经典高三极坐标练习题

1、师道教育高一-解做题共30小题1.在平而直角坐标系中,己知曲线C的参数方程方程为沪2二吕0aI尸V3sinQ为参数,在极坐标系中,点M的极坐标为近,2.71.4I写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；II设直线1过点M且与曲线C交于A、B两点,假设|AB二2|MBb求直线1的方程2.曲线C的极坐标方程是P=4cos0.以极点为平而直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直1的参数方程是茫1+旺口t是参数/tsinCL1将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程：2假设直线1与曲线C相交于A、B两点,且ABI求直线的倾斜角a的值.3.己知曲线C的极坐标方程是P=2cos0

2、,以极点为平而直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是f仇t为参数.1求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程：2设点Pm,0,假设直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|?|PB'=b求实数m的值4 己知曲线C的极坐标方程是PJ,以极点为原点,极轴为X轴的正半x=1+兰轴建立平面直角坐标系,直线1的参数方程为%代为参(1)写出直线1与曲线C的直角坐标方程：(2)设曲线C经过伸缩变换f=2,得到曲线7,设曲线C'上任一点/y=y为M(X,y),求x+2V3y的最小值.5 .己知曲线C的极坐标方程为P=4cos0,以极点为原点,极轴为X轴正半轴

3、建立平面直角坐标系,设直线1的参数方程为1(t为参数).尸R(1)求曲线C的直角坐标方程与直线1的普通方程：(2)设曲线C与直线1相交于几Q两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积-6 .在直角坐标系xOy中,以原点0为极点,X轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线(t为参数),3.7=3+sint沪比严e(0为参y=3sin0数)(I)化C"L的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；)假设6上的点P对应的参数为t令Q为G上的动点,求PQ中点M到直线5P(cosO-2sin0)二7距离的最小值.7极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,两种坐标系中的长

4、度单位相同,己知曲线C的极坐标方程为P=2(cos0+sinO).(1)求C的直角坐标方程；直线1：*2(t为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于E,求|EA|+|EB|的值-8 .在平面直角坐标系xOy中,以原点.为极点,X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(近直线1的极坐标方程为Pcos4(0-2L)=a,且点A在直线1上.4(1)求a的值及直线1的直角坐标方程；(2)假设圆C的参数方程为产(a为参数),试判断直线1与圆Cy=sinCt的位置关系9 .在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,己知曲线C的极坐标方程为Psin"0=aco

5、s0(a>0),过点P(-尸-2+孚2,-4)的直线1的参数方程为；(t为参数),直线1与曲线十tC相交于A,B两点.(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线1的普通方程；(II)假设|PA?|PB|二|AB求a的值.9I10.直线1：】(t为参数).以坐标原点为极点,X轴的正半y=V3+yt轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为P=2cos0.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程：(2)设点M的直角坐标为(5,®直线1与曲线C的交点为A,B求的值11.曲线c：直线舅八为参数1写出曲线C的参数方程,直线1的普通方程II过曲线C上任意一点P作与1夹角为30.的直线,交1于点A,

6、求IPAI的最大值与最小值12 .在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为论如OeEo,I求C的参数方程；II设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线1：yf+2垂直,根据1中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.13 .将圆xLyT上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2借,得曲线C.I写出C的参数方程；II设直线1：2x+y-2=0与C的交点为匕,E,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段Pf?的中点且与1垂直的直线的极坐标方程14 .选修4-4：坐标系与参数方程曲线G的参数方程为二4+5ctt为参数,以坐

7、标原点为极点,才“5+5sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为P=2sin0.I把G的参数方程化为极坐标方程；II求G与G交点的极坐标P20,0W0<2兀15 .选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点0为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点A的极坐标为G伍,¥),直线1的极坐标方程为Pcos(9二)二小且点A在直线1上.(I)求a的值及直线1的直角坐标方程；(II)圆C的参数方程为(沪为参数),试判断直线1与圆C的位Iy=sina置关系16 .选修4-4；坐标系与参数方程动点P,Q都在曲线C：$:2c：P(P为参数)上,对应参数分别为p二

8、ay=2sinp与P=2a(0<a<2k),M为PQ的中点.(I)求弘的轨迹的参数方程(II)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点在平面直角坐标怎.讪直线】的参数方程为二；】(为参数),2曲线C的参数方程为尸(t为参数).试求直线1和曲线C的普通方程,>=2t并求出它们的公共点的坐标在平而直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为？玄2?(e为参数),y=sin(P曲线G的参数方程为(ab>0,e为参数)在以0为极点,Xty=bsin(P轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线1：o=a与各有一个交点.当时,这两个交点间的距离为2,当.弓时,这两个交

