考研数学线性代数强化习题二次型

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2、1,X2,X3)X12X22./22型f2y12y2y3,求常数及所用正交变换矩阵Q,假设xTx3,求f的最大二.二次型的合同标准型3、二次型fx1,x2,x3X5x2x24x1x22x2%的合同标准型可以是(),、2.22_2_2(A)y4y2(B)y6y22y3222-22(C)y1y2(D)y14y2y3222TT4、二次曲面xyz2axy2byz2xz1经正交变换(x,y,z)Q(x,y,z)化22成椭圆柱面方程(y)2(z)1,那么a和b应满足的条件是八2八22X22X34X1X24X1X38X2X3为标准形,并给出所2X32X1X22X1X32X2X3,通过正交变换化为标准值四(X

3、i,X2,X3)T7、二次型f(Xi,X2,X3)4x23x34xiX24xiX38x2X3.(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准型,并写出相应的正交矩阵22x_u8、fx,yx4xyy,求正交变换P,P,使得yvfx,y2u22.3uv.222c-9、二次型f(Xi,X2,X3)5Xi5X2CX32X1X26X1X36X2X3的秩为2.求参数c的值及此二次型对应矩阵的特征值；出(*数学一)指出方程f(Xi,X2,X3)1表示何种二次曲面.c22l210、设一次型f(x1,x2,x3)3x13x25x34x1x34x2x3,写出二次型的矩阵表达式；Xiyi求正交矩

4、阵P,作变化x2Py2化二次型为标准型；X3y3对一般的n元实二次型fXTAx,其中x(Xi,X2,L,Xn),试证：f在条件2Xix2Lx21下的最大值恰为矩阵A的最大特征值.11、三元二次型xtax经正交变换为2y1*11 1-ABA12AB4E2 .*3 ,且A,其中22y2y3,又知矩阵B满足矩阵方程一/TA*1,1,1,A为A的伴随矩阵,求此二次型XtBX的表达式.三.二次型的合同的条件12、设A,B均为n阶实对称矩阵,假设A与B合同,那么()(A) A与B有相同的秩(B)A与B有相同的特征值(C) A与B有相同的特征向量(D)A与B有相同的行列式13、n阶实对称矩阵A合同于矩阵B的

5、充要条件是(A) r(A)r(B)(B) A、B的负惯性指数相等(C)A、B均为正定矩阵(D) r(A)r(B),且A、B的负惯性指数相等B114、设方阵人1与81合同,人2与82合同,证实1与1合同AB2四.合同标准型与惯性指数15、二次型f(x1,x2,x3)(x122/2(A)中y24y3出216、二次型f(x1,x2,x3)x1(A)fZ12Z22Z32222(C) fZ1Z2Z317、设二次型为f(x1,x2,L,x2)2(2x13x2x3)25222y2y3(C)y1y2224x24x34x1x24x1x3(8) fZ122(D) fZ1n)xTAx,其中ATA,xx2x3)2的标

6、准型为2222y3(D)y1y2y38x2x3的标准型为()2Z2(Xi,X2,L,xn)T,那么f为正定二次型的充要条件为()(A)f的负惯性指数为0(B)存在正交矩阵Q,使QtAQ(C)f的秩为n(D)存在可逆矩阵C,使ACTC0118、实对阵矩阵A与矩阵B100000合同,那么二次型xTAx的标准形为219、正、负惯性指数均为1的二次型xTAx通过合同变换xpy化为yTBy,其中B1a1,那么aa1120、二次型xTAxx12x2a3x3x15x2打天的合同标准型为五.正定二次型的判定与证实21、头一.次型f(a1X1a12X2213X3)(a21Xia22X2223X3)(a31x12

7、32X2a33x3)2正定,矩阵Aaj33,那么()(A)A是正定矩阵(C)A是不可逆矩阵(B)A是可逆矩阵(D)以上结论都不对22、设A、B均为n阶正定矩阵,卜列各矩阵中不一定是正定矩阵的是(23、24、25、26、(A)A1i1AB(1,0,1)T,A设A为n阶正定矩阵,齐次线性方程组矩阵,求a的值,并确定(B)AB(C)A*B*T4f,A、*,右B(kEA)是正定矩阵,那么,证实A正定,并求正定矩阵那么存在正定矩阵H(a3)x1x22x32axi(a1)x2x3(a3)x13x2ax3B,使A2AH20有非零解,(D)2A3Bk的取值范围是B2是正定TTxx2时,xAx的最大值.n参考答

