定义的一个多项式p(x).对于一个已知多项式*(t定义另一个多项式Q(x),它为上面的恒等式1x2x一.n_Jxpx11a12a1nJaib11aa22a2a一.nJa2ab2a三01an2an一.n_1anbn中将p(x),b,b2,，bn分别代之以Q(x)网4)Q(b2厂叫bn)所得的x的恒等式所确定.证明用多项式(x-aXx-a2广(x-an)除以“p(x)所得的余式为Q(x).证由于n阶范德蒙德行列式a1a22a12a2n1a1n1a2an2a

10、nn1an按题设这里的行列式的最后一列展开，可知n的多项式.从条件知对每个ai,1ai2ai-n1aip(ai000-0p(d)-b1a12a1-n1a1b11a1a；.na1bi1a2a2a29-n1a29b2i=1a2afa-na2ab2a1an2an-n1anbn1an2annanbnp(x)是个次数小于n.由拉格朗日插值公式知=0,必须p(a=b,npx)="bj【x-aj"aj同理可求出由恒等式a1a22x2a2a2n-1xn1a1n1a2Q(x：Wb：丸b2an2ann1an(bnj所定义的多项式Qx八bi【j-iai-aj设e(p(x)=q(x).(xaxx-

11、a2(xan)+r(x),其中r(x)的次数小于n.为证rx=Qx,只需证明iwiwn时，ra=Qa)即可.事实上，对每个ai,r(a)=©(p(ai)=Q(ai)是易见的，因此结论成立.例12设f(y)在a,b上连续，在(a,b)内存在2阶导数，证明在a<x<b上有fx-fafb-fa特别地，存在c(a,b),使fb-2f证在ia,b上构造函数11112y2a2xb2fyfafxfb则F(y诈ia,b上连续，在(a,b)内存在2阶导数.因F(a)=F(x)=F(b)=0,由中值定理存在a<x1<x<x2cb,使F'(x)=F'(x2)=

12、0,故再运用一次中值定理，存在cw(x，x2),使F"(c)=0,即展开行列式即得特别地，取011122a2xb2f”(c：f(a)f(x)f(b)x-b则有相应的c'w(a,b),使上式成立，即化简即得.ab.f-fa2ab一a2ab.一b22orab工b-afb-2ffa=24f”(c)例13设f(x取a,b内存在n1阶导数,a=x1<x2<<xn=b.证明存在c=(a,b),使fXf"cL=i4IIxi-xjn-1!jT证在fa,b上构造函数1xx21x1x12F(x)=1x2x21xnxnnxf(X)x；,f(x1：nx2f(x2naaxn，f(xnIF(x)在la,b内存在n-1阶导数.因f(x1)=f(x2尸=f(%)=0,反复利用微分中值定理,存在c(a,b使F(n二,c)=0,即Fn,c=按第一行展开行列式得x202x12x20n2x1n2x2n-1!n-1x1n-4x2fx1fx2fxn1x1-n-2x1f(x1:1x12x1x2sn-2x2f(x2：aLfe1R-x2a2x21xn-n-2xnf(xn:11xn2xnn-1!n4xnn2xnxnn1x1n1x2n1xn左边按最后一列展开行列式，化简可得fXir【Xi-Xjn-1!