线性方程组的矩阵求法

1、线性方程组的矩阵求法摘要:关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容，用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能，本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1:一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1:初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义2:定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：(1) B的任一非零行向量的第一个非零分量(称为的一个主元)为1;(2) B中每一主元是其所在列的唯

2、一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节1 .对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：aiiXi-ai2X2ainXn=b,a2iXia22X2a2nXn=b2,(i)amiXi-am2X2-amnXn=bm.根据方程组可知其系数矩阵为:aiiai2aina2ia22a2naamiam2a

3、mn；其增广矩阵为：aiiai2aina2ia22a2nlamiam2amn(3)bib2bm/根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。定理2:设A是一个m行n列矩阵diWn(4)A=a2ia22a2namiam2通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式,1000C1,r100C2,r1c1nC2n0001*0进而化为（5）0001crr11,11Crn00'0J这里r至0,rwm,rwn,*表示矩阵的元素，但不同位置上的卡表示的元素未必相等。即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3）,

4、由定理2我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5）,对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：1000G,r+Gnd1、0100C2,fC2nd2（6）0001Cr,r书Crnd,00dr书00dm与（6）相当的线性方程组是:Xi1-G,rlXir1,GnXin=di,X2-C2,rI%i如凡H,XirCr,riXr1,，CrnXn=dr,°=dr1,0=dm,这里ii,i2,，in是1,2,，n的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1,方程组（7）与方程组（1）同解。因

5、此，要求方程组（1）,只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出：情形（1）,r<m,而dr4,，dm不全为零，这时方程组（7）无解,因为它的后m-r个方程中至少有一个无解。因此方程组（1）也无解。情形（1）,r=m或r<m而df,，dm全为零，这时方程组（7）Xi1G,r"Cm%=d1,Xi2C2,r1Xir1C2nxin=d2,与方程组（8）同解。%'Cr,r.Xin.Cm%=dr当r=n时，方程组（8）有唯一解，就是Xit=dt,t=1,2,n.这也是方程组（1）的唯一解当r<n时方程组（8）可以改写为xdi-01151,-6%

6、,%;d2-c2,rdXir1-c2nXin,(9)Xir-dr_CrXiri-Crnxin于是，给予未知量X，X以任意一组数值ki,ki,就得到r1nr1nX=di-q-kiri-Gnkin，Xir（8）的一个解：xir1=dr-Cmkin=Kr1，Xin=L这也是（1）的一个解。由于k4，一飞可以任选，用这一方法可以r1n得到（1）的无穷多解。另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9）,所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。例1:解线性方程组x12x23x3x4=5,2x14x2-x4=-3,-x1-2x23x32x4=8,x12x2-9x3-5x4-21.解：方程

7、组的增广矩阵是12315'240-1-3-1-2328d2-9-5-21j进行初等行变换可得到矩阵最简形0131220011132石0000090000对应的线性方程组是x12x212X4""113x3-x4二26把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解xi=-2x2-x4,22131x3=-x4.62第三章用初等变换解线性方程组定义2:设B为mn行最简形矩阵，按以下方法作sn矩阵C:对任一i:1wi<s,若有B的某一主元位于第i歹U,则将其所在行称为C的第i行，否则以n维单位向量e=（0,，0,-1,0，0）作为C的第i行，称C为B的sn单位填充矩阵（其

8、中1wiws）.显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”,则该元素所在列之列向量称为C的“八列向量”。定义3:设B为行最简形矩阵，若B的单位填充矩阵C的任一“J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组：tllXi2X2h/n=0,b21K62X2tbnXn-0,>2X2n%=0.的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。引理1:设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：（I）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（II）若C与B是匹配的，则C

9、与B'也是匹配。证明：结论（I）显然成立，下证（H）,因为C与B是匹配的，故C只能是nxn矩阵，从而C也是nxn矩阵，设以B为系数矩阵的方程组'.1.为（1）,以B为系数矩阵的方程组为（1），以B为系数矩阵的方程组biiXibi2X2binXn=0,为.b2iXib22X2b2nXn=0,q）'''bmiXibm2X2bmnXn-0.则由B与B'的关系可知对方程组（i）进行变量代换。Xi二yi，Xj二yj,Xn=Vn就得到方程组（2）,于是方程组（i）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量，又从C与c的关系可知，C的任

10、一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交换i、j两个分量的位置后得到，从而由C与B匹配知C与B'也是匹配的。引理2:任一m"行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C是匹配证明：1设100bu+bi,”010b2,r+b2,H2bm、b2nbrn00nnB=00I1br,r书br,r42100-00000000则以为系数矩阵的齐次线性方程组为=0,X2b2,riXr1b2,.2%2b2nXn=0,Xi-匕,1'ibi,rNr2DnXnXr0,凶1,2%2bmnXn=0A00b1,r+b1,修010b2,r书坛r出而B的单位填充矩阵为C=001br,r+br,r也000-