9、点重合.(I)分别说明G,G是什么曲线,并求出a与b的值；(H)设当时,1与G,G的交点分别为Al,B.当a=1与CG的交点为人B：,求四边形AABD的面积.19 .在直角坐标系xOy中,直线G的参数方程为I(t为参数),以该ly=2+t直角坐标系的原点0为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆a的方程为P=-2cos0+2A/3sin0.(I)求直线G的普通方程和圆G的圆心的极坐标;(II)设直线G和圆Cu的交点为A,B,求弦AB的长.20 .在直角坐标系xOy中,以0为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为Ps.n心中事,曲线G的参数方程为二：；嘴2琢(1)求6的直角坐

10、标方程；(H)当G与匚有两个公共点时,求实数a的取值范|嗣21 .己知曲线Cl：J二一4+?ost(t为参数),舅翥(.为参数).C：Cy=3+sint(1)化G,G的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；假设G上的点P对应的参数为t号Q为G上的动点,求PQ中点M舅家(t为参数)距离的最小值.22 .直线1的参数方程为(尸1乎土(t为参数),以坐标原点为极点,ly=V2tX轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是P二在吧1-sir?®(1)写出直线1的极坐标方程与曲线C的普通方程：(2)假设点P是曲线C上的动点,求P到直线1的距离的最小值,并求出P点的坐标23 .在直

11、角坐标系xOy中,设倾斜角为a的直线山(沪2芒cw：(七为I尸Vs+tsinQ参数)与曲线C：P=2cose(0为参数)相交于不同两点A,B.ly=sine(1)假设a#,求线段AB中点M的坐标；假设|PA|?PB|=|0P|其中P(2,V3).求直线1的斜率.24 .在平面直角坐标系xOy中,G：fucose(,为参数),将匚上ly=sine的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的近和2倍后得到曲线G以平而直角坐标系xOy的原点0为极点,X轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,己知直线1：P(迈cosQ+sinO)=4(1)试写出曲线G的极坐标方程与曲线G的参数方程；(2)在曲线L

12、上求一点P,使点P到直线1的距离最小,并求此最小值.25 .选修4-4：坐标系与参数方程己知曲线C的极坐标方程是P=2,以极点为原点,极轴为X轴的正半轴建沪2-寺t立平面直角坐标系,直线1的参数方程为£(t为参数)(I)写出直线1与曲线C的直角坐标系下的方程；设曲线C经过伸缩变霁；得到曲线设曲线L上任一点为M(X,y),求汁的取值范围26 .曲线G的极坐标方程是Pg,曲线G的参数方程是尸泊点42°'红卑,今,6是参数).乙X=1(1)写出曲线G的直角坐标方程和曲线G的普通方程；(2)求t的取值范用,使得CG没有公共点27 .平面直角坐标系xoy中,以0为极点,X轴的

13、正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线G方程为P=2sin0:G的参数方程为参数)(t为(1)写出曲线G的直角坐标方程和G的普通方程;(II)设点P为曲线G上的任意一点,求点P到曲线G距离的取值范围.28 .直线1的参数方程：fE+严罟0(t为参数),曲线C的参数方y=tsinO程：fx吨cosCt(a为参数),且直线交曲线C于A,B两点.|y二sinCt(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求0时,IAB的长度；4(II)点P：(1,0),求当直线倾斜角0变化时,|PA|?|PB的范,严中为D系科参G标方为in色攵SN娄？一一角参1y直的事以平在曲二数0为极点,X轴的正半轴为极釉建立极坐标系,曲

14、线Q是圆心在极釉上且经过极点的圆,射线0碍与曲线G交于点叽2,4).oo(1)求曲线G,G的普通方程；(2)a(Pi,0),B(P2,0吟)是曲线G上的两点,求才豆十才右的值.30.己知圆G的参数方程为Ppg?(4为参数),以坐标原点0为极点,y=sin(PX轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆G的极坐标方程为P=2V2cos(0(I)将圆G的参数方程他为普通方程,将圆G的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)圆G,C：是否相交,假设相交,请求出公共弦的长；假设不相交,请说明理由TIABI=21MBI,M为AB的中点,即匕+20A8sin(1-6cosa=0,/.tana=J-.41的方程为：厂1二

