竖直方向上的弹簧振子

1、竖直方向上的弹簧振子周峰1 .竖直方向上的简谐运动模型由简谐运动的定义可知，要证明物体做简谐运动可从两方面入手：回复力大小跟物体偏离平衡位置的位移成正比；回复力方向总指向平衡位置。下面就来证明竖直方向上的弹簧振子做简谐运动。如图1,把一个质量为m的有孔小球系在劲度系数为k的轻弹簧的上端，弹簧的下端固定,小球穿在光滑的竖直杆上，可以在竖直杆上滑动。小球静止在O点时，回复力为零。O点是振动的平衡位置，此时弹簧处于压缩状态，设压缩量为坛。，则有如睢。把小球拉到平衡位置上方M点，偏离平衡位置O点的位移为A,然后释放，则在振动过程的任意位置（以图中的P点和Q点为例，设偏离平衡位置的位移分别为/和）进行受

2、力分析，根据牛顿第二定律分别有在P点：若弹簧被拉伸，回复力的大小产=mg+上（X-A%）=%若弹簧仍处于压缩状态，回复力的大小F=mg-天。=以在Q点，弹簧处于压缩状态，回复力大小F上（叼+Ax0）-mg=在此过程中，回复力F的方向始终指向平衡位置。因此，竖直方向的弹簧振子做的是简谐运动。图2与图1中的情况基本相同，同学们可自行分析。2 .与水平方向弹簧振子的比较分析竖直方向的弹簧振子，要透彻理解平衡位置、振幅、回复力等重要概念，还要准确运用简谐运动中一些物理量的对称性特点，合理地进行类比、推理。另外，分析弹簧模型的受力、能量及临界条件也是必不可少的。弹簧振子受力特点运动特点能量特点水平方向回

3、复力由弹簧弹力（合外加提供，平衡位置为弹簧处于原长时的位置口振子在平衡位置附近做往复运动，速度和加速度随时间按正弦规律变化口动能马弹性势能相互转化,振子与弹簧组成的系统机械能守恒.竖直方向回复力由重力和弹簧弹力的合力（合外力）提供，平衡位置为弹簧处于压缩（图1）或拉伸（图2时的位苜.同上动能、强性势能和重力势能相互转化，振子与弹簧组成的系统机械能守恒.例1.一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为4=4Q0N/海，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B,B的上下表面恰好与盒子接触，A和B的质量域H二根R二1至，g=10m/s2,不计空气阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一

4、起上下运动，已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小。试求：（1） A的振幅；（2） B的最大速率；（3）在最高点和最低点A与B之间的作用力。分析：（1）设A和B做简谐运动的平衡位置为弹簧的压缩量为瓦时的位置，则得，故A的振幅为10cm(2)当B运动到平衡位置时速率最大。在A和B运动的初始位置和平衡位置，弹簧的伸长量与压缩量相等，故弹性势能不变。?期十加2)$4二-(/nA十.由动能定理得所以-1：:-(3)设AB一起运动的最大加速度大小为a(最高点和最低点)，由于牛顿第二定律得(冽/十洲。g+就Q=伽1A+掰卫)4得鼻二20m/s取B为研究对象，在最高点时有僧居+及="故A对B的作用

5、力及=1°*,方向向下；在最低点时有丁，''故A对B的作用力为='ON,方向向上。例2.如图3所示，质量分别为冽且二温和小二愧的a、B两物块，用劲度系数为k的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N的力把物块A向下压，使之处于静止，突然撤去压力，则()A.物块B有可能离开水平面B.物块B不可能离开水平面C.只要k足够小，物块B就可能离开水平面D.只要k足够大，物块B就可能离开水平面分析：撤去压力后，物体A在竖直方向上做简谐运动，初始位置的回复力最大，为F=45N由回复力的对称性特点，当A运动到最高点时，回复力也为45N,方向向下。设此时弹簧弹力为用,

6、有尸二玛十小g，得区”25拉。因为用工叫品,故物体B不可能离开水平面。选B例3.如图4所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A,木匣A顶部悬挂一木块B,A和B的质量都是1kg,B距木匣底面h=6c,当它们都静止时，弹簧长度为L。某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚好为零时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v=1m/s。木块B可看成质点，求：(1)碰撞中的动能损失限;(2)弹簧的劲度系数k;(3)开始静止时弹簧的弹性势能%。分析：(1)悬挂木块B的细线断开时和弹簧长度又为L时弹簧的弹性势能相等，故系统机1QLE-tngh-一(2加»°=0.6J械能损失为2碰撞中动能的损失等于系统机械能的损失，即%=改=(2)细线断开后，木匣A在竖直方向上做简谐运动，到达最高点时弹簧恰好恢复原长，设开始弹簧的伸长量为&,碰撞前B的速度为%,碰撞后共同速度为禺，则有-Ax)=g如:fwtpi=.y朕101>A£a=-fnv£-(2vr他h=2噂解得Ax=Q04叫上=50017/m(3)细线断开后，A做简谐运动到最高点时和B碰撞，碰撞时弹簧为原长，由机械能守恒得/=叫=0."。练习：如图5所示，质量为m的物体放在下端固定的弹簧上端，