平面盘点管理及方程管理知识分析

1、一、函数与方程思想一、函数与方程思想1方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直 线或圆锥曲线因此可以用方程思想讨论直线和圆锥线或圆锥曲线因此可以用方程思想讨论直线和圆锥 曲线的位置关系问题可以把直线与圆锥曲线相交的曲线的位置关系问题可以把直线与圆锥曲线相交的 弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理从而减弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理从而减 少解题过程的运算量少解题过程的运算量2函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会 引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段引入一些相互

2、联系、相互制约的量，从而使有些线段 长度及长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在之间构成函数关系，函数思想在 处理这类问题时非常有效处理这类问题时非常有效【示例示例1】已知直线已知直线y 2和椭圆和椭圆 (ab0)相交于相交于A，B两点，两点，M为线段为线段AB的中点，若的中点，若|AB|2，直线，直线OM的斜率为的斜率为 ，求椭圆的方程，求椭圆的方程解解由由 消去消去y整理得整理得(a24b2)x28a2x16a24a2b20.设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得，由根与系数的关系得x1x2又设又设M(xM，yM)，则则xM=因为因为kOM = 即即a24

3、b2.从而从而x1x2又又|AB|2 所以所以 即即 解得解得b24.所以所以a24b216，故所求椭圆方程为，故所求椭圆方程为领悟领悟待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键程是关键二、数形结合思想二、数形结合思想 圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的 几何意义挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形几何意义挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形 结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问结

4、合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问 题另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于题另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于 对圆锥曲线的性质和关系的研究中对圆锥曲线的性质和关系的研究中【示例示例2】当函数当函数y1 与函数与函数yk(x2)4的的图象有两个相异交点时，实数图象有两个相异交点时，实数k的取值范围是的取值范围是 ()解析解析曲线曲线y=1+ 是以是以(0,1)为圆心、为圆心、2为半径的半为半径的半圆圆(如图如图)，直线，直线y=k(x-2)+4是过定点是过定点(2,4)的直线的直线设切线设切线PC的斜率为的斜率为k0，切线，切线PC的方程为的方程为y=k0(x-2

5、)+4.圆心圆心(0,1)到直线到直线PC的距离等于半径的距离等于半径2，即，即设直线设直线PA的斜率为的斜率为k1，则，则所以实数所以实数k的范围是的范围是答案答案C领悟领悟平面解析几何本身就是平面解析几何本身就是“以数解形以数解形”的一门学科，的一门学科，是数形结合思想的直接体现本例借助于数的几何意义，是数形结合思想的直接体现本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数以形助数”的思想的思想三、化归与转化思想三、化归与转化思想 解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些

6、与曲线上的点有关的题目时，直接相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂很难求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍【示例示例3】从圆从圆C：x2y24x6y120外一点外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有为坐标原点，且有|PM|PO|，求使求使|PM|最小的最小的P点坐标点坐标解解将方程将方程x2y24x6y120配方后，配方后，得得(x2)2(y3)212，圆心为圆心为C(2,3)，半径，半径r

7、1.切线切线PM与半径与半径CM垂直垂直(如图所示如图所示)，由由|PM|=|PO|，得，得化简整理，得化简整理，得2x1+3y1=6，故满足故满足|PM|=|PO|的的P点轨迹是方程点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线表示的直线|OP|的最小值为的最小值为O点到此直线的距离，即点到此直线的距离，即 从而解方程组从而解方程组即满足题设条件的即满足题设条件的P点为点为领悟领悟解析几何是将解析几何是将“形形”的问题转化为的问题转化为“数数”的问题的问题解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决问题，将最值问

8、题转化为函数问题解决四、分类讨论思想四、分类讨论思想 分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题过定点的直线的斜率是否存在问题(2)与截距有关与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论(3)直线与圆直线与圆锥曲线的交点问题锥曲线的交点问题(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问含参数的方程表示的曲线的讨论问题题(5)圆与圆的位置关系判断问题圆与圆的位置关系判断问题(6)椭圆、双曲线、抛椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等物线焦点位置与标准方

9、程间关系的问题等等【示例示例4】已知向量已知向量 动点动点M到定直线到定直线y1的距离等于的距离等于d，并且满足，并且满足 d2)，其中，其中O为坐标原点，为坐标原点，k为为参数参数(1)求动点求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足满足 e ，求实数，求实数k的取值范围的取值范围=(2,0),=(0,1),解解(1)设设M(x，y)，则由，则由 且且O为原点，知为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)从而从而 2，y1)，d|y1|.代入代入 得得(1k)x22(k1)

10、xy20为所求的轨迹方程为所求的轨迹方程当当k1时，得时，得y0，轨迹为一条直线；，轨迹为一条直线；当当k1时，得时，得(x1)2 若若k0，则轨迹为圆；，则轨迹为圆；若若k1，则轨迹为双曲线；，则轨迹为双曲线；若若0k1或或k0，则轨迹为椭圆，则轨迹为椭圆=(2,0),=(0,1),( , ),(2, ),( ,1),OMx yAMxy CMx y (2)因为因为 所以方程表示椭圆所以方程表示椭圆对于方程对于方程(x1)2当当0k1时，时，a21，b21k，c2a2b21(1k)k，此时此时当当k0时，时，a21k，b21，c2k，所以所以所以所以2223211,.3232cekea 而而