15、¥(田),即3x-4y+7=0.2.2021?鹰潭一模己知曲线C的极坐标方程是P=4cos0.以极点为平ffi直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直1的参数方程是沪1+口t是参数y=tsinC1将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；2假设直线1与曲线C相交于A、B两点,且ABUdia求直线的倾斜角a的值.【分析】此题1可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程；2先将直1的参数方程是口二1+tssClt是参数化成普通方程,再y=tsinCt求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数St

16、9;的关系式,利用ABhltx-td,得到a的三角方程,解方程得到a的值,要注意角a范圉.【解答】解：1Pcos0二X,Psin0=y,P=x+y?:曲线C的极坐标方程是P=4cos0可化为：P'二4Pcos0,/.x'+y'=4x,(X-2)+y=4.将(沪1+口代入圆的方程(X-2)齐4得："tsitiQ(tcosa-1)+(tsina)B=4»化简得t2tcosa-3=0.设A、B两点对应的参数分别为匕、Gtj+12=2cosCt72二-3,A|AB|=|ti-二J(t+t2)2-454s2=0483%+12,V|AB=aZT4,.V2.cos

17、a二±-2ae0,K),或(1三7144-直线的倾斜角a或443.(2021?洛阳二模)己知曲线C的极坐标方程是P=2cos0,以极点为平ffl直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线x=t+mL的参数方程是1(t为参数).尸R(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程：(2)设点P(m,0),假设直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|?PB|=b求实数m的值【分析】(1)曲线C的极坐标方程是P=2cos0,化为P=2Pcos0,用舄:舄可得直角坐标方程直线L的参数方程是利】(人为参数,把t二2y代入只出七+皿消去参数t即可得出.22x=t+m把t为参数代

18、入方程:x'+y'二2x化-2m=0,feAO月凯,利用PA|?|PB|=tE即可得出.【解答】解：1曲线C的极坐标方程是P=2cos0,化为p2PcosO>可得直角坐标方程：xV=2x.e直线L的参数方程是x=t+mt为参数,消去参数t可得xWSy+ir.尸RX二t+m把t为参数,代入方程:x'+yw2x化为：尸R2m=0,由>(),解得T<m<3.V|PA|?|PB=1=tZ/.m'-2nl二土b解得irFl土V2,1.又满足AXL实数m=l±V2.1.4. 2021?汕头模拟己知曲线C的极坐标方程是PJ,以极点为原点,极轴

19、为X轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线1的参数方程为x=l+兰%t为参数.1写出直线1与曲线C的直角坐标方程：2设曲线C经过伸缩变换f二2咛寻到曲线L,设曲线C'上任一点y=y为MX,y,求x+2V3y的最小值.【分析】1利用P_LX和y',将P=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2X-1代入下式消去参数t即可；2根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入x+2V3y.根据三角函数的辅助角公式求出最小值.x=+主【解答】解：1直线1的参数方程为%t为参数尸2+联由上式化简成t=2X-1代入下式得hV3X,zy+2-V

20、3=02Tp；二“卜二y曲代入C得L:工+/二15分4根据P进行化简得C：xV=12分设椭圆的参数方程沪,口仝必、,八、ly=sin08为参数7分那么s+2V3y=2cog6+3屈sin6二4sin6-i9分那么x+2V3y的最小值为-4.10分5. 2021?邯郸二模己知曲线C的极坐标方程为P=4cos0,以极点为原点,极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线1的参数方程为X二5+乎tt为参数.1求曲线C的直角坐标方程与直线1的普通方程：2设曲线C与直线1相交于KQ两点,以PQ为一条边作曲线C的内接矩形,求该矩形的面积-【分析】1利用公式x二PcosO,y二PsinO即可把曲线C的极坐标方

21、程化为普通方程；消去参数t即可得到直线1的方程；2利用弦长IPQI=277/-圆的内接矩形,得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积【解答】解：1对于C：由P=4cos0,得P二4Pcos0,进而x+y'二4x；X二5十争t为参数,对于1：由-尸R得尸-_L6-5,即|J-5二0.5分Vs2由1可知C为圆,且圆心为2,0,半径为2,贝!弦心总巨J2-V,-5寻因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积S=2d-PQ|=3VY-vi+310分弦长|PQ|二22、1二好6. 2021?太原三模在直角坐标系xOy中,以原点0为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线严-4+costt为参数,

