计数方法与技巧(插板法)

1、计数方法与技巧（插板法概念）口插板法插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均，啡交“，即要求每蛆至少一个元素.我们先来看个例题.计数方法与技巧（插板法例题1）7.10只无差别的橘子放到3个不同的盘子中，不允许有盘子空着，请问一共有多少种不同的放法？一1分析】最基本的方法：枚举归纳法。1+2+5+4+5+6+7+8=36（木）具体示例：丸1,L6,手；1;6*，2；6,1,3；5,4,1；5,3,2；5,33；5,1,4；4,5,h4,4,2r4,3,九4,2,4；4,1,5；3,6,1；3,5,2；3,4,3：3,3,4j3,2,5；3,1,6；2,7fh2,6,2；2,5,3；2,

2、4,4;2,3,5a2f2,6f2,1,7?1,8,1；1,7,2；1,6,3；1,5,4：1,4,5；1,36,1,2,7（L1,8.这种方法比较塞施，而且栽.费较多的时间，我们有没有更好的办法呢？方法二：插板法。把1。只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，不允许盘子空着，我们可以用插板法，把这I。个橘子排成一列，1Q个橘子之间有9个空隙，我们只要选定这9个空隙中的2个空隙，这样就分成了3组，相当于把这10个橘子分成了3堆，所以只要求出从这9个空隙中选出2个空隙有多少种方法就可以了.共有喏=36（种）。若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？我们来看下一个例题。计数方法与技巧

3、（插板法例题2）8-10只无差别的橘子放到3个不同的盘子中，允许有盘子空着，请问一共有多少种不同的放法？K.4“fji«,11VJW1WW"WE分析】有的冏学看这遒题与上题长得很像，直接套用上题答案，就回答36种,这样做对吗？仔细审题，发观原来上题是不允许有盘子空着，邪充许空着又该怎冬儆呢？把1。只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着，相左于把13只橘子放入3个不同的盘子，不允许任何一个盘子空着，这两种放法没有差别,我们仍然可以用插板法，把这13个橘子排成一列，13个橘子之间有12个空隙，我们只要选定这12个空隙中的2个空隙，这样就分成了3蛆，相当于把这13个橘

4、子分成了3年，所以只要求出从这口个空隙中选出2个空隙有多少科方法就可以了。g二面（种）由上述问题的分析解决看到，这种描板法解决起来非常简单，但同时要注意，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件；（1）所要分的元素必须完全相同；所要分的元素淞须分完，决不允许有剩余；参与分元素的每组至少分到t个，决不允许出现分不到元素的组。计数之插板法习题1插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素（3） 分成的组别彼此相异举个很普通的例子

5、来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法，c92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用a凑元素插板法（有些题目满足条件（1）,不满足条件（2）,此时可适用此方法）1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？2:把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？b添板插板法3:把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？4:有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257,1459等等，这类数共

6、有几个？5:有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349,1427等等，这类数共有几个？点击下页查看答案：答案：1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是c122=662、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？c82=283、 -o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o菜EzN

7、10/、球,-菜Ezn空位11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空则每一组都可能取球为空c122=664、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab显然a+b<=9,且a不为01-1-1-1-1-1-1-1-1-1代表9个1,-代表10个空位我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1,第二组取到b个1,但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0,所以一共有c102=455、类似的，某数

8、的前三位为abc,a+b+c<=9,a不为01-1-1-1-1-1-1-1-1-在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1,第二组取b个1,第三组取c个1,由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板设取到第10个板时，第二组取空，即b=0;取到第11个板时，第三组取空，即c=0o所以一共有c113=165计数之插板法习题2c选板法6:有10粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？d分类插板7:小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？e二次插板法8:在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几

9、种情况?答案:6、o-o-o-o-o-o-o-o-o-oo代表10个糖，-代表9块板10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉这样一共就是2A9=512啦7、此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天，最少吃1天1:吃1天或是5天，各一种吃法一共2种情况c101=102:吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况?3:吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天？c82=284:吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c63=20所以一共是2+1

10、0+28+20=60种三个节目abc8、-o-o-o-o-o-o-可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位所以一共是c71Xc81Xc91=504种1台，共有多少种分法?2台，共有多少种分法?0台，共有多少种分法?1、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分2、将13台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分3、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分(C82C920112)计数之插板法习题41、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完

