线性代数题库

1、、填空题排歹U632514的逆序数为2.3.4.5.排列6325ti0121偶排列经过一次对换变成已知a4a2ja31a42排列ti行列式已知行列式6.13.解D1)12A21(1)已知四阶行列式线性代数题库排列n(n排列nti01)(n2)321的逆序数为,排列，奇排列经过两次对换变成是四阶行列式中的一项，则jD的第a31A31a32A32(1)31a31M2531a31M311a32M32n(n1)2排列.3；该项所带符号为,奇排列，所以带负号。中的元素3的代数余子式为8,元素3的代数余子式为-4(1)33中元素a104.a215,3行元素依次为a33A33(、321)a32Ma34A34

2、2的代数余子式A215,则a所以，a2,2,1,1,、3332(1)a33M335.它们的余子式依次为5,2,3,4,则行列式D1)34a34M34a33M2213(1)33a34M344137.四阶行列式D的值为91,它的第一行元素为2,3,t3,5,第一行元素的余子式依次为1,0,6,9,因为a11A11a12A121)11anMn(a11M11a12M12a13A131)12a12Ma13M132(1)30(t3)691所以，t58.设A为kl矩阵，B为ma14A412(1)13a13M13(a14M14(5)91)14a14M14n矩阵.如果ACTB有意义，则矩阵C的行、列数分别为T1

3、,19 .设A是n阶方阵，且|A|二a0,则|A|=a,|A|=-,aAA_1|A*|=an-1,2A2na,AATa2AA*an,|A|A_an12AAt_(-2)na2,(3A)2_9na210 .设A,B是n阶方阵，则A2B2(A11 .设矩阵A是5阶方阵，且|A|2,则解：|A|A2A(2)5226B)(AB)的充分必要条件是ABBA|A|A_26.12 .设A解：123r22rl1R(A)1,则t40,s60,即t4,s6。123413.设A1122,且A与B等价，则t4.解：R(A)2,且A与B等价，R(B)2,221331所以当R(B)2,二、三两行对应成比例，即可得t4。14.

4、若向量23(1,2,3,4)T,(1,2,2,1)T,则解：(23)2()(1,2,3,4)T2(1,2,2,1)T()(1,2,2,1)T(1,2,1,6)t(2,4,3,15.已知(1,0,2)t,(2,1,3)T,AT，则解：AT(1,0,2)(2,1,3)t6,R(A)1TB6,1,2,1(T16 .若向量组1(1,1,2,a),2(2,2,b,8)线性相关，则a=,b解：1,2线性相关，则对应分量成比例，a4,b417 .当a时，向量组1(3,1,a)T,2(4,a,0)T,3(1,0,a)T线性无关.341解：A1a02a(a2)0时，线性无关，即a0且a2时线性无关。a0a18.

5、若向量组1(1,1,1)T,2(a,0,b)T,3(1,3,2)T线性相关，则a,b满足1解：A11a2b0时，线性相关。X119.当a=,方程组23a2x21a2x313有无穷个解.0解：A无穷个解，即20.设(a1)(a3)(a1)(a3)a300时，方程组有为方阵A的特征值,q为A对应的特征向量,则方阵2AE的特征值为特征向量为q.q方A对应的特征向量，则Aq2q,故（2AE）q2AqEq2qq(21)q.21.q,q2解22.6,3,2设1,02分别为实对称矩阵A的两个不同特征值，q1，q2为所对应的特征向量，则实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量正交.设矩阵A的三个特征值分别为1

6、,2,3,则A2E的特征值分别为3,4,5;A*的特征值分别为q为A对应的特征向量，Aq1q,故A1的特征值为-1,-,1；23(A2E)qAq2Eqq2q(2E的特征值为23,4,5；A*qAA1q网q,且A/士A6,故A*的特征值为6,3,2.23.若3阶方阵A的特征值为1,|B|64.1,2,BA25A2E,则|A|2,B的特征值为2,8,4,令（x）x可得B的特征值为35x2;2,则B2,(24.已知3阶矩阵A有特征值2(A)A1)8,I1,2,4,则25A2E,故B的特征值为（）52A*的特征值为B的行列式为|B|28(16,8,4.2,从而4)64.q为A对应的特征向量，Aq1八-

