线性代数秩和逆

1、一、矩阵的秩定义1在一个mxn矩阵A中，任意选定k行和k列(kwminm,n),位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的kxk矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例1在矩阵1131、02-14A=0005、0000,中，选第1,3行和第3,4歹I，它们交点上的元素所成的2阶行列式1-155就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4歹1，相应的3阶子式就是111024=10.005定义2非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵A的秩记为rank(A)0例2证明：矩阵A与其转置矩阵AT有相同的秩。例3证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的

2、个数。证设A是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r。选取这r个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而A的所有阶数大于r的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以ranA=r。由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以mMn矩阵A的秩rank(A)«min(m,n)而如果rank(A)=m,就称A是行满秩的；如果rank(A)=n,就称A是列满秩的。止匕外，如果A的所有r+1阶子式全为零，由行列式的定义可知，A的r+2阶子式也一定为零，从而A的所有阶数大于r的子式全都

3、为零。因此秩有下面等价的定义：定理1mn矩阵A的秩为r充分必要条件是：在A中存在一个r阶子式不为零,且在rank(A)<min(m,n)时，夕1阵A的所有r+1子阶式都为零。定理2初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。证设4刈经初等行变换变为Bm>n,且ran(R)=，ran(B)=2。当对A施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B中的任何r1+1阶子式等于某非零数c与A的某个ri+1阶子式的乘积，其中c=±1或其他非零数。因为A的任彳r1+1阶子式皆为零，故B的任何r1+1阶子式也都为零。当对A施以第i行的k倍加到第j行的变换时，矩阵B的任何

4、一个1+1阶子式|BJ,若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，则它等于A的一个十1阶子式；若圆含B的第j行但不含第i行,则B1=阀+kAz|,其中囹,倒是A的两个+1阶子式，由A的任何+1阶子式均为零，知B的任何r1+1阶子式也全为零。根据以上分析，若对A施以一次初等行变换得到B,则口<口+1,即口Wr1。由于B可经一次适当的行变换变回A,同样地就有r1Mr2。所以r1=r2显然，上述结论对列变换也成立。现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等变换把它变成阶梯形(根据第一节定理1

5、,仅用行的初等变换就可以做到)，这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩例4设164-14A二3-236-12015-3i32050求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式解对A作初等行变换，使之变成阶梯形:16-4-14、1641I，0-43At201710431-3210-1297<32050)0-161284，-1-11一12-4-1-816-414、0_431-1T为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是3,所以rank(A)=3。再求A的一个最高阶非零子式。由rank(A)=3知，A的最高阶非零子式是3阶的，A的3阶子式共有C：C3=40个，要从中找出一

6、个非零子式是比较麻烦的。如果B是矩阵A仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用B的各非零行第一个非零元素所在的列按在B中的次序构成矩阵B1,把A中相应列按在A中的次序构成的矩阵记作A。那么Bi也是阶梯形的，它的非零行个数与B的相同，并且就等于B的列数。因此，B是一个与B有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将A变成B的行变换可将A变成Bi，这说明A是与A有相同秩的列满秩矩阵。考虑到A是由A的某些列按在A中的次序构成的矩阵，A的子式必是A的子式，A的最高阶非零子式必是A的最高阶非零子式在本例中，16-4-14、16-T16-T0-431-10-413-26B=,B1=,A1二00004-8004205&

7、#169;0000，1000，325A的三阶子式只有C：=4个，其中必有不为零的，如子式1 6-13-26=-322 05就不为零，那么它也是A的一个最高阶非零子式。例5设1-112、A二3九T2,5366j已知rank(A)=2,求九与N的值2.3riAr3-5riLi0©-113-4852、C214-4T211”-4-4九+3-45-58,1211132t0-4-4九+3001-15-儿j因rank(A)=2,故R1=0,5九=0,从而R=1,九=5例6证明：矩阵添加一列(或一行)，则秩或不变，或增加1。证设矩阵A=(aj1河的秩为r。在A中任意添加一列B=(h,b2，bm,、一

8、、一、一一一、一通过一些列的父换，总可以使所得矩阵变成A=(A,B),而秩不变。因此我们只需研究A的秩与A的秩之间的关系、-，一.一一、"W-一、一、一一用初等行变换将A化成阶梯形矩阵A,相应地，A的子矩阵A也化成了.一、一、,-A=(A,B1两m父n阶子矩阵A,并且A也是阶梯形的,其非零行都在矩阵的上、，、一一-一、.-一部。因为rank(A)=r,所以A恰好有r个非零行。这样，A的前r行也都是非零行。如果A只有这r个非零行，则rank(A)=r。要不然，A的第r+1行也是非零行。这时，因为A只有r个非零行，所以A的第r十1行的前n个元素必定都是零，只有最后那个元素不为零，由于A是

9、阶梯形矩阵，A的第r+1行之后的各行(如果还有的话)必定都是零行，因此，rank(A)=r+1。Er这就证明了添加一列的情形，类似地可证明添加行的情形定理2还说明，在mn矩阵A的标准形0r,n-rV0m-r,r0m-r,n-r中，r=rank(A)。从而，n阶方阵A非退化的充分必要条件是n=rank(A)。逆方阵定义3对于方阵A,如果存在同阶方阵B,使得AB=BA=E则称A可逆，B就称为A逆矩阵，记为A-o若方阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，如果A还有一个逆矩阵C,则由定义AC=CA=E，所以C=EC=A,AC=A，AC=A,E=A卜面要解决的问题是：在什么条件下方阵A是可逆的？如果

10、A可逆，怎样求A？=AEAJA非退化，而(1131)定理矩阵A可逆的充分必要条件是定义4设Aj是方阵a11a12ana21a22-a2nA=a-m&n1an2,ann)中元素aj的代数余子式，矩阵A11A21An11_*A12A22W-An2A=*1A1nA2nW-.Ann)称为A的伴随矩阵。由行列式的定义和性质立即得出'A0*0AAA=AA=<00A.11*证明当A#0,由（1131）可知，A可逆，且A=二人。|A|二1反过来，如果A可逆，那么有a使AA=E,两边取行列式，得A|A因而A¥0,即A非退化。逆方阵适合以下规律：A二A(AT广=(A。TAB=BWi

11、1jkA=A,k=0kA>IA"其中A,B都是可逆方阵，k是不为零的常数。推论对于同阶方阵A,B,如果AB=E,那么A,B都是可逆的并且它们互为逆矩阵。证B=EB=A。AB=A,AB=A'E=A不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵。事实上P(i,jJ1=P(i,j)P(i(k=P(i(k，)P(i,j(k=P(i,j(k)。定理n阶方阵A可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：定理两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩。特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。证设A是一个ixm矩阵，B是一个mn矩阵，并且rank(A)=r。由第一节定理2,可以用初等变换将A化为出0、A。<00J换句话说，存在l阶初等矩阵P,，Ps和m阶初等矩阵Ps书，刀，使PPsAPs由R=A,于是1111PiP5AB=RPsAP3HtPtPtPsB=APPs+B=ABi,这里B1=RPsB。显然，A1B1除了前r行外，其余各行的元素都是零，所以rank(A1B1)Wr。