22、G：y=3+sintS-：eo为参数I化CQ的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；H假设G上的点P对应的参数为t令Q为G上的动点,求PQ中点M到直线G:PcosO-2sin0二7距离的最小值.【分析】(1)曲线3,沪-(t为参数),利用si/t+cos'zl即y=3+sint可化为普通方程；33二氐：(0为参数),利用cos'0+siJO二1化为ly=3sin9普通方程(II)当t二A时,P(-4,4),Q(8cos0,3sin0),故2M(-2+cose,24-sin9)»直线C3：P(cosO-2sin0)=7化为x-2y=7,2利用点到直线的距离公式与三

23、角函数的单调性即可得出【解答】解：(1)曲线G产血.st(t为参数),化为(X+4):+(y.7=3+sint-3)±1'C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆S-：e(0为参蚣化为第G:G为中央是坐标原点,焦点在X轴上,长半轴长是&短半轴长是3的椭圆(II)当tJLo寸,P(-4,4),Q(8cos0,3sin0),故2MC-2+4cose,2-K|sin9)»乙直线Cj：P(cos0-2sin0)=7化为x-2y=7,M至UCs的距离d=4cog0-3sin0-13卜I5sin(0+d)+13|,从而当cossin0=1,sin0二-JL时,d取得最小值

24、砸.5557. (2021?漳州二模)极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为X轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的极坐标方程为P=2cos0+sin0)1求C的直角坐标方程；Xt2直线1：2-t为参数与曲线C交于A,B两点,与y轴交于尸".1呼tE,求|EA|+|EB的值.【分析】1将极坐标方程两边同乘P,进而根据PW+yx=Pcos0,y=PsinO,可求出C的直角坐标方程：2将直线1的参数方程,代入曲线C的直角坐标方程,求出对应的t值,根据参数t的儿何意义,求出EAi+EBI的值【解答】解：(1):曲线C的极坐标方程为P=2(cos0+sin0)/.P'=2

25、Pcos0+2Psin0/.x'+y'=2x+2y即X-1+y-1=25分2将1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,所以|EA'+iEB|=ti+t：=ti-匕|二上+±22-牡八？10分8. 2021?梅州二模在平面直角坐标系xOy中,以原点0为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为JL2L,直线14的极坐标方程为Pcos0-2L=a,且点A在直线1上.41求a的值及直线1的直角坐标方程；假设圆C的参数方程为谊：齐'为参数,试判断直线】与圆C的位置关系.【分析】(1)利用点在直线上,代入方程求出为利用极坐标与直角坐标的互化,求出直线的

26、直角坐标方程(2)化简圆的参数方程与直角坐标方程,求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离与半径比拟即可得到直线与圆的位置关系【解答】解：(1)点A的极坐标为(A),直线1的极坐标方程为Pcos4(0-2L)=a,且点A在直线1上.4可得：V2cos(-ZL-ZL)=a,»解得a二近.44直线1的极坐标方程为Pcos(0-王)=行,即：Pcos0+Psin0直线1的直角坐标方程为：x+y-2=0.圆C的参数方程叫管:齐(a为参数),可得圆的直角坐标方程为：(X1)+y'=1.圆心(1,0),半径为：1.由于圆心到直线的距离"护所以<b直线与圆相交9. (2021?

27、开封四模)在平而直角坐标系中,以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,己知曲线C的极坐标方程为Psin0=acos0x=-2+¥t尸-哼参数),直线1与曲线C相交于A,B两点.(a>0),过点P(-2,-4)的直线1的参数方程为(t为(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线1的普通方程；(II)假设iPAi?PB|=iAB求a的值【分析】(1)把曲线C的极坐标方程、直线1的参数方程化为普通方程即可；(II)把直线1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得关于t的一元二次方程,由根与系数的关系,求出便、G的关系式,结合参数的儿何意义,求出a的值【解答】解：(I)曲线C的极坐

28、标方程Psin0=acos0(a>0),可化为P'sin0=aPcos0(a>0).即y=axa>0；2分尸-2+孚直线1的参数方程为；(t为参数),十t消去参数t,化为普通方程是y=x-2；(4分)(II)将直线1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y'=ax(a>0)中得/-V2Ca+8)t+4(a+8)二(T设A、B两点对应的参数分别为ti,t那么t+t2二逅(a+8),tJt2=4(a+8):(6分)V|PA|?|PB|=1AB-七2)5(tj+t2)2=(t-±2)(9分)即V2c8+a)2=20(8+a)'解得；a=2或a二-