7、q,2A*q2AA28,2A故2A*的特征值为16,8,4.25.因为的特征值为2,5,解得a当a5,b5,b26.若矩阵ab18a9b90,123alia22a33,所以得到方程组ab18a9b1064或者23,b22.经检验,4时矩阵A的特征值是2,2,4,523,b5,b22时矩阵4.A的特征值不是2,2,4,解矩阵A与B相似，则AB且trA相似,trB,得方程组17x12一，y37253720y8,解得112一，y37253727、2二次型f(Xi,X2,X3)Xi2X1X3_2.4x2x33x3的实对称矩阵为012,它的规范形为1解二次型的矩阵A0，(AE)1以判断方程有两个负根，一

8、个正根,数为2.它的规范形为fy；即矩阵22y2y.A的绝对值两负一正，故二次型的正惯性指数为1,负惯性指28.已知二次型f(X1，X2，X3)cx；2x1x26X2X36X1X3的秩为2,则c5二次型的矩阵A1因为R(A)2,所以c3.29.当t满足2t1为正定二次型.时，二次型f(X1,X2,X3)32Xi4x22txix22x1x34x2x34x2解二次型的矩阵为a11a12a21a22,其三个顺序主子式为4(t1)(t2),当三个顺序主子式均大于零时二次型是正定的,以当2t1时，二次型是正定的;230.二次型f(X1,X2,X3)X15x29xf4X1X2解二次型的矩阵为A都大于零，即

9、雨10,a11a21a12a22二、选择题.1.n阶行列式展开式中a12a23a34(A)正;(B)负;排列2解ti02.六阶行列式(A)62;D的展开式共有(B)6!;42一一一.一一t0,4(t1)(t2)0,解得22kX2X3为正定的充分必要条件是0k,实对称矩阵9t1.所an1,nan1的符号为n(C)(1);B项.(C)12；3.A正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式(D)1)n-1(D)24.9k20,解得k3.3.下列排列是偶排列的是A(A)13524876;(B)51324867;(C)38124657;(D)76154283.4.行列式0的充分条件是B1(A)k2解按第二行

10、展开,所以,3,k5.-2.(B)12;(-1)212(C)k0；(D)k3.-1(-1)23ka11a12a132a212a222a23a21a22a23a0,则3aii3a123a13_Aa31a32a334a314a324a3324a；(B)24a；(C)8a；(D)12a.(A)6-k(k-1)0,2a212a222a23a21a22a23如a12a133aii3a123a13234a11a12a13-24a21a22a23-24a4a314a324a33a31a32a33a31a32a33解a23a332a133a13a22a322a123a126a.a11a12a13a21若Da2

11、1a22a23a0,则D1a312a11a31a32a333aii(A)3a；(B)3a；(C)6a；(D)6.解a21a22a23Dia312aiia322a12a21a22a23a21a22a23a31a32a33-2aii2a122a133aii3a123a133aii3a123a13a13a332a13a21a22a23a21a22a23a11a12a31a32a33-232a112a122a133a21a22a11&2a133a113a123a13a31a323aii3a13a23a333a12kx7.若齐次线性方程组yky00有非零解,2x3a(A)解y(B)-1-1-1-

12、1(k-2)-2所以系数矩阵(C)k1或k4;(D)1)-2(k1)(kD(k-4)2-kD0时有非零解，k-1,k4.8.已知n阶方阵A和常数k,且|A|d,则kAAT的值为一（D）(A)kd2；(B)k2d2；(C)knd;(d)knd2.解：kAATknA|ATknd29.设矩阵Ams，Bsn，Cnn，下列(B)运算可行.(A)AC；(B)BC；(C)ACB；(D)ABBC.解：两矩阵相乘，左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。10.设A为n阶方阵，且|A|=a0,则A*(A)a；(B)-；(C)an1；a解：AAAE,两边取行列式，AAA|A|AE(C)(D)an.11.设A,B均为n阶方

13、阵，则下列结论中正确的是an,A*(D)(A)若ABAC,则BC；(B)若ABO,则AO或BO;E,则下列结论必成立的是_(B)CBAE;(D)BACE.17.设Aa11a12a13a21a22a23，Ba31a32a33a21a11a22a12a23a13a31a32a33a11a12a13(C)若AO,则|A|0；(D)若|A|0,则AO.12 .设A,B均为n阶方阵，且满足ABO,则(C).(A)AO或BO;(B)det(A)0且det(B)0；(C)det(A)0或det(B)0；(D)上述结论均不正确.13 .设A,B均为n阶方阵，k为正整数，下列结论中不正确的是(B)(A)|ATB

