集合与不等式习题

1、集合与不等式习题1.设集合A=xx2+x_6W0,集合B为函数的定义域，则AC1B=()y4T-XA.1,2B.1,2C.1,2D.1,2【答案】D【解析】试题分析：由题意知A=Ixx2+x-6<0=<x-3<x<21,B=xxl,因此ApB=(1,2,故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算2x+12.(2012年怀化一模)若集合A=x|2x1|<3,B=x|3二二<0,则AAB是1A.x|1<x<2或2<x<3B. x|2<x<31C. x|-2<x<21D.x|1<x<2解析：|2x

2、1|<3?-3<2x-1<3?-1<x<2,.A=x|1<x<2；2x+113x<0?(2x+1)(3x)<0?(2x+1)(x3)>0?x<2或x>3,1.B=x|x<2或x>3.结合数轴：M-T23J1.AAB=x|1<x<2.答案：D3.设二次不等式ax2+bx+1>0的解集为x|1<x<3,则ab的值为()A.-6B.5C.6D.5解析：因x=-1,3是方程ax2+bx+1=0的两根，b1b211-a=-1+3,a=3,又一1X3=a,.a=3,b=2,.ab=6.答案：C

3、4,若集合A=x|ax2ax+1<0=?,则实数a的值的集合是()A.a|0<a<4B,a|0<a<4C.a|0<a<4D,a|0<a<4解析：由题意知a=0时，满足条件.aw0时，a>0,由24c得0<a04,所以0&a&4.=a4a<0答案：D5.设全集为R,集合A=x|x2-9<0,B=x|1<xW5,则aD(CrB)=()A.(T,0)B.-3,-1C.-3,-11D.-3,3【答案】C【解析】试题分析：由集合B可得CrB=x|xE1或x>5,由A可得A=x|-3<x<

4、3,即AQ(CrB)=x|-3<xW1,故选C.考点：集合运算一.-，2一，2、2-6 .设集合A=xy=x1,B=yy=x1,C=(x,y)y=x1,则下列关系中不正确的是()a.aC!c=一b.bC!c=一c.bad.aUb=c【答案】D【解析】由于A=R,B=yy至一1,二.B三A,而C集合中的元素为点.所以选项A,B,C正确.【考点】1.描述法表示集合的含义.2.集合的运算.7 .设集合M=x|x2-3x一4<0,N=x|0xE5,则MnN=()A.(0,4B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0【答案】B.【解析】试题分析：x23x4<0=(x4Xx+1)M0=-1

5、<x<4,故MPlN=0,4),故选B.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.8 .若集合A=0,1,2,x,B=1,x2,AUB=A,则满足条彳的实数乂有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】A=0,1,2,x,B=1,x2,AUB=A,.B?A,，x2=0或x2=2或x2=x,解得x=0或/或一衣或1.经检验当x=72或及时满足题意，故选B.?9.已知集合A=y|y=(1)x2+1,xCR,则满足AAB=B的集合B可以是()2A.0,1B.x|-1<x<12C.x|0<x<1D.x|x>02【答案】C【解析】由题意得A=x

6、|0<x<-,B?A,所以选C项.210 .设全集U=R,集合A=(8,1)U(1,+8),B=1,+8),则下列关系正确的是()A.B?AB.A?uBC.(?uA)UB=BD.AAB=?【答案】C【解析】借助数轴逐一判断.画出数轴易知A,B错误；因为？uA?B,所以(？uA)UB=B,故C正确；又AAB=(1,+8),所以D错误，故选C.11 .设集合A=x|x2(a+3)x+3a=0,B=x|x25x+4=0,集合AUB中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为()A.0B.0,3C.1,3,4D.0,1,3,4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得B=1,4,当a=3时A=3所

7、以AUB=1,3,4,所以符合集合AUB中所有元素之和为8,当a=1时AUB=1,3,4符合题意.当a=4时AlJB=1,3,4符合题意.当a#3,1,4时AUB=1,3,4,a.所以1+3+4+a=0,/.a=0.故选D.考点：1.集合的概念.2.集合的运算.12 .已知M=xx2+x6<0,N=x|2x+1|>3,则MnN等于()A.(3,-2U1,2B.(3,-2)U(1,十C.3,-2)U(1,2D.(8,-3)U(1,2解析：M=x|(x+3)(x-2)<0=x|-3<x<2,N=x|x<2,或x>1,故MAN=3,答案：C13 .已知集合A