11、，有多少种吃法？3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？计数之插板法习题4(2)1、解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的

12、方法数是C。(板也是无区别的)2、解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互不相邻，其方法数为4。3、注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。4、解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位

13、置全部放球即可。因此方法数为4。计数之插板法习题51、一条马路上有编号为1、2、，、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？2、一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案？答案1、解析：要关掉9盏灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。6盏灯的内部及两端共有7个空，故方法数为6。A、120&

14、#174;320c400D>4202、解析：考虑一侧的关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，因为两端的灯不能关，表示3盏关掉L人山=400的灯只能插在7盏灯形成的6个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为'4注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位），而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合。计数之插板法习题67名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲，乙二人不相邻的排法一般应用"插空"法，所以甲，乙二人不相邻的排法总数应为：种.插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，

15、可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若个人站成一排，其中个人不相邻可用"插空"法解决，共有种排法.计数之插板法习题7学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张.8个学生,4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法.根据乘法原理，共有的不同坐法为种.计数之插板法经典例题一“

16、不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。例.若有A、RC、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、DE三个人排列，有种排法；若排成DCE,则D、CE“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：DCE,此时可将AB两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：计数之插板法经典例题二在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少

17、种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。“不邻问题”插板法解题要点“不邻问题”插板法一一先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。例.若有A、RC、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】题目要求A和B两个人必须隔开。

18、首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成DCE则DC、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：-DbE-,此日可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法：。例.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。例.一条马路上有编号为1、2、

19、，、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。计数之插板法经经典例题三三r插板法精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素例国，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分蛆的飕策略.提醒：苴首要特点是元素相同.

20、其次是每唯少含有一T元素一般用于蛆合问题中.I例鸵将S个完全相削球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球，-共有篓少和方法？解析:解决这道问题只需要酹2个球分成王级然后惨次将每一组分别放到一个盒子中即可.因此问题只需要把W个珠分成王姐即可，子是町中讲£个球排成一排，然后用南个板交到W个球所期成的空里，即可顺利的把8个球分成工始.其中第一今板前面的球放到第一个盒子中，笫一个植和第二小植之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三小禽子中去.因为每个盒子至少被f球，因此两小板不置泳在同一个室里且植不能放有两端,于是其放梃的合法数是d,（植也是盍区别的）计数之插板法经经典例题

21、四【例题3有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有手少种吃法？解析；原理同上，只需要用m个板插入到g瓢糠形成的g个内部空隙，将，新牖分成4蚯且每蛆数目不少于1即可.因而3个板瓦不湘邻，其方法数为Ci.计数之插板法经经典练习题E统习】现有10个完全相同的篮球全部分给1个班皴，每班至少1个球，间共有霎少种不同的分法？注释：每蛆允许有零个元素时也可以用插愎法，其原理不同，注意下题解;趣区别口计数之插板法经经典例题五1例噩将W个完全相同的球放到M个不同的盒子中，一共有各少种方法？解析；魂中没有要求每个盒子中至少被一个来，因此其解法不同于上面的插板法，但用旧是插入2个板，分成三蛆a但在分细的过程中

22、，允许南块板之间没有俅.其考虑思维为植人丽块板后，与原来的Z个球一共10个元素1，所有为法数或除是这10个元素的一个队殛怛因为球左间无差别，板之间无差别，耕以旁法数实除为从10个无素所占描1。个位置中挑个位置被上3个板，其余隹置全都放球即可.因位历法数为q/注释：特别注意插校法与捆绑法、插空；射区别之处在于其元索息相由.计数之插板法经经典例题六例.现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法【解析】：题目中球的分法共三类:第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为。第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1

23、个球。其分法种数。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数。所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：。由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境一一插板。将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空

24、档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必'须同时满足以下3个条件：所要分的元素必须完全相同；所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。应用插板法需要满足的条件插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素（3）分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相

25、同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法，c92=36计数插板法之凑元素插板法例题介绍凑元素插板法（有些题目满足条件（1）,不满足条件（2）,此时可适用此方法）例1:把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是c122=66例2:把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？我们可以在第二个箱子先放

26、入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？c82=28计数插板法之添板插板法例题介绍添板插板法例3:把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？-0-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o表示10个小球,-表示空位11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空则每一组都可能取球为空c122=66例4:有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257,1459等等，这类数共有几个？因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab显然a+b<=9,且a不为01-1-1-1-1-1-1-