14、T|AB|;(B)|ATBT|A|B|;(C)|(AB)k|A1k|B|k；(D)|AB|BA|.14 .设A,B,C均为n阶方阵，则下列结论中不正确的是(D).(A)若ABCE,则A,B,C都可逆；(B)若ABAC,且A可逆，则BC；(C)若ABAC,且A可逆，则BACA;(D)若ABO,且AO,则BO.15 .设A,B都是n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是(A).(A)(AB)1A1B1；(B)(AB)T)1(A1)T(B1)T；(C)(Ak)1(A1)k(k为正整数)；(D)(kA)1|kn|A|1(k为非零常数).16 .设A,B,C都是n阶可逆矩阵，且ABC(A)ACBE;(B)B

15、CAE;(C)001100Pi010,P2(A)(A)P1P2AP1P2AB;先(B)A的第P2P1A一行的B;(C)AP1P2B；(D)再交换一、AP2P1B.三两行，即a11a21a12a22a13a23a1121a21加a12a22a12a13a3131a23a13'a21a11a32a33a22a12a23a13a31a32a33a31a32a33a11a12a1318 .设A为n阶可逆矩阵，则有(A).(A)A总可以经过初等行变换化为单位矩阵E;(B)对(A|E)经过若干次初等变换，当A化为E时，相应的E一定化为A(C)由AXBA得XB;(D)以上三个结论都不正确.19 .设

16、A为n阶方阵，且有A2A成立，则下面命题中正确的是(D)(A)AO;(B)(C)若A不可逆，则AO;(D)解：由A2即AE20.设(A)A,A2-A0,即A(A-E)A,B均为n阶可逆矩阵，下列结论中ABBA;(C)存在可逆矩阵C，使ctac21.已知向量组2,(A)(C)解：(A)(C)AAE;若A可逆，则AE.0,若A-E可逆，则AO；若A可逆，则A-E正确的是(D)1(B)存在可逆矩阵P,使PAPB；3线性无关,B;(D)存在可逆矩阵P,Q,使PAQB.则下列向量组中线性相关的是(B)1(D)10,0；(B)A3,322;7;(D)22.若向量组(A)ab1c;1解:23.(A)(B)(

17、C)(D)24.如果向量(1,0,0)T,2(B)b(1,1,0)T,30；(a,b,c)T线性无关，则有(C)c0；(D)可由向量组2,m线性表示，则D.存在一组不全为零的数K,k2,存在一组全为零的数存在唯一的一组数向量组，已知向量组,km,使得k1,k2,km,使得k1,k2,km，使得,m线性相关.k1k11k111k2卜2k2kmm成乂，kmkmmm成立;成立；m的秩为r,则下述论断中不正确的是(A)(B)(C)(D)25.若2,2,2,2,(A)若对任意s线性无关;k11k22(C)向量组(D)向量组中任意r个向量线性无关；中至少有r个向量线性无关；中任何r个线性无关部分向量组与m

18、等价;中任意r1个向量(若有的话)线性相关.均为n维向量，则下述结论中不正确的是组不全为零的数k1,k2,26.向量1,2,ks，都有k1k22kms0s线性相关，则对任意一组不全为零的数k1,k2,km,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.s(s>2)线性相关的充分必要条件是_D(A) 1,2,s中至少有一个零向量；(B) 1,2,s中至少有两个向量的分量对应成比例;(C) 1,2,s中每个向量都能由其余向量线性表出；(D) 1,2,S中至少有一个向量可由其余向量线性表出.27.若向量组1,2,3线性无关，向量组(A) 1一定可由