29、S(不合题意,应舍去)；a的值为2.12分10.2021?湖南己知直线t为参数以坐标原点为极Ws+yt点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为P=2cos0.1将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；2设点M的直角坐标为5,®直线1与曲线C的交点为A,B,求2直线1的方程化为普通方程,【解答】解：1TP=2cos0.角坐标方程为X-1+y=l;直线t为参数,【分析】1曲线的极坐标方程即P2PcosO,根据极坐标和直角坐标的互化公式得即得它的直角坐标方程；利用切割线定理可得结论AP-二2PcosO,Ax,+y-=2x,故它的直普通方程为尸亚汀勿工5,V3Y号33在直线1上,过

30、点M作圆的切线,切点为T,贝ij|MT|-二5-1-+3-1=18由切割线定理,可得|MT-=|MA?MBM8.222021?新课标I己知曲线G才言寸,直线LI写出曲线C的参数方程,直线1的普通方程II过曲线C上任意一点P作与1夹角为30.的直线,交1于点A,求IPAI的最大值与最小值【分析】1联想三角函数的平方关系可取x=2cos0.y=3sin0得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线1的普通方程：II设曲线C上任意一点P2cos0,3sin0.由点到直线的距离公式得到P到直线1的距离,除以sin30°进一步得到IPAI,化积后由三角函数的范围求得IPAI的最大值与最小值22【解

31、答】解：(I)对于曲线C：邑可令x=2cos0Sy=3sin0,49故曲线C的参数方程为(0刍公符.对于直线雪:®Iy=2-21由得：t=x-2,代入并整理得：2x+y-6=0；(II)设曲线C上任意一点P(2cos0T3sin0)P到直线1的距离为d|4ccis04-3sin0-61.5那么PA|二|5sin(0+Cl)-&I»其中a为锐角.jginSO5当sin(0+a)=-1时,IPAI取得最大值,最大宿为翌二5当sin(0+a)=1时,|PA|取得最小值,最小值为耳八乞12. (2021?新课标H)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立

32、极坐标系,半圆C的极坐标方程为P=2eos0,OeEO,A(I)求C的参数方程；(II)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线1：y=V3x+2垂直,根据中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.222【分析】(1)利用P即可得出直角坐标方程,利用cos't+sin%二1.x二PCOSO进而得出参数方程(2)利用半圆C在D处的切线与直线1：yWx丰2垂直,那么直线CD的斜率与直线1的斜率相等,即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标【解答】解7)由半圆C的极坐标方程为X2C.以OeEoJ即P'=2Pcos0,可得C的普通方程为(X-1)'+y'=l(OWy

33、Wl)可得C的参数方程为(t为参数,OWtWii).y=sint(2)设D(1+cost,sint),由(1)知C是以C(b0)为圆心,1为半径的上半圆,T直线CD的斜率与直线1的斜率相等,tantW,t=2L,3故D的直角坐标为Hcos4-si碍,即斗啤.00乙乙13. 2021?辽宁将圆xV=l上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2借,得曲线C.I写出C的参数方程；II设直线X2x+y-2=0与C的交点为R,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段Pf的中点且与1垂直的直线的极坐标方程【分析】<.在曲线C上任意取-点X,y,再根据点X,1在圆x'+y&#

34、39;l上,求出C的方程,化为参数方程(II)解方程组求得R的坐标,可得线段PA的中点坐标-再根据与】垂直的直线的斜率为寺用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=Pcosa,y=psina可得所求的直线的极坐标方程.【解答】解：(I)在曲线c上任意取一点(X,y),由题意可得点(X,尹在圆x'+y'=1上,22rft宁I,即曲线C的方程为扣严化为参数方程为怎舄W0<2n,0为参数)2/XX(II)由X,可得1沪1,(),不妨设Pl(1,0)、P：(0,2),2z+y-2=01尸.I尸2那么线段PR的中点坐标为(_L,1),2再根据与1垂直的直线的斜率为JL,故所求的直线的