8、=1,2,3,4,5,B=(x,y卜三A,ywA,xywA,则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10【答案】D【解析】考点：元素与集合关系的判断.分析：由题意，根据集合B中的元素属性对x,y进行赋彳1得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项解答：解：由题意，x=5时，y=1,2,3,4,x=4时，y=1,2,3,x=3时,y=1,2,x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数14 .在R上定义运算®：x®y=x

9、(1y),若不等式(xa)®(x+a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围是()A. 1<a<1【答案】C【解析】B. 0<a<2C.13-:二a:二-22D.31一一：二a:二一22试题分析：根据定义可得不等式(xa)®(x+a)<1为(xa)1(x+a)<1即x2-x+a(1-a)+1a0,此不等式对任意实数x者B成立，所以A=14a(1a)+1<0=4a24a3<0=(2a+1)(2a3)<0,从中13斛得一一<a<一,故选C.22考点：1.新定义；2.一元二次不等式.15.设全集为实数集R,M

10、=1xx2A4、N=x1<xM3,则图中阴影部分表示的集合是()A.x-2Wx<iB.lx-2<x<21C.x1<xW2D.<xx<2试题分析：:x2>4,xa2或x<-2,M=x|x>2或x<-2,N=x|1<x<3,由图可知，阴影部分表示的是x|xwN且x更M|N,.Mp|N=x|2<xW3,阴影部分为x|1<x<2.考点：一元二次不等式、集合的交集补集运算.4一Z,、21一16.右不等式ax+bx+c<0的解集为x|x1或xl,则三士的值为（）23a【解析】BC试题分析：由题可知，是方程

11、ax2+bx+c=0的根，则1+1=b,那么三1b=1=勺.2323aaa6考点：一元二次不等式的解集，根与系数的关系.二、填空题17 .已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x2<x<4,则不等式cx2+bx+a<0的解集为解析：解法一：:(x2)(x-4)<0,即一x2+6x8>0的解集为x2<x<4,不妨假设2=-1,b=6,c=8,则cx2+bx+a<011_2_-一，一一一一_即为一8x+6x-1<0,解得x|x>2或x<4.解法由题意得ra<0,baa=6,co、a=8c<0,b3cc=4,a1、c

12、=8,.cx2+bx+a<0可化为x2+cx+c>0,即x24x+8>0,解得x|x>2或x<4.答案：x|x>2或x<4ax1+00),则18 .（2012年衡水一模）已知关于x的不等式x+1<0的解集是（00,-1）U（-2,a_.ax-1解析：x+1<0?(ax1)(x+1)<0,11根据解集的结构可知，a<0且a=2,a=2.答案：2x2+1,x>0,19.已知函数f(x)=：1,x<0,则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是.解析：作出函数f(x)的图象如图所示.2由图象可知不等式f(1

13、x2)>f(2x)可化为J-x2>0,以2x<0.1-x2>0,<2x>0,11x2>2x,解得0&x<1+/或1<x<0.<x<1十点答案：(1,1)20 .若b，a,b!=0,a2,a+b,则a2012+b2012的值为a【答案】Db【解析】因为，1,a,b"0,a2,a+b,那么可知b=0,a=-1,那么可知a2012+b2012=1,选D,'a，21 .对于非空实数集A,记A=y|?xCA,y>x.设非空实数集合M,P,满足M?P.给出以下结论：p;?M；Mapw?；map*=?.其

14、中正确的结论是(写出所有正确结论的序号).【答案】【解析】对于，由M?P得知，集合M中的最大兀素m必不超过集合P中的最大兀素p,依题意有P=y|y>p,M=y|y>m,又mep,因此有p*?M,正确；对于，取M=P=y|y<1,依题意得M=y|y>1,此时Mnp=?,因此不正确；对于，取M=0,-1,1,P=y|y<1,此时P*=y|y>1,MTP*=1w?,因此不正确.综上所述，其中正确的结论是22 .已知集合A=x|x2-2x-3>0,B=x|x2+ax+b<0，若AUB=R,ApiB=x|3cxE4,则a+b的值等于.【答案】-7【解析】试

15、题分析：因为A=x|x22x3A0=(-oO,-1)U(3,收)，而AUB=R,aFIb=x|3<xW4,所以2B=x|-1<x<4,即1,4是方程x+ax+b=0的根，因此1+4=-a,1父4=b,a+b=34=7.考点：不等式解集与方程根的关系23.若关于x的不等式ax-2<3的解集为Wx<x<$,则a=I33J【答案】-3【解析】试题分析：因为等式ax-2<3的解集为5.511.51一一Wx<x<b,所以，为方程ax2=3的根,33J331a-2=3Da一2=3113考点：绝对值不等式绝对值方程三、解答题24.解下列不等式：一一2(1