19、(C)4一定可由1,2,3线性表示;1,2,4线性相关，则C.(B) 2一定不能由1,3,4线性表示;(D)4一定不能由1,2,3线性表示.28 .若非齐次线性方程组Ax(A)Axb必有无穷多解；(C)Ax0仅有零解；29 .设非齐次线性方程组AxA.(A) rm时，方程组Ax(C)mn时，方程组Axb中方程个数小于未知量个数，Ax(B) Ax0必有非零解；(D)Ax0一定无解.0是它的导出组，那么Bb中，系数矩阵A为mn矩阵，且矩阵A的秩为R(A)r,则b有解；(B)rn时，方程组Axb有唯一解；b有唯一解；(D)rn时，方程组Axb有无穷解.30 .设A为mn矩阵，Ax0是线性方程组Axb

20、的导出组，则下列结论正确的是D(A)若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解；(B)若Ax0有非零解，则Axb有无穷多解;(C)若Axb有无穷多解，则Ax0仅有零解；(D)若Axb有无穷多解，则Ax0有非零解.31 .已知1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解向量,1,2是其导出组Ax0的基础解系，k1,k2是任意常数，则(A)k11k2(12)(C)k11k2(12)Ax-(2b的通解是(D)k1132.设二阶方阵A的特征值为0和2,AA的特征值为(A) 0,1;(B) 0,2解二阶方阵A的特征值为2(C) 0,4;0,2，由一一Ek2(1k2(1(D) 0,8.12(AE)14(AE)2)

21、；A,得A的特征值为220,133.设n阶方阵A满足A2(A) A的特征值是1;E(B),则BA的秩是n；e1,(C) |A|(D)A一定是对称矩阵.34 .n阶方阵A与某对角矩阵相似，则(A)A的秩是n；(C)A一定是对称矩阵;35.设A是n阶方阵，(B)A有n个不同的特征值；(D)A有n个线性无关的特征向量.i(i1,2,n)是A的特征值,则必有(A) i(i1,2,n)互异;(B) i(i1,2,n)均异于零;(C) 12na11a22ann；(D) 12na11a2236 .n阶方阵A有n个不同的特征值是A可对角化的A.(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既不充分也非

22、必要条件.37 .设2是可逆矩阵A的一个特征值，则下面B是矩阵2EA1的一个特征值.15,2(A);(B);(C)5;(D)一.425解设q是A对应于特征值2的特征向量，则Aq2q,A1q-q,215故(2EA)q2EqAq2q-q一q.2238 .下述说法正确的是B.(A)A与AT有相同的特征值和相同的特征向量；(B)A与AT有相同的特征多项式；(C)设qi,q2为A的两个特征向量，则kiqik2q2(K,k2不全为零)也是A的特征向量；(D)齐次线性方程(AE)x0的每一个解向量都是对应于特征值的特征向量.解设q是A对应于特征值的特征向量，则Aq2q.(A)不正确.A与AT有相同的特征值，

23、而特征向量不一定相同.(B)正确.AE(AE)|(AE)|；(C)不正确.Aqiiqi,Aq22q2,412时，有A(kiqik?q2)KA4k2Aq2k1心k?q2i(kqik2q2),此时k.k2q2(k1，k2不全为零)是A的特征向量；当12时，qi,q2线性无关，假设kiqikzq2(%*2不全为零)是A的对应于特征值的特征向量，有kik22q2A(kqikzqz)(kiqi卜2量),得(i)kiq(2)k2q20,从而i2,矛盾.综上，只有当qi,q2为A的同一个特征值对应的两个特征向量时，kiqik2q2(k1，k2不全为零)才是A的特征向量；(D)不正确.零向量是齐次线性方程组(

24、AE)x0的解，但不是A的特征向量；39 .设A,B均为n阶方阵，并且A与B相似，下述说法正确的是A.(A)AT与BT相似；(B)A与B有相同的特征值和相同的特征向量；(C)A1B1;(D)存在对角矩阵D,使A、B都与D相似.解矩阵A与B相似，即存在可逆矩阵Q,使QAQB,故(A)正确.对于可逆矩阵Q,Q也可逆，令P=(Q)1,则B=(QAQ)=QA(Q)PAP,由定义知AT与8,相似；(B)不正确.因|BE|Q1AQE|Q1AQQ1Q|Q1(AE)Q|Q1|AE|Q|AE|,故A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值也相同.但是对应的特征向量不一定相同.因为，若是方阵A的特征值，向量q是方