11、10其所有J一列向量为r1=(b,r1,br,r1,-1,0,0)r2=仇2,br,r2,0,-1,0)n=(b1,n,br,n,0,0,-1)显然它们都是方程组(4)的解，即B与C是匹配的.2,一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式，从而B的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),由于这种变换是可递的据引理2及引理1(H)知B与C是匹配的定理3:设齐次线性方程组aiiXi-ai2X2一-ainXn=0,a2iXia22X2a2nXn=0,(6)amiXiam2X2-amnXn=0.的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最

12、简形矩阵B,则B的nxn单位填充矩阵C的所有“尸列向量成方程组(6)的一个基础解系。证明：设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为(i),则(i)与(6)同解,据引理2知C的所有“J一列向量”都是方程组(i)的解，且是n-r个线性无关的解向量，(这里二秩旧尸秩(A),从而构成方程组(i)的一个基础解系，也是方程组(6)的一个基础解系.定理3:设非齐次线性方程组aiiXi-al2X2ainXn=bi,a21Ka22X2a2nXn=b2,amiXiam2X2amnXn也有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的nqn+i)单位填充矩阵C的所有“尸歹晌量”构成方程组的导出组的一个基础解

13、系，而C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。证明：由定理3,前一结论显然，下证C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。作齐次线性方程组ai1x1-a12x2-anXn.blxn1=0a21x1a22X2a2nXnb2Xn1=0am1x1'am2x2'amnxnbmxn1=0则方程组（8）的系数矩阵即为方程组（7）的增广矩阵A,于是B的（n+1）x（n+1）单位填充矩阵为由定理3知C的最后一个列向量是方程组（8）的一个解，从而易知C的最后一个列向量即为方程组（7）的一个特解.例2:求线性方程组Xi-X23%-X4-X5=-3(9)3x12x24x3-5x4-x5-42x

14、14x32x4-3x5-4x12x3x4-3x5-2的一般解。解:方程组（9）的增广矩阵为1321-12003442-1521-1-1-3-1-344-2>用初等行变换将变为行最简形矩阵。100901002-100001002-10-2100写出B的5M弹位填充矩阵:200-2-1021B=0000©0-100001-1000-10于是，方程组的导出组的基础解系为1=(2,-1,-1,0,0)2=(020,-1,-1)而方程的一个特解为3=(-2,1,0,0,0)从而方程组(9)的一般解为“=。1+k2%+”3其中k1,k2为任意常数.第四章线性方程组通解的一种简便求法1齐次线

15、性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组4的S12X2an4=0,a21X822X2a2nXn-0,a”-am2X2,-amnXn=0.矩阵形式为XAT=0,其中X=(x1,x2xn),a11a12alna21a22a2na=i、am1am2amn/求方程组XAT=0的一个基础解系的方法如下Am怎行初等变换0(nt/m)1PIJ其中r=r(A),r(D.加)=r,即D.为一个行满秩矩阵，En为n阶单位矩阵，P为n阶可逆矩阵。则矩阵P的后(n-r)行即为方程组(1)的一个基础解系。下面证明此结论证明:对于nxm矩阵at,必存在n阶和m阶可逆矩阵P,Q,使丁Er0丁20D一一一PATQ=1

16、c，所以PAT=JccQ=Jr*I,因为P为可逆矩阵,P01J001p（n）刈P的行向量组线性无关，所以P的后（n-r）行行向量线性无关，而矩阵P，一.、，d）的后（n-r）行为（0,En）P,因为（0,En）PAT=（0,En,）9=0,l0（n_r）m,所以X=（0,En）P为方程组xat=0一个解，即P的后（n-r）行为方程组（1）的一个基础解系。因为PAT：En=PAP=r10（n）m/p，则PJ就是对矩阵AP施行初等行变换，将其转变为fD0（n_c）：xm$的后（n-r）行即为方程组（1）的一个基础解系例3求齐次线性方程组x1x2x34x4-3x5=0x1x23x32x4x5=02x

17、1x23x35x4-5%=03x1x25x36x4-7x5=01123-1A10-2t020-6Q2的一个基础解系。110135005600-5-7002310-1-2-1112-10-36401230彳123：100000_2_29a-:-11000T0000-:-1301000000：0m001000009:21001因为r(A)=2，所以P的后3行，即匕=(-2,1,1,0,0),%=(-1,-3,0,1,0),3=(2,1,0,0,1)为方程组的一个基础解系。2非齐次线性方程组通解的一种简便求法设有非齐次线性方程组3Mxi812X2arnXn=b,821X1822X2a2nXn=3,am1、am2X2-amnXn=bm.其矩阵方程为XAT=bT,其中b=b2<bmJ求方程组XAT=bT的通解的方法如下JAT)：1行初等变换D湎)：出0:1丁.巳七_一-lb)_|除0(n+T)J-1JJ其中pn为n阶可逆矩阵，r=r(A)T,则(1)矩阵Pn的后(n-r)行即为方程组XAT=0的一个基础解系；(2)X=刀3为方程组XAT=bT一个特解。结论(1)的正确性在前面已经得到证明，下面证明结论(2)。当r(AT)=rATbT时，方程组有解，对此情况进行证明。则矩阵Pn的后(n-r)行即为方程组XAT=0的一个基础解系，X=刀3为方程组XAT=b