11、所所以以k k2111,.1.13122kkekk 即即所所以以k k- -领悟领悟在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例如本例(1)，另外在进，另外在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论在符号不明确时也要进行分类讨论1(2009全国卷全国卷)设双曲线设双曲线 (a0，b0)的渐的渐 近线与拋物线近线与拋物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于相切，则该双曲线的离心率等于 ()B.2解析

12、：解析：双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为y 与拋物线方程联与拋物线方程联立得立得x2 10，( )240b24a2，c2a24a2，c25a2，e答案：答案：C2(2008山东高考山东高考)若圆若圆C的半径为的半径为1，圆心在第一象限，且，圆心在第一象限，且 与直线与直线4x3y0和和x轴都相切，则该圆的标准方程是轴都相切，则该圆的标准方程是 () A(x3)2 1 B(x2)2(y1)21 C(x1)2(y3)21 D. (y1)21解析：法一：解析：法一：由题意知圆心坐标为由题意知圆心坐标为(x0,1)，排除排除A、C.选项选项B中圆心中圆心(2,1)到直线到直线4x3y0的距离的

13、距离即即dr成立成立法二：法二：由题意设圆心为由题意设圆心为(x0,1)，dr， 1x02或或x0 (舍去舍去)答案：答案：B3(2007山东高考山东高考)设设O是坐标原点，是坐标原点，F是抛物线是抛物线y22px(p0) 的焦点，的焦点，A是抛物线上的一点，是抛物线上的一点， 与与x轴正向的夹角为轴正向的夹角为60， 则则 为为 ()解析：解析：设设则则A又又A在在y22px上，上， p2pt，解得解得t2p，t (舍舍)，A答案：答案：B,(,0),2pPAt F OA 4(2010汕头模拟汕头模拟)中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴上的双曲线的实 轴与虚轴相等，一个

14、焦点到一条渐近线的距离为，则双轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双 曲线方程为曲线方程为 () Ax2y22 Bx2y2 Cx2y21 Dx2y2解析：解析：设双曲线方程为设双曲线方程为x2y2(0)，渐近线方程为，渐近线方程为yx，焦点到直线的距离，焦点到直线的距离 c2，2c24，2.答案：答案：A5(2010日照模拟日照模拟)过点过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线且圆心在直线 xy20上的圆的方程是上的圆的方程是 () A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24解析：解析：设圆心设圆心C(a,2a)，则，则|

15、AC|BC|.(a1)2(3a)2(a1)2(1a)2，a1，r2，C(1,1)圆的方程为圆的方程为(x1)2(y1)24.答案：答案：C6(2009广东高考广东高考)已知椭圆已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为轴上，离心率为 ，且，且G上一点到上一点到G的两个焦点的距离的两个焦点的距离 之和为之和为12，则椭圆，则椭圆G的方程为的方程为_解析：解析：由题意得由题意得2a12， 所以所以a6，c3 ，b3，故椭圆，故椭圆G的方程为的方程为 =1.答案：答案：7(2010珠海模拟珠海模拟)已知双曲线已知双曲线 =1的离心率的离心率 为为 则则n_.解析：解

16、析：若焦点在若焦点在x轴上：轴上：a2n，b212n，c2a2b212，e n4.若焦点在若焦点在y轴上，轴上，a2n12，b2n，c2a2b212不合题意故不合题意故n4.答案：答案：48(2009安徽高考安徽高考)已知椭圆已知椭圆 =1 (ab0)的离心的离心 率为率为 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx2相切相切 (1)求求a与与b； (2)设该椭圆的左、右焦点分别为设该椭圆的左、右焦点分别为F1和和F2，直线，直线l1过过F2且且 与与x轴垂直，动直线轴垂直，动直线l2与与y轴垂直，轴垂直，l2交交l1于点于点P.求线段求线段

17、PF1 的垂直平分线与的垂直平分线与l2的交点的交点M的轨迹方程，并指明曲线的轨迹方程，并指明曲线 类型类型解：解：(1)由由得得又由原点到直线又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，的距离等于圆的半径，得得(2)法一：法一：由由c 得得F1(1,0)，F2(1,0)设设M(x，y)，则，则P(1，y)由由|MF1|MP|，得得(x1)2y2(x1)2，y24x.此轨迹是抛物线此轨迹是抛物线2,3.ba法二：法二：因为点因为点M在线段在线段PF1的垂直平分线上，所以的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即，即M到到F1的距离等于的距离等于M到到l1的距离的距离此轨迹是以此轨迹是以F1(1,0)

18、为焦点，为焦点，l1：x1为准线的抛物线，为准线的抛物线，轨迹方程为轨迹方程为y24x.9(2008北京高考北京高考)已知已知ABC的顶点的顶点A，B在椭圆在椭圆x23y2 4上，上，C在直线在直线l：yx2上，且上，且ABl. (1)当当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，求AB的长及的长及ABC的面积；的面积； (2)当当ABC90，且斜边，且斜边AC的长最大时，求的长最大时，求AB所在直所在直 线的方程线的方程解：解：(1)因为因为ABl，且，且AB边通过点边通过点(0,0)，所以，所以AB所在所在直线的方程为直线的方程为yx.设设A，B两点坐标分别为两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由由 得得x1，所以所以|AB|又因为又因为AB边上的高边上的高h等于原点到直线等于原点到直线l的距离，的距离，所以所以1222 2.x x 12,2.2ABChSAB h (2)设设AB所在直线的方程为所在直线的方程为yxm.由由 得得4x26mx3m240.因为因为A，B在椭圆上，所以在