25、阵A对应于特征值的特征向量，则Aqq.而QAQB即AQBQ1,所以QBQ1qq,两边左乘Q1,BQ1qQ1q,即方阵B对应于特征值的特征向量为Q1q.1_1_1_11_1(C)不正确.B(QAQ)QAQA；(D)不正确.因为A与B不一定可以对角化.40 .若矩阵A与矩阵B相似，则下列说法正确的是C.(A)EAEB;(B)A与B均相似于同一对角矩阵；(C)R(A)R(B);(D)对于相同的特征值，A与B有相同的特征向量.解(A)不正确.当且仅当矩阵A与B相同时EAEB成立；(B)不正确.因为A与B不一定可以对角化；(C)正确.由A与B相似的定义可知，当A与B相似时，A与B一定等价，从而R(A)R

26、(B).(D)不正确.由上题可知.41 .下列结论正确的是一D(A)实数域上的n阶方阵A一定有n个特征值；(B)A与at有相同的特征值和特征向量；(C)若i是A的特征值，则齐次线性方程组(AiE)x0的解就是A对应于i的特征向量；(D)若i不是A的特征值，则矩阵A1E可逆.解设q是A对应于特征值的特征向量，则Aq2q.(A)不正确.在实数域上讨论方阵A的特征值和特征向量，则n阶矩阵A可能没有特征值或特征值个数小于n.如矩阵A2的特征值02i,22i均为虚数;(B)(C)不正确.不正确.零向量是齐次线性方程组(A1E)x0的解，但不是A的特征向量;(D)正确.若不是A的特征值，则1E0,故矩阵A

27、1E可逆.42.设n阶方阵A可逆，q是A对应于的特征向量，则下列结论不正确的是D(A)q是矩阵3A对应于3的特征向量;(B)q是矩阵A21对应于22，22的特征向量;(C)一一，一1，q是矩阵A*对应于一|A|的特征向量;(D)q是矩阵AT对应于的特征向量.因为q是A对应于特征值的特征向量，所以Aq2q.(A)正确.(3A)q3(Aq)3(冲(3分q；(B)正确.厂、r1212因为小户(C)正确.又因为方阵A是可逆的，所以A1q,ip-q，A*q，故入|A|A*q1A1q,所以1A1为方阵A*的特征值，且q为方阵入(D)不正确.因为AqAq不一定成立，所以Aq43.设n阶方阵A相似于对角矩阵，

28、则下列说法正确的是A*对应于特征值|A|的特征向量.入q不一定成立.D.(A)A必为可逆矩阵；(C) A必为实对称矩阵;(B)A有n个不同的特征值；(D) A必有n个线性无关的特征向量.44.二次型2x；(A)10y2；(c)yy5x224x1x24x1x38x2x35x2的标准形是B(B)i0y；(D)2y2y12y22y210y310y22解二次型的矩阵为2(1)(10)，故A的特征值是一1,由题意知A可以对角化为,则二次型的标准形为10224-2y1y210y3.45.设a为n阶正定矩阵,如果矩阵A与B相似，则B必为(A)实对称矩阵;(B)可逆矩阵;(C)正定矩阵;(D)正交矩阵.解(A

29、)(B)(C)(D)A为n阶正定矩阵，则A可逆.矩阵A与B相似，即存在可逆矩阵不正确.B(Q1AQ)QA(Q1),由于Q不定是正交矩阵,正确.B1(Q1AQ)1Q1A十，故B必为可逆矩阵;不正确.由于B不一定是实对称矩阵，故不能确定是否正定；11一不正确.BBQA(Q)QAQ,由于Q不定是正交矩阵，故Q,使QAQB,故故B不一定是实对称矩阵;B不一定是正交矩阵.46 .设矩阵A，其中ab0,且a2b21,则(A)正定矩阵;(B)b负定矩阵；22ab(C)0初等矩阵;(D)正交矩阵.47 .矩阵A为正定矩阵，则(B)(C)矩阵A是正定矩阵,则是实对称矩阵，即ana12a21a222a10,a(2a1)0,解得a2a48.设n元二次型fxTAx为负定二次型,(A)|A|0;(B)A的n个特征值互异；1.2则有b2a满足(D)与b有关不能确定.3,三个顺序主子式需均大于零:0,(C) |A|0;(D)解负定二次型的矩阵A是负定矩阵，则A的n个特征值0.三、计算题1、行列式计算121(1) D03231122(2) D113112(3)D33521a(2a1)0A