16、)19x-3x2>6；一一2(2)-3x2-2x+8>0；(3)12x2-ax>a2(aR).解：(1)解法一：原不等式可化为3x2_19x+6<0,12万程3x19x+6=0的解为x1=3,x2=6.1函数y=3x219x+6的图象开口向上且与x轴有两个交点0>0(6,0).1所以原不等式的解集为x|3<x<6.解法二：原不等式可化为3x2-19x+6<01?(3x-1)(x-6)<0?x-31x-6)<0.1.,原不等式的解集为x|3&x06.(2)原不等式可化为3x2+2x-8<0,242:100>0,方程3

17、x2+2x8=0的两根为一2,3,结合二次函数y=3x2+2x8的图象可4知原不等式的解集为x|-2<x<3.(3)由12x2axa2>0?(4x+a)(3xa)>0?"即一x>0,a>0时，4<3,解集为：x|x<4或x>3J；a=0时，x2>0,解集为x|x且xw0；a<0时,-4>3,解集为xx<3或x>4.25. (2013年洛阳二中月考)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是x|3<x<1.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时，ax2+b

18、x+3>0的解集为R.解：(1)由根与系数的关系解得a=3.3所以不等式变为2x2-x-3>0,解集为(8,1)口2,+oo；由题意知，3x2+bx+3>0的解集为R,A=b2-4x3x3<0,解得b的取值范围是6,6.222226. iA=x|xax+a-19=0,B=x|x5x+6=0,C=x|x+2x8=0._,、，小,匚._-£,、，»，人，、，一AcB=AuB,求a的值；0WAcB,且AcC=轧求a的值；AcB=AC*牛，求a的值；解答:解:(1),BRxIx2-5x+6=0=2,3,AHB=AUB,A=B.2和3是方程x2-ax+a2-1

19、9=0的两个根，.2+3=a,a=5.(2)1.?(AnB阻AnC=?,A与B有公共元素而与C无公共元素，36A-9-3a+a2-19=0,解得a=-2,或a=5.当a=-2时，A=3,-5满足题意；当a=5时，A=2,3此时AHC=2不满足题意，.a=-2(3)AnB=AAC#，26A,.4-2a+a2-19=0解得a=-3,a=5.当a=-3时，A=2,-5满足题意；当a=5时，A=2,3不满足题意，故a=-3.故答案为：5,-2,-3.27.若氏x|x2_3x+2<0,请问是否存在实数a,使A=x|x2-(a+a2)x+a30满足：AnB=A?若存在，请求出a相应的取值范围；若不存

20、在，请说明你的理由分析：对于不等式x2-(a+a2)x+a3<0,用因式分解的方法来解(x-a)(x-a2)<0好.对于条件AnB=A,理解为A是B的子集.解答：解：:B=x|1<x<2,若存在实数a,使AHB=A,则A=x|(x-a)(x-a2)<0.(1)若a=a2,即a=0或a=1时，此时A=x|(x-a)2<0=?,满足ACB=A,a=0或a=1;(2)若a2>a,即a>1或a<0(舍)时，A=x|a<x<a2,要ItFF使AnB=A,贝|J14W2?1<aM，1<a<|-；(3)若a2<a,即0

21、<a<1时，A=x|a2<x<a,要使AnB=A，则口之1?1<a<Za?.综上所述，当1<a福或a=0时满足ACB=A,即存在实数a,使A=x|x2-(a+a2)x+a3<0且AnB=A成立.点评：解含有参数的不等式(x-a)(x-a2)<0是本题的一个难点，应采用对a进行分类讨论的方法，本题体现了分类讨论的思想方法.28.已知集合A=x|x22x3W0,B=x|x22mx+m29W0,meR.(1)若m=3,求AQB.；(2)若AEB,求实数m的取值范围.【答案】(1)AB=b,3；(2)实数m的取值范围为D,21【解析】试题分析：(1

22、)先解出集合a、b,再把m=3代入，即可求AnB；(2)若A3B,写出满足条件的式子，解出实数（1）A：x|-1<x<3?B：x|m-3<x<m3?当“3时8=以|0三乂二6：,.APB=0,3m-3-1,A三B0MmM2m3-3考点：集合之间的关系、集合的运算.29.已知集合A=x|x2-4x+3W0,B=x且（aUb）Pic=.一，（aUb）IJc=rm的取值范围.4分7分14分xx22±X=3,C=lxaxx+b>0,1-x1-xJ,求a,b的值。【答案】b=09a-3=0【解析】本试题主要考查了集合的交集，并集的运算综合运用。利用已知条件先求解A