8、案一.二次型及其矩阵1、【答案】：aibiaba2bl2ga3bl2abazbi2a2b2a2b3a3b22aib3a3bi2a2b3a3b22a3b3Xi,X2,X3&Xia2X2a3X3bxib2X2b3X3Xi,X2,X3Xi,X2,X3aia2(bi,b2,b3)X2a3X3aibXi,X2,X3a2bla3bla1b2a2b2a3b2aib3a2b3a3b3XiX2X3a1biaha2bl2aha3blaib2a2bi2aEa3bla2b2a2b3a3b2所以原二次型矩阵为2、【答案】a=0由于二次型的秩是以求出a=0aibi2,a1b2a2bi2aib3a3bi22a2b3

9、a3b2XiX2X3a3b3aib2a2blaib3a2b22a2b3a3b2a3b3所以二次型的系数矩阵的秩也是二,所以系数矩阵行列式等于零就可二.二次型的合同标准型3、【答案】A【解析】：利用配方法将该二次型化为标准型2fXi,X2,X3Xi4xiX225x22X32X2X3XiXi22x222x22X2X2X32x2X32X3可知令指数为yiy2y3x12x2X2x3,可以将二次型化为y2y；.可知二次型的正惯性指数为2,负惯性X30.任何与其正负惯性指数相同的二次型都与fK,X2,X3合同,可知,A中的二次型yi24y与二次型fX1,X2,X3是合同的,它可以作为二次型fX1,X2,X

10、3的合同标准型,应选4、【答案】(A).ab0【解析】：由题设知二次的矩阵为比拟经正交变换后的矩阵为所以|A|5、【解析】:22(ab22)(ab)2的同次骞系数可得0,且2b22.因此得特征值A|7)(2)27,22,7时,可求得特征向量为2时,可求特征向量2正交化,单位化得132323251-5,23,543,553.5那么xTAx132323yTQTAQy2、5157yj3,543.5,x53,5Qy6、【分析】：通过正交变换化二次型为标准形,说明前后二次型所对应矩阵是相似的,由此可求出参数,的取值,再按通常方法求正交矩阵Q即可.化为标准形后,条件XTX3TT222可等价表示为YTY3.

11、再将标准形适当放大,即可利用条件YTYyyy；3求得最大值.【解析】：二次型及其对标准形的矩阵分别为12,B2.A的特征值为2,2,1易知22111,可得1.由于2是A的二重特征值,而实对称矩阵A是可以相似对角化的,故2有两个线性无关的特征向量,可知rA2E1,也即矩阵11111的秩为1,比照可知111.i)A的属于2的特征向量11111111111000,x1x2x3,10,2211100011卜面计算正交矩阵Q:单位化,得11、62.6.1161,2已经正交).(ii)A的属于1的特征向量211101121011112000XiX2X3X3单位化,1-31代1:3所用正交变换矩阵3)1,2

12、162,61.6通过变换xQy可化为f2y1222y22y3因此条件xtx3等价于2y22y33,131.31,3TTxxxQQxyy3.此时,易知2f2y；2y2y2最大值为6,故f在XTX3下的最大值是6.7、【解析】：(1)二次型的矩阵A,那么二次型f的矩阵表达式fxtAx.A的特征多项式A(6)(1)(6),那么A的特征值16,21,36.6对应的正交单位化特征向量P1T；(6,21对应的正交单位化特征向量P236对应的正交单位化特征向量P3令正交矩阵p(Pi,P2,P3)1-61J62,62-51-305,302、30Xiyi,所求正交变换X2X3二次型f的标准型f226y1y26y