35、方程为y-1±(X-22寺),即X-2吟0.再根据X二Pcosa、y=psina可得所求的直线的极坐标方程为Pcosa-2Psina+3=0,2即P-4sina-2cosCL314. (2021?新课标I)(选修4-4：坐标系与参数方程)曲线G的参数方程为3二肝弘t(t为参数),以坐标原点为极点,X5+5sint轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为P=2sin0.(I)把G的参数方程化为极坐标方程；(II)求G与G交点的极坐标(PNO,0W0<2兀)【分析】(I)对于曲线G利用三角函数的平方关系式sijt+cos%=l即可得到圆G的普通方程；再利用极坐标与直角坐标

36、的互化公式即可得到G的极坐标方程；(II)先求出曲线G的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出G与G交点的极坐标【解答】解：I曲线G的参数方程式3二4+58stt为参数,y=5+5sint得X-4'+5-5'25即为圆G的普通方程,即x+y'-Sx-10y+16=0.将x二Pcos0,y=Psin0代入上式,得.P,-8pcos0-IOpsin0+16=0,此即为G的极坐标方程：II曲线L的极坐标方程为P=2sin0化为直角坐标方程为：-2y=0,.岛产时伽十16丸解得严1或严0.由-2y=01尸11尸2G与G交点的极

37、坐标分别为近,2L,2,A4215. 2021?福建选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点0为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点A的极坐标为丁'¥'直线1的极坐标方程为PCOS0-专二8,且点A在直线1上.I求a的值及直线1的直角坐标方程；II圆c的参数方程为为参数,试判断直线1与圆C的位Iy=sina置关系【分析】1根据点A在直线1上,将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值,再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线1的直角坐标方程；II欲判断直线1和圆C的位置关系,只需求圆心到直线的距离与半径进行比拟即可,根据点到线的距离公式求出圆心

38、到直线的距离然后与半径比拟【解答】解：I点人近,¥在直线1上,得迈遇手-手总,故直线1的方程可化为：Psin0+Pcos0=2,得直线1的直角坐标方程为x+y-2=0；II消去参数a,得圆C的普通方程为X-1圆心C到直线1的距离d二工金V五一2所以直线1和©C相交.16. (2021?新课标H)选修4-4：坐标系与参数方程动点P,Q都在曲线(P为参数)上,对应参数分别为P二aty二2sinp与P=2a(0<a<2kM为PQ的中点(I)求M的轨迹的参数方程(II)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点【分析】(I)根据题意写出P,Q两点

39、的坐标:P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2a),再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程；II利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d=J/+y2=A/2+2cga,再验证当a二n时,d二0,故M的轨迹过坐标原点.【解答】解：I根据题意有:P2cosa,2sina,Q2cos2a.,2sin2a,TM为PQ的中点,故Mcosa+cos2a»sin2a.+sina,:求M的轨迹的参数方程为:r«=c.sCtfcos2clQ为参数,o<aV2n.y=sinCI+sin2aIIM到坐标原点的距离d=777V2+2co&#

40、163;a0<u<2ji.当a=K时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.17.2021?江苏在平面直角坐标系xOy中,直线1的参数方程为沪七+1,y=2t*一2为参数,曲线C的参数方程为尸t为参数.试求直线1和曲线y=2tC的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【分析】运用代入法,可将直线1和曲线C的参数方程化为普通方程,联立直线方程和抛物线方程,解方程可得它们的交点坐标.【解答】解：直线1的参数方程为J沪t十1为参数,ly=2t由x=t+l可得t=x-b代入y=2t,可得直线1的普通方程：2x-y-2=02曲线C的参数方程为.尸2,t为参数,化为y'=2x,尸2t吨解得G于是

41、交点为2,22,i-1.反三*118.2021?辽宁在平面直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为口pg?e为参数曲线G的参数方程为J二&8S?y=bsinP(a>b>0,y=sinPe为参数在以0为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线1：各有一个交点当a二0时,这两个交点间的距离为2,当个交点重合I分别说明G,G是什么曲线,并求出a与b的值；ID设当a=A时,1与5匚的交点分别为血,Bn当a二-2L时,144与CG的交点为A：,B：,求四边形AiA'BcB：的面积【分析】I有曲线G的参数方程为-3玄.2?e为参数,曲线G的参y=sinP数方程为严？a>b

42、>0,e为参数,涪去参数的G是圆,Q是椭ty=bsin<P圆,并利用.当a二.时,这两个交点间的距离为2,当a时,这两个2交点重合,求出a及b11利用G,G的普通方程,当a=2L时,1与5G的交点分别为端4Bn当a二-2L时,1与G,L的交点为A：,B：,利用面积公式求出而积.4【解答】解：IG是圆,C：是椭圆当a=0时,射线1与G,G交点的直角坐标分别为1,0,/0,由于这两点间的距离为2,所以沪3当T比射线5G交点的直角坐标分别为0,10>b,由于这两点重合所以b=l2II5G的普通方程为x'yT和手+/二19当aJL时,射线1与G交点A的横坐标为沪匹,42与G交