23、,B,C集合，然后利用集合的运算表示出a,b的值。x1-x1=1Xx=x1-x_0=B=x|0<x<1,AB=x10Mx<3；(A=B)cC=d,(A=B)=C=R,C=Cr(A一B)=x|x：二0或x>3=x|ax2-x+b>0,0和3是方程ax2.x+b=0的两根，贝Ub=09a-3=0解:A=x11Mx<3B:|x1-x|=占=1-xx1-x_0=B=x|0mx<1,A.B=x10Mx工3；(AuB)cC=4,(A=B)uC=R.C=Cr(A一B)=x|x：二0或x>3=x|ax2-x+b>0,0和3是方程ax2-x+b=0的两根，贝

24、Ub=049a-3=030.集合U=«xE10,且xwN*LA臬U,BU,且AnB=l4,5,任Mruc加=67&求集合A和B.【答案】A=1,2,3,4,5：；B='45,9,10）【解析】用Venn图表示集合可使逆向运算化难为易集合U转化为U=11,2,3,4,5,6,7,8,9,10）.AB=4,5,将4,5填入AB中；（小）皿=口2,3；，将1,2,3填入A中但不是A、B中;.%j）n（C2）=6,7,8将67,8填入U中但不是aUb中，剩下的9,10必在B中但不是AB中.由图观察得A=*1,2,3,4,5：B=；4,5,9,10：'.(1)若PUQ=

25、P,求实数a的取值范围；(2)若priQ=巾，求实数a的取值范围;(3)若PriQ=x|0wx<3,求实数a的值.【答案】(1)(_1,0)U(3,+oc)；(2)(叱-51-尸i；(3)a=0.,2【解析】试题分析：解题思路：(1)利用PUQ=PuQJP解得；(2)利用P,Q无公共部分解得;(3)(2,3p2a,a+3=0,3)得2a=0.规律总结：涉及集合的子集、交集、并集等问题，要注意利用数形结合思想借用数轴解得.注意点：在分类讨论时注意试题解析：(1)由题意知：P=x-2<x<3,:P，jQ=P，,Q£P.当Q=0时,得2a>a+3,解得a>3.

26、当Q00时,得一2<2aEa+3<3,解得一1<a<0.综上，aw(1,0)5(3,).(2)当Q=0时，得2a>a+3,解得a>3；2a<a3,3当Q=0时，得<，解得aE5或3EaM3.a3三-M2a-323综上，a=(-00,-55一，).2由PcQ=x0Wx<3,则a=0.考点：1.集合的运算；2.数形结合思想；3.分类讨论思想.232 .设不等式xW5x-4的解集为A.(1)求集合A；2(2)设关于x的不等式x(a+2)x+2aM0的解集为M，若MA,求实数a的取值范围.【答案】(1)A=x|1wxw4(2)a的取值范围为1,4.

27、【解析】试题分析：(1)求出不等式x2<5x-4的解集确定出集合A,(2)若B?A,求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可.试题解析：(1)原不等式即为x2-5x+4=(x-1)(x-4)<0,所以1WxW4,所以不等式的解集A=x|1<x<4.(2)原不等式等价于(x-a)(x-2)<0若a<2,则M=a,2,要M=A,只需1wa<2若a>2,则M=2,a,要MJA,只需2<aW4若a=2,则M=2，符合MJA综上所述，a的取值范围为1,4.考点：一元二次不等式的解法；集合

28、中的参数取值问题；集合包含关系的判断.33 .已知集合A=x|x2-2x-8<0,B=x|x2-(2m-3)x+m2-3m<0,mR(1)若A|B=2,4,求实数m的值；(2)设全集为R,若AJCrB,求实数m的取值范围。【答案】(1)5;(2)m>7或m<-2.【解析】试题分析：(1)根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果.(2)根据所求的集合B,写出集合B的补集，根据集合A是B的补集的子集，求出两个集合的端点之间的关系，求出m的值.m-3=2试题解析：(1),.,A=-2,4,B=m3,m,

29、Ap|B=2,4,V/.m=5m-4(2)CrB=x|x<m-3或xAmA三CrBm<-2或m3A4,，ma7或m<2考点：集合之间的关系.34 .已知集合A=x|2<x<3,B=x|x2+2x-8>0,C=x|x2-4ax+3a2<0，若C±(aDcrB),求实数a的取值范围.-22【答案】-2<a<2.33【解析】试题分析：解一元二次不等式x2+2x8>0,可得x>2或x<Y,故B=x|x>2或x<-4,aPICrB=x|-2<xE2,解一元二次不等式x24ax+3a2<0,可得当a=0时