13、2.8、【解析】：fx,y4xyfX,2y2uu,v值,因此A与B合同.A的特征向量是令Q1121,29、【解析】：x,yy2y31,B的特征向量是XX,yAyu,v,实对称矩阵A与B有相同的特征,311,Q2Q1Q2二次型的矩阵513A15333c2,3Iy3221、32.2,有Q；AQdiag3,1Q：BQ2.1日2,21322由于r(A)2,必有|A|24c720,得c3,此时A的特征多项式51(4)(9)|EA|1533故A的特征值为10,24,39.由可知,二次型经过正交变换可化为标准形f4y29y；,所以f(x1,x2,x3)1表示椭圆柱面.【评注】：由于二次型与其矩阵A是一一对应

14、的,而A是实对称矩阵,所以,用正交变换法化二次型为标准形的问题,等价于求正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵,矩阵的主对角线上元素恰是A的全部特征值i(i1,2,L,n).因此,二次型的标准形可能不同.但是,标准形中所含正项的个数、负项的个数确实惟一确定的.从这一意义上说,二次型的规范形是惟一确定的.10、【解析】：二次型的矩阵表达式为f(Xi,x2,x3)xTAx302x1(Xi,X2,X3)032X2225x3求正交矩阵p,作变换xPy化二次型f(x1,x2,x3)为y1,y2,y3的平方和.先求A的特征值.由|AE|(3)(7)(1)0,得11,23,37.3131-3再求特征向量,由于1

15、,2,3互不相等,所以其所对应的特征向量必然正交由(AE)x0,1当11时,它的根底解系为1,单位化后为P123时,它的根底解系为11,单位化后为0121忑,37时,它的根底解系为11,单位化后为P3161,6.2、613一,1可知P1.31,31212161、62.6且有f(Xi,X2,X3)xtAxyT(PTAP)yy23yf7y3.因实二次型xtAx所对应的矩阵A为实对称矩阵,故存在正交矩阵P使PtAP其中口为A的特征值,且全为实数.作变换XPy,y(y1,y2,L,yn)TxtAxyT(PTAP)y1yl222y22nyn.2X122TT丁口x2LxnxxyPPy2y12yn.fxtA

16、x在条件xtx1下的最大值即为222221,2y2Lnyn在条件/丫2L2yn1的最大值.设为A的最大特征值,那么2102.222y2LOnf1(W2.y2ly2)2Y12y2y1的y(1,0,0,L,0)T故在条件xxT1下,fmaX11、【解析】:由条件知A的特征值为2,-1,-1,那么A2,由于*A的特征值为*以A的特征值为1,-2,-2,由,*是A关于1的特征向量,也就是1a2-A12_12ABA2AB4EBB的特征值为-2,1,1,且.设B关X1X2的特征向量为X1,X2,X3,又B是实对称阵,要正交,故X3解出1,1,01,0,1P1BPXTBX2X1X22X1X32X2X3.A)

17、.A、B的秩及正惯性指数相等.二次型的合同的条件12、【答案】A【解析】：合同的矩阵也等价,故必有相同的秩,应选13、【答案】:D【解析】：对于实对称矩阵A、B,A合同于B选项A、B都只是A合同于B的必要条件,由于秩相同的矩阵正负惯性指数仍有可能不相等,而负惯性指数相等也不能保证正惯性指数相等选项C是A合同于B充分条件,当A、B均为正定矩阵时,矩阵A、B的正惯性指数均为n,负惯性指数均为0,可知A、B合同.但由于合同的矩阵并不一定是正定矩阵,故C不正确.因此,应选D事实上,由于实对称矩阵正负惯性指数之和即为该矩阵的秩,故"rArB,且A、B的负惯性指数相等等价于“矩阵A、B的正负惯性

18、指数均相等.故D正确的.14、【证实】：由于A1与B1合同,所以存在可逆矩C1,使B1C：A1cl.同理,由于A?与B2合同,所以存在可逆矩C2,使B2C：A2c2.C1令C,那么C可逆,于是有C2B1B2一TTC1AC1GA1C1C2A2C2C2A2C2CTA1A2C,A1B2合同.四.合同标准型与惯性指数15、【答案】:B【解析】：二次型的标准形中,平方项的系数只能是-1,1,0,故应排除A.只要求出二次型的正、负惯性指数就可以确定二次型的标准形.通常可以求二次型矩阵的特征值或用配方法化二次型为标准型来实现.此题中,假设令V1X1X2y22K3x2x3Ya5X25x3而认为标准形是fy12