43、点B1的横坐标为/上叵.10当1二-2.时,射线1与G,G的两个交点B：分别与1帚B】关于X轴对称,因此四边形ArA：B：Bi为梯形故四边形的面积为仅7二+2x)(*-X)/.19.(2o6?离石区二模)在直角坐标系XOV中,直线G的参数方程为(t一为参数),以该直角坐标系的原点0为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆C：的方程为P=-2cos0+2V3sin0(I)求直线G的普通方程和圆G的圆心的极坐标；(II)设直线G和圆C：的交点为A,B,求弦AB的长【分析】(1)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标(II)由(1)求得(-b73)到直线X-y+l=0的距

44、离d,再利用弦长公式求得弦长【解答】解：(I)由G的参数方程消去参数t得普通方程为x-y+l=0,圆G的直角坐标方程(X+1)基(y-V5)2=4,所以圆心的直角坐标为(-b®所以圆心的一个极坐标为(2,1A).3(II)由(1)知(-1J3)到直线X-y+1二0的距离切呼-V22所以AB二24-严而20. (2021?焦作一模)在直角坐标系xOy中,以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为5(.+却呼G的参数方程为一昌为参数,(I)求G的直角坐标方程；(II)当G与匚有两个公共点时,求实数a的取值范|管可【分析】(1)利用极坐标方程的定义即可求得：(H)数形结

45、合：作出图象,根据图象即可求出有两交点时a的范围-【解答】解：(.)曲线G的极坐标方程为P警心弊So)事,曲线C1的直角坐标方程为x+y-a=0.(II)曲线G的直角坐标方程为(X+1)'+(y+1)T(-iWyWO),为半圆弧,如下图,曲线G为一族平行于直线x+y=0的直线,当直线G过点P时,利用4彳二1得a二-2土近,72舍去b2.近,那么a二-2+近,当直线G过点AsB两点时,a=-1由图可知,当曲线G与曲线G有两个公共点21. (2021?衡水校级一模)曲线G：工沪-(t为参数),C：y=3+sint舅加0为参数).(1)化G,G的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；假

46、设G上的点P对应的参数为t哥Q为G上的动点,求PQ中点M»(t为参数)距离的最小值.尸2+1【分析】(1)把参数方程化为直角坐标方程,再根据圆、椭圆的标准方程可得结论(II)利用点到直线的距离公式求得M到Cs的距离14cog9-SginQ-13|=A/5isin(0+a)从而求得d取得最55小值【解答】解：(I)把G,匚的参数方程消去参数,化为普通方程分别为22Cji(时4)即(y3)2二;L,c?；冷L二bCl为圆心是(-4,3),半径是1的圆；C：为中央是坐标原点,焦点在X轴匕长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(II)当/,p(-4,4),女Q(8cos0,3smUK(-2+4c

47、ose,C3为直线x-2y-7=0,乙求得M到Cs的距离54cog9-3gin0-1375gos0-Esin0-13|=/5|sin(0+a)-135I,其中,sin(l=A,coso=-5555d取得最小值为从而当sin(0+a)=1,即当cos0=4sin.二-色时,5522. 2021?衡阳三模直线1的参数方程为STt为参数,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是1-si/e1写出直线1的极坐标方程与曲线C的普通方程：2假设点P是曲线C上的动点,求P到直线1的距离的最小值,并求出P点的坐标-【分析】此题1可以先消参数,求出直线1的普通方程,再利用公式将曲线

48、C的极坐标方程化成平面直角坐标方程,2利用点到直线的距离公式,求出P到直线1的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到此题结论/.X-y=l-直线的极坐标方程为：PcosO-PsiiiO=l.【解答】解：(1)F=l+V2t即(COSOcos-sinOsirr)=1,即cos(6+-)=1-dsin0Q=,1 sin-0.GsineP-'COSV/.PCOS'0=sin0,Pcos0=Psin0即曲线C的普通方程为y二x设P(xo,yo),P到直线的距离：1212q卜切-另-孑I丸-豆+石V2V2V2V2.当时,士上2二此时P每+,-当P点为寺,+时,P到直线的

