马尔科夫链的转移概率矩阵

1、转移概率(transitionprobability)什么是转移概率转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。当样本中状态m可能发生转移的总次数为i,而由状态m到未来任一时刻转为状态ai的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为：n)=PXm+n=ajXm=出这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(Pij(m,m+n)当m=1时为一阶转概率矩阵，m>2时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵

2、，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。转移概率与转移概率矩阵1假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表-1所示的统计表。表一1两种牙膏之间的转移概率拟用山一黑妹牙膏中华牙膏现用黑妹牙膏

3、60%40%中华牙膏30%70%上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵60%40%：=30%70%；称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。2.用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：(3000,7000)苗70%=(3900,6100)即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为

4、：(3900,6100)60%40%-30%70%=(3000,7000)=(3000,7000)60%30%40%'70%io%30%40%-70%60%40%30%70%j2=(4170,5830)60%40%r这里3°%70%称为二步转移矩阵，也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步车t移概率矩阵的平方。一般地，k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明，k步转移概率矩阵中，各行元素之和也都为1。马尔可夫过程(MarkovProcess)什么是马尔可夫过程1、马尔可夫性(无后效性)过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的

5、条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。2、马尔可夫过程的定义具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。用分布函数表述马尔可夫过程：设I:随机过程X,tinT)的状态空间，如果对时间t的任意n个数值：PX(%)<%=n-1(注:X(tn)在条件X(ti)=xi下的条件分布函数)X(tn)在条件X(tn-1)=xn=PXd<xn|X(in_i)=GR(注:-1下的条件分布函数)或写成：这时称过程X,tG具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。3、马尔可

6、夫链的定义时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简记为Xn=XS)E=O/2。马尔可夫过程的概率分布研究时间和状态都是离散的随机序列:Xn=X(n)n=0,1,2,，状态空间为I=Qi,%M£R1、用分布律描述马尔可夫性对任意的正整数n,r和。0h</2V-<J<m；士匕7%北+”1£鲁,有：Prn+n=ajh=色内，入立=，i=air,Xm=内PXm+n=aj|Xm=ai,其中出£I。2、转移概率称条件概率Pij(m,m+n)=PXm+n=aj|Xm=ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下,在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。说明：

7、转移概率具胡特点：oc£P虱mn)=1)i=1T2,J=1o由转移概率组成的矩阵网禺蹙与的切+助称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。3、平稳性当转移概率Pij(m,m+n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。此时，记Pij(m,m+n)=Pij(n),Pij(n)=PXm+n=aj|Xm=ai(注：称为马氏链的n步转移概率)P(n)=(Pij(n)为n步转移概率矩阵。特别的，当k=1时，步转移概率：Pij=Pij(1)=PXm+1=aj|Xm=ai步转移概率矩阵：P(1)的状态酎m的状态PllP11PllP22PilPilPlj'Pl/二%记为尸马尔可夫过程的应用举例设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,任一天晴或雨是互为逆事件。以0表小晴天状态，以1表小雨天状态，Xn表布第n天状态(0或1)。试定出马氏链Xrt,n>1的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？1/3,晴天转雨天的概率为解：由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/2,故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为:又由于01、0P2=1