19、y；Y就不正确了.由于行列式11023100韭展所以上述变换不是非退化的线性变换二次型f经整理为f(x1,x2,x3)5x125x24x214X|X24x1x34x2x3由于12120752224572|EA|75212722240022(6)(12)44故矩阵A的特征值是12,-6,0.因此二次型正惯性指数p1,负惯性指数q1,故应选B【评注】：题涉及二次型标准形的概念及求法.另外,坐标变换xCy中,C是可逆矩阵不能忽略或遗忘此题假设用配方法,有2/f5x12x1-x252-x357一x252-x35222725x24x34x2x35x2-x3552X325Xi7224-X2-X3-X255

20、5亦知P1,q1,而应中选B.两种解法均可用.但要预防配方法的前叙错误16、【答案】:D【解析】：利用配方法,将二次型化为标准形2,2,22fx14x24x34x1x24x1x38x2x3(x12x22x3)2故f的标准形必为fZ1.应选D17、【答案】：D【解析】：选项A是必要条件,但不是充分条件.由于fXTAX正定的充分必要条件是正惯性指数pn.负惯性指数为零不一定有p选项B是充分条件,但不是必要条件.实际上,如果f为正定二次型,那么A为正定矩阵,可知A的特征值全大于零.假设存在正定矩阵Q,使QTAQQ1AQE,那么A的特征值全为1.显然,A正定时,其特征值虽大于零但未必全是1.选项C是必

21、要条件,但非充分条件.由于f是秩为n只要求A的特征值中不含零,但仍可能有负的特征值.选项D正确.A正定的充分必要条件是A合同于E.即存在可逆矩阵C,有ACTECCTC.故应选(.18、【答案】：y12yfy3【解析】：矩阵A与B合同,说明二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数.由矩阵B的特征多项式1 0一一一2|EB|10(2)(1),002得到矩阵B的特征值为1,2,-1.于是二次型xTBx的正惯性指数P2,负惯性指数q1.T222从而二次型xAx的标准形应当是y1y2y3.19、【答案】：2【分析】：合同变换不改变正、负惯性指数,因此只需确定B的特征值为一正、一负即可.【解析】：由

22、合同矩阵所对应二次型具有相同的标准形,知矩阵B的正、负惯性指数也均为1,于是r(B)112,从而有|B|(a1)2(a2)0.假设a1,那么r(B)1,不合题意1假设a2,由|EB|1-21221=(3)(3),11得B的特征值为0,3,3,此时正、负惯性指数均为1.2220、【答案】：ZiZ2【分析】：也即计算二次型的正负惯性指数,可以先通过合同变换将二次型化成较为简单的形式,再进行计算.yx1【解析】：令y2x12x25x2a3x3b3x3,该线性变换是非退化的,可知原二次型与变换之后x3y3的二次型y1y2是合同的,故有相同的合同标准型y1y2的矩阵为故合同标准型为2Zi2Z2,其特征值

23、为11八,.22,可知正惯性指数与负惯性指数均为1,五.正定二次型的判定与证实21、【答案】:(B)【解析】：由2f(3i1X1312X2313X3)(321X12322X2323X3)(331X1332X2、2333X3)XtAtAX(AX)t(AX)所以,对任意X0,f0的充要条件是ax0,即方程组ax0只有零解.因此实二次型f正定的充要条件是方程组ax0只有零解,即A为可逆矩阵,因此选(B)22、【答案】:(B)【解析】：由于aB为正定矩阵,那么.1111A,B仍是正定矩阵,故AB也是正定矩阵类似地选项C、D中的矩阵均为正定矩阵.故应选(B).事实上,由于而AB不一定等于BA,故AB未必是对称矩阵.23、【答案】：k2或k0TABbtatba【解析】：由于A