49、距离最小,最小值为警.23. 2021?河南一模在直角坐标系xOy中,设倾斜角为a的直线Lr沪2cw.at为参数与曲线C：严2严*80为参数相交于I尸Vs+tsinQy=sin9不同两点A,B.假设.号求线段AB中的的坐标；2假设|PA?|PB|=OP其中p2,V3,求直线1的斜率.【分析】1把直线和圆的参数方程化为普通方程,联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标,待入直线方程再求中点的纵坐标；2把直线方程和圆的方程联立,化为关于t的一元二次方程,运用直线参数方程中参教t的儿何意义,结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值,那么斜率可求,x=2+yt【解答】解：当a号寸,由舄舄加得叱以直

50、线方程为yW'x-由rx=2cose,得曲线C的普通方程为¥_+/二1,Iy=siny4Vs设A(xnyi),B(X2,72)再由J,巧,得：13x-24x+S=0,所以学41,字二呼必-后笔,所以M的坐标为213(13,132A(2)把直线的参数方程代入备+/二1,得：(l+3siJa)t件(&/鬼ina+4cosa)t+12二0所以tjt尸一%一,*|PA|?|PB|=|tit2八二|OP|M,得:一:7,(1+SsirTa)l+3sinCt所以cosCl所以寻,所以tan±八164所以直线L的斜率为土亚.424. (2021?衡水校级二模)在平面直角坐

51、标系X0V中,己知C.管需(0为参数),将G上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的V2W2倍后得到曲线C：以平面直角坐标系xOy的原点0为极点,X轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,己知直线1：P(妊osO+sinO)=4(1)试写出曲线G的极坐标方程与曲线G的参数方程：(2)在曲线G上求一点P,使点P到直线1的距离最小,并求此最小值【分析】(1)把G消去参数化为普通方程为xV二b再化为极坐标方程根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C：的普通方程,再化为极参数方程2先求得直线1的直角坐标方程,设点P伍OS0,2sin0,求得点TT2IVsinC02IP到直线的距离为d二,故当si

52、n0-A=1时,即V340=2k71+A,kEz时,点P到直线1的距离的最小值,从而求得P的坐4标以及此最小值【解答解：1把S尸3500为参数,消去参数化为普通方程y=sin9为x'+y'=b故曲线G：的极坐标方程为P=1再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线G的普通方程为2222言金玄=1,即W故曲线G的极参数方程为0为参数.ly=2sin92直线1：P近cos0+sin0=4,即V>y-4=0»设点PV2cos0,2sin0,兀那么点P到直线的距离为尹口.一k"VFT75故当sin0+一二1时,d取得最小值,此时,0二21X31+兀,kGz,点P44

53、b近,故曲线C：上有一点P心满足到直线1的距离的最小值为-攀25. 2021?晋中模拟选修4-4：坐标系与参数方程己知曲线C的极坐标方程是P=2,以极点为原点,极轴为X轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线1的参数方程为4t为参数I写出直线1与曲线c的直角坐标系下的方程；5设曲线C经过伸缩变换；得到曲线设曲线L上任一点为MX,y»求号y的取值范围【分析】I利用P-xV.将P=1转化成直角坐标方程,然后将直线的参数方程的上式化简成t=2X-1代入下式消去参数t即可；11根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程,然后利用参数方程表示出曲线上任意一点,代入根据三角函数的辅助角公式求出其范【解答】解

54、：I直线1的普通方eVSx+y-273-1=0曲线C的直角坐标方程x'+yX；4分r/_2II曲线C经过伸缩变换打得到曲线C的方程为/+二a/y=2y4那么点M参数方程为沪尤e,代入届+_Ly得,ly=4sine2寺y二a/5?2cos0+寺X4sin6=2sin0+2V3cos©=4sin9+二G-4,4y的取值范围是4,410分26. 2021?南安市校级模拟己知曲线G的极坐标方程是P曲线G的参数方程是尸泊点45红卑,今,e是参数.乙1写出曲线G的直角坐标方程和曲线G的普通方程:2求t的取值范使得CG没有公共点【分析】1把曲线G的极坐标方程化为直角坐标方程是xV=2,把曲线G的参数方程化为普通方程是x=lt+|<y<2H|.结合图象,根据直线和圆的位置关系可得,当且仅当rt>o心或气01/寸,GC：没有公共点,由此求得t的取值范围.【解答】2佗1解：1曲线