线性代数试题及答案-线性代数试题

1、、单项选择题（本大题共一个是符合题目要求的,1.设行列式a11a21a12=m,a22a13a23a11a21=n,则行列式A.m+nC.n-ma11a12-a13a21a22'a23B.-(m+n)D.m-n第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。2.设矩阵A=00，则A-1115.356=等于（3A.C.3.设矩阵-10B.D.-1,A是A的伴随矩阵，则A4中位于（1,2）的元素是（B.6D.2)B.B芋C时A=0D.|A|#0时B=CA.-6C.24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,

2、则必有（A.A=0C.A#0时B=C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A.1B.2C.3D.46.设两个向量组“1,a2,，as和31,32,，3s均线性相关，则（）A.有不全为0的数入1,入2,入s使入1a1+入2a2+入sas=0和入1日1+入22+入s3s=0B.有不全为0的数入1,入2,，入s使入1（"1+31）+入2（"2+32）+入s（”s+3s）=0C.有不全为0的数入1,入2,，入s使入1（"1-31）+入2（“2-32）+入s（"s-3s）=0D.有不全为0的数入1,入2,，入s和不全为0的数（11,;12,(1s使入10C

3、1+入20C2+Xsas=0和ii1B1+232+(is3s=07 .设矩阵A的秩为r,则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08 .设Ax=b是一非齐次线性方程组，Y1,B.所有r-1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0Y2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.11+22是Ax=0的一个解C.Y11-22是Ax=0的一个解B.一刀1+刀2是Ax=b的一个解22D.2刀刀2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）人秩（A）n8.秩（A）=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向

4、量a使Aa=Xa,则a是A的属于特征值入的特征向量B.如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，“1,a2,"3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则a1,a2,33有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入°的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）A.k3B.k3D.k>3C.k=3/34）B.:6./1111%D.120Y02非选择题（共72分）2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每12 .设A是正交矩阵，则下

5、列结论错误的是（A.|A|2必为1C.A-1=AT13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14 .下列矩阵中是正定矩阵的为（）,23;A.192536加A+2B=J17.设A=(aij)3x3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则a=.19.设A是3X4矩阵，其秩为3,若打1,

6、刀2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20.设A是mXn矩阵，A的秩为r（n）,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a+3与a-3的内积（"+3,a-3）=22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.710°、C.02二Q-35）第二部分二、填空题（本大题共10小题，每小题小题的空格内。错填或不填均无分。B.|A|必为1D.A的行（列）向量组是正交单位向量组B=CTAC.则（）16.设A=2-2/023.设矩阵A=1i_210,310<2、_1是

7、它的一个特征向量，则<2>a所对应的特征值为.24.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分),125.设A=,2_1.求(1)ABT;(2)|4A|.26.试计算行列式_1427 .设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28 .给定向量组a1=<3试判断a4是否为a29 .设矩阵A=,1-2-241,-122=a3=a3的线性组合;2)-6a4=3，若是，则求出组合系数。求：(1)秩(A);(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。030.设矩阵a=-2的全部特征值为1,1和

8、-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使丁1AT=D.31 .试用配方法化下列二次型为标准形2-2-2,f(X1,X2,X3)=X1+2X23x3+4x1X24X1X34X2X3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)=E+A+A.七2是其导出组Ax=0的一个基础解系.32 .设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且(E-A)'33 .设刀0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，试证明(1)刀1=刀0+卫1,刀2二刀0+卫2均是Ax=b的解;(2)Y0,Y1,Y2线性无关。答案：一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分,1.D6.D2.B7.C3.

9、B8.A4.D9.A28分)5.C10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)15. 6,337：16.U年7)17. 418. -1019. Y1+C(Y)2-Y1)(或22+C(Y)2-Y1),c为任意常数20. n-r21. -522. 223. 1222224. z1-z2-z3-z4三、计算题（本大题共25.解（1）ABT=37小题,每小题40J6分，共42分）,86”=1810.L310,(2) |4A|=43|A|=64|A|,而120|A|=340=-2.-121所以|4A|=64(-2)=-12826.解31-51201-523-4

10、1-134110-51-11131010-53027.解511-111-1-5-50511-620-5-50-62=30+10=40.-5-5AB=A+2B即(A-2E)222(A-2E)-1=171-12B=A,而3V01所以/1口Y42_,_-1B=(A-2E)A=1-511(64Jv-12303>28.解一1332一3_8_9120_6'_69)、0_53_2)_30-1130_1224011249J013_112)103510350112*01120088r00110_14_140001031002所以a4=2a组合系数为2,1,1).解-考虑a4=X1a1+X2a2+X

11、30C3,-2X1+x2X13X2:H3x3=0_12X2+2x33x1+4x2-x39.方程组有唯一解（2,1,1）29.解对矩阵A施行初等行变换T,组合系数为(2,1,1).-2-2-211-2-1021彳-2-10328-3032*30006-2000000-217)p00（1）秩（B）=3,所以秩（A)=秩(B)=3296308300，=B.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4歹U,或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值

12、入E1=（2,-1,0）=1的2个线性无关的特征向量为T,E2=(2,0,1)T经正交标准化，得Y1=入=-8的一个特征向量为2W5/5t/5/5,Y2=127/15455/157131.解经单位化得,1/3"Y3=2/3'一句,2<5/5所求正交矢I阵为T=55/50100、对角矩阵D=010d0_8j12痣/52万/15(也可取T=0-J5/315/5475/152.,15/154.5/15.5/31/32/3.)/3,1/32/3-2/3,f(X1,X2,X3)=(X1+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X1+2X2-2x3)2-2(X2-X3)2-5X32.y1=x1+2x22x3设“iy2=x2x3，y3=x3«-2因其系数矩阵C=0100x1=y1-2y2即方x2=y2+y3，x3=y30、1可逆，故此线性变换满秩。1，经此变换即得四、证明题（本大题共32.证由于（E-A）f(x1,X2,X3)的标准形y1-2y2-5y3.2小题，每小题5分，共10分)2、_3(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.33.证由假设Ar0=b,AE1=