概率论与数理统计第五章习题

1、概率论与数理统计习题第五章大数定律及中心极限定理习题5-1据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi,(1WW16,故E(Xi)=100,D(Xi)=1002(l=1,2,化).依本章定理16P("Xi_1920)二Pi工16XXi-1600w或19201600阿父100-716-x10016£Xi-1600i-<0.840016一：，(0.8)=0.788.116从而PQXi.1920)=1_P("Xi<1920)1

2、-0.78810.2119.习题5-2设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设5000X二.二Xii=1Xi表示第i只零件的重量,则E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.01.于,所以由独立同分布中心极限定理知是5000只零件的总重量X-25002510-2500-PX2510P1->(.2)=1-0.921=0.079.50000.1:50000.1习题机地取出5-3有一批建筑房屋用的木柱，其中100根，问其中至少有30根短于3m解设100根中有X根短于3m,则XB(1

3、00,从而80%的长度不小于3m,现从这批木柱中随的概率是多少？0.2不30-100x0.2PX之30=1PX<30定16j31000.2-0.8J-1->(2.5)=1-0.9938=0.0062.习题5-4(1)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率注释：设这100个部件中没有损坏部件数为X,则X服从二项分布B(100,0.9)，且有EX=np=100x0.9=90,DX=npq=90m0.1=9由拉普拉斯定理，b-EXa-EXPa<X<

4、b：£()-：>(),DXDX故至少须有85个部件工作的概率为:,85-90PX,85)：1->(-)=1一：.：，(一1.67)=w(1.67)=0.9525、,9(2)一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成.每个部件的可靠性为0.90,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?解：(2)设每个部件为Xi(i=1,2,n)1部件工作X=i一0部件损坏不工作PXi=1=p=0.9,PXi=0=1p=0.1由问题知E(Xi)=p=0.9,D(Xi)=0.93=0.09，nphXi>-80nb=0.95求n

5、=?100rnphXi80n100二Xi一npi1",nD(Xi)I出n-np>1?°i1nD(Xi)IJn工Xi-0.9n=py03、n端n-°.9n0.3、.n=1n'、Xi-0.9nP0.3、n80n-0.9n100,0.3-nJ由中心极限定理知0不0.1n1f0.1n'eg=16-K殳0.95曾3而）（0.3访）查标准正态分布表得0.1n_1.64503n解得n皮4.35取n=25,即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.习题5-5随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量，它

6、们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5,方差为0.3,以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求P4.9<X<5胃；(2)求P-0.1<X-Y<0.1(1)求P4.9<X：5.1(2)P-0.1：X-Y：0.1解：由中心极限定理知80、Xi-805i-4U=,N(0,1).800.380%Yj-805j1V=IN(0,1)800.380XXi-80X5(1)P4.9M:5.1=P4.980-805;t：二580-805.800.3800.3,800.3801ZXi-80X5i=1P-1.63<-<1.63,=26(1.63)-1=2

7、父0.94841=0.89682248080(2)由Xi,Yj的相互独立性知ZXi与£Yj独立。从而U,V独立。i1j1于是UVN(0,2)8080'、XYj而Z三U-V=上一、248080XXiZYj工、T70.1父80iwji0.180P-0.1<XY<0.1=P1,<<.r<80X0.3<80x0.3J80M0.3=P-1.63Z：二1.63-。1.63-：.：，一1.63=2.：，(1.15)122=2X0.8749-1=0.7498习题5-6某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望N（未知），方差仃2=400.为了估计口，随机地取n只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败,测得其寿命为Xi,X2，Xn1n=£Xi作为N的估计.为了使nyP|X卬<1>0.95,问n至少为多少?解：由中心极限定理