最全的圆锥曲线轨迹方程求法

1、锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解21 .直接法32 .相关点法63 .几何法104 .参数法125 .交轨法146 .定义法16一题多解设圆Gx1斗/=1,过原点.作圆的任意弦Q,求所对弦的中点的轨迹方程.一.直接法设匕夕,制是圆.的一条弦,尸是制的中点,那么夕_L制,xWO,设曲中点为VLo,那么|加*L比1,得xL之+/;乙杼.,即点的轨22224迹方程是X12+y2=1OVxWl.24二.定义法/如90,动点夕在以1.0为圆心,为直径的圆除去原点20上,：施1=1,故点的轨迹方程为X-2+/=-0124三.相关点法设一x,y,.乂.必,其中加10,xr2x,yi=2y,而X1+y=l.二

2、2工一1尸+21,又WO,二.xWO,即x2+y2=0=7.-1+k2设点Px,y,那么x=+二-二eOJ,y=kx=21+女1+K消去女得X,2+/=_LoxWl24另解设.点1+cosJ,sin,其中cos.wl,Px,y,那么x=匕,9e0.1,y=消去.得JL+/=OVxWl2224一.直接法课本中主要介绍的方法.假设命题中所求曲线上的动点与条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点坐标*,),)后,就可根据命题中的条件研究动点形成的几何特征,在此根底上运用几何或代数的根本公式、定理等列出含有X、y的关系式.从而得到轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法.例题1等腰三角形的定点为44,2

3、),底边一个端点是8(3,5),求另一个端点.的轨迹方程.练习一1 .点4(一2,0)、8(3,0),动点P(x,y)满足尸求点尸的轨迹方程.2 .线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程？3 .动点P(x,y)到两定点43,0)和8(3,0)的距离的比等于2(即：地=2).求动点P的轨迹方程？4 .动点P到一高为h的等边AABC两顶点A、B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方,求点P的轨迹？文5.点尸与一定点尸(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1:2.求点尸的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.7.尸(4,0)是圆V+y2=36的一点,a

4、、B是圆上两动点,且满足NAPB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.8.过原点作直线/和抛物线y=i-4x+6交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.二.相关点法利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解,就得到原动点的轨迹.例题2一条长为6的线段两端点A、B分别在X、Y抽上滑动,点M在线段AB上,且AM：MB=1：2,求动点M的轨迹方程.练习二1 .点尸见,为在圆犬+y2=1上运动,求点M2x,比的轨迹方程.2 .设P为双曲线上一,2=1上一动点,o为坐标原点,M为线段0P的中4点.求点M的轨迹方程.3 .设尸(1,0),

5、M点在1轴上,P点在y轴上,且M=2而,PMVPF,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.4 .aABC的顶点8(-3,8),C(-l,-6),顶点A在曲线y?=4x上运动,求AABC重心G的轨迹方程.5 .A、B、D三点不在同一条直线上,且A(2,0)、8(2,0),AD=2,1AE=-(AB+AD),求E点的轨迹方程.6 .ZLABC的三边AB、BC、CA的长成等比数列,且|A句|Aq,点B、C坐标分别为(-1,0)、(1,0),求定点A的轨迹方程.7点A(2,0),P是圆0：/+产=4上任意一点,p在x轴上的射影为Q,QP=2QG.动点G的轨迹为C,求轨迹C的方程.8 .椭圆工十二=1

6、上任意一点P,由点P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,49点M在PQ上,且PM=2M.,点M的轨迹为C,求曲线C的方程.TT9 .如图,从双曲线C：/y2=i上一点.引直线/+,=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点尸的轨迹方程.10 .双曲线/一,2=2的左、右焦点分别为冗、F过点F?的动直线与双曲线相交于A、B两点.I假设动点M满足6卷=启+而+所其中0为坐标原点,求点M的轨迹方程；II在x轴上是否存在定点C,使&.方为常数？假设存在,求出点.的坐标；假设不存在,请说明理由.三.几何法求动点轨迹问题时,动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系,且利用平面几何的知识

7、得到包含量和动点坐标的等式,化简后就可以得到动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方程的方法称为几何法.例题3定点42,0),点P在曲线/+y2=i(xwi)上运动,NAOP的平分线交于Q点,其中.为原点,求点Q的轨迹方程.练习三L如图,在正方体ABCD-ABCD中,P是侧面BG一动点,假设P到直线BC与直线CD的距离相等,求动点P的轨迹所在的曲线.2点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与X轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B.设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.3.经过点P(4,0)的直线经过.(一1,2)的直线为假设求4与/2交点S的轨迹方程.4.求圆心在抛物线)

8、/=2x(y0)上,并且与抛物线的准线及工轴都相切的圆的方程.5 .双曲线中央在原点且一个焦点为尸(J7,0),直线y=x+l与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-士,求此双曲线方程.36 .动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程.四.参数法有时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系.如果借助中间量参数,使X,之间的关系建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,这便可得动点的轨迹方程.例题4过不在坐标轴上的定点的动直线交两坐标轴于点A、B,过A、B坐标轴的垂线交于点P,求交点P的轨迹方程.练习四1.过点P2,4作两条互相垂直的直线4,假设4交x轴于A点,乙交y

9、轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.y-fk.PC2,4)2.一个动圆的解析式为x2+y2+4x2y+6/4=0,求圆心的轨迹方程.3,过圆0：/+产=4外一点八4,0,作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹.4.点B、C是圆V+,2=4上的动点,且ABJ_AC,求BC中点P的轨迹方程.五.交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时,可选择同一个参数及动点坐标X、Y分别表示两条曲线方程,然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程,这种方法称为交轨法.例5直线/过定点(0,3),且是曲线V=4x的动弦PR的中垂线,求直线/与动弦PR交点M的轨迹方程.练习五1.求两条直线-1=0与mx+y-1=0

10、的交点的轨迹方程.2当参数m随意变化时,求抛物线y=x2+(2/+l)x+?2-1的顶点的轨迹方程.3.设A、A2是椭圆二十二=1的长轴两个端点,Pi、R是垂直于A也的94弦的端点.求直线AP与AF?交点的轨迹方程.224双曲线二一二二1(m0.n0)的顶点为由、A2,与y轴平行的直线/交双nrir曲线于点P、Qo求直线AP与Ag交点M的轨迹方程.5,椭圆上+二=1,直线1：-+-=1,P是L上一点,射线0P交椭圆于R,2416128有点Q在0P上,且满足当P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.六.定义法求轨迹方程时,假设动点轨迹的条件满足某种曲线圆、椭圆、双曲线、抛物线的定

11、义,那么可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫定义法.常见曲线：1圆：到定点的距离等于定长2椭圆：到两定点的距离之和为常数大于两定点的距离3双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数小于两定点的距离4抛物线：到定点与定直线距离相等.例题61 .设圆V+/+2x-15=0的圆心为A,直线/过点31,0且与x轴不重合,/交圆A于C、D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.证实|E4|十|E目为定值,并写出点E的轨迹方程.2 .AABC的顶点A,B的坐标分别为Y,0,4,0,C为动点,且满/.sinB+sinA=sinC,求点C的轨迹.4练习六1 .圆M：(x+l)2+/=l,圆N：(x-l)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆双切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.2 .动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1)的距离之比为逐,那么点P的轨迹是什么？3 .点M到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=O的距离小lo求点M的轨迹方程.4 .AA8C中,NA、NB、NC的对边分别为b、c,假设a,c,b依次构成等差数列,且.cb,