2020年中考数学专题复习讲义第十八讲矩形菱形正方形

1、第十九讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：矩形的四个角都矩形的对角线3、矩形的判定：用定义判定有三个角是直角的是矩形对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是,矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形的四条边都菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：用定义判定对角线互相垂直的是菱形四条边都相等的是菱

2、形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：正方形四个角都都是角，正方形四边条都正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：先证是矩形，再证先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示

3、为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、三个方面来看的,要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1（2019加州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10J5cm,且3tan/EFC=3,那么该矩形的周长为（）4A.72cmB.36cmC.20cmD.16cm对应训练1.（2019?胡州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠,AD点B落在点E处，连接DE.若DE:AC=3:5,则-AD的值为（）ABA.1B.立C,2D.立2332

4、考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2（2019?泉州）如图，菱形ABCD的周长为8J5,对角线AC和BD相交于点O,AC:BD=1:2,贝UAO:BO=,菱形ABCD的面积S=.对应训练2.（2019?凉山州）如图，菱形ABCD中，/B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A.14B.15C.1D.17考点三：和正方形有关的证明题例3（2019?湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为J2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1,他连结AD、CF,经测量发现AD=CF.（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF还相等吗

5、？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3,请你求出CF的长.思路分析：(1)根据正方形的性质可得AO=CO,OD=OF,/AOC=/DOF=90,然后求出/AOD=/COF,再利用边角边”证明AOD和COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)与(1)同理求出CF=AD，连接DF交OE于G,根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF±OE,DG=OG=-OE,再求出AG,然后利用勾股定理列式计算即可求出AD.2解：(1)AD=CF.理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO,OD=OF,/AOC=/DOF=90,/AOC

6、+/COD=/DOF+/COD,即/AOD=/COF,AO-CO_在4AOD和4035中，/AOD=COF,.AAODCOF(SAS),OD=OF.AD=CF;(2)与(1)同理求出CF=AD,如图，连接DF交OE于G,则DFOE,DG=OG=1OE,2正方形ODEF的边长为J2,.OE=72xV2=2,DG=OG=1OE=121,22.AG=AO+OG=3+1=4,在RtADG中，AD=AG2+DG274+12=后,.CF=AD=后.点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，(1)熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，

7、(2)作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.对应训练3.(2019"明)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上,且PE=PB.(1)求证：BCPADCP;(2)求证：/DPE=/ABC;(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图)，若/ABC=58，则/DPE=度.D图C3.(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC,/BCP=/DCP=45在BCP和DCP中，BC=DC!一一<NBCP=2DCP,.BCPQDCP(SAS);PC=PC(2)证明：由(1)知，BCPADCP, ./CBP=ZCDP, .PE=PB, ./CBP=ZE,/D

8、PE=/DCE,1=/2(对顶角相等)，.1.180°-Z1-ZCDP=180-/2-/E,即/DPE=/DCE,.AB/CD, ./DCE=/ABC,./DPE=/ABC;(3)解：与(2)同理可得：/DPE=ZABC, /ABC=58,/DPE=58.故答案为：58.考点四：四边形综合性题目例4(2019?资阳)在一个边长为a(单位：cm)的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC,CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MNLDF于H,交AD于N.(1)如图1,当点M与点C重合，求证：DF=MN;(2)如图2,假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运

9、动，点E同时从点A出发，以J2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t>0);判断命题当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由.连结FM、FN,MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a,t之间的关系；若不能，请说明理由.思路分析：(1)证明ADFDNC,即可得到DF=MN;(2)首先证明AFEscde,利用比例式求出时间t=1a,进而彳#到CM=1a=I333所以该命题为真命题；若MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论.解：(1)证明：./DNC+/ADF=90,/DNC+/DCN=90,/ADF=/DCN.在ADF与DNC中，DAF="

10、;DN=90AD=CD,ADFADNC(ASA),ADF"DCN.DF=MN.(2)解：该命题是真命题.理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=-AB=-CD.22.AB/CD,AFEACDE,.AEAF1=1ECCD2AE=1EC,则AE=1AC=a,.,t=AE=1a.、23则CM=1?t=1a=1CD,33，点M为边CD的三等分点.能.理由如下：一一AF易证AFEACDE，.二CDAE,即ECAFa2tat=i=,得AF=2a2ta-tNDa-t=,得ND=t.ata易证MNDsDFA,.NDuDM-即AFAD'，ND=CM=t,AN=DM=a-t.若4MNF为等腰三角

11、形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN,则由AN=DM知FAN0NDM, .AF=DM,即_at-=t,得t=0,不合题意.a-t，此种情形不存在；（II）若FN=FM,由MNDF知，HN=HM,.DN=DM=MC, t=1a,此时点F与点B重合；2（III）若FM=MN,显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得MFC0NMD,.FC=DM=a-t;又由NDMs、DCF,DNDMDC口口taa(a-t)=，即=，FC=1L.FCa-tFCta(a-t)t=a-t)改为矩形CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=-,CF=1,BF交AC于点H,交AD3 .t=a,此时点F与点C重合.综上

12、所述，当t=a或t=a时，MNF能够成为等腰三角形.2点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点.解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解.对应训练4.（2019笔口）如图1,4ABC为等腰直角三角形，/ACB=90°,F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针

13、（或逆时针）方向旋转任意角度”，得到如图2、图3的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,ZACB=90,正方形CDEF/ACB=904,解：(1)BF=AD,BFXAD;BF=AD,BFXAD仍然成立，证明：ABC是等腰直角三角形，.AC=BC,四边形CDEF是正方形，.CD=CF,/FCD=90, /ACB+/ACF=/FCD+/ACF,即/BCF=/ACD,在BCF和ACD中BC-AC!八一2BCF=/ACD,CF=CDBCFACD(SAS),BF=AD,/CBF=/C

14、AD,又./BHC=/AHO,/CBH+/B./CAD+/AHO=90,/AOH=90,.-.BF±AD;(2)证明：连接DF,B四边形CDEF是矩形，/FCD=90,又./ACB=90,/ACB=/FCD /ACB+/ACF=/FCD+/ACF,即/BCF=/ACD, .AC=4,BC=3,CD=4,CF=1,3.BCCF3,)ACCD4.BCFACD,/CBF=/CAD,又./BHC=/AHO,/CBH+/B./CAD+/AHO=90,/AOH=90,.-.BF±AD,/BOD=/AOB=90, .BD2=OB2+OD2,af2=oa2+of2,ab2=oa2+ob2,

15、df2=of2+od2,BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2, .在RtAABC中，/ACB=90,AC=4,BC=3,.AB2=AC2+BC2=32+42=25, .在RtFCD中，/FCD=90,CD=4,CF=1,3DF2=CD2+CF2=（4）2+12=25,39BD2+AF2=AB2+DF2=25+25=250.99【聚焦山东中考】1.（2019?威海）如图，在ABC中，/ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A.BC=ACB.CFXBFC.BD=DFD.AC=BF2

16、. （2019辿庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A.73-1B.3-45c.V5+1d.V5-1形，以B为圆心，BA长为半径画5.（2019?齐南）如图，在正方形别在BC和CD上，下列结论：3. （2019?临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4,/B=60°,AE±BC,AF±CD,垂足分别为E,F,连接EF,则AEF的面积是.4. （2019?1台）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在BC上，四边形EFGB也是正方Ac,连结AF,CF,则图中阴影

17、部分面积为ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分CE=CF;/AEB=75;BE+DF=EF;S正方形abcd=2+V3.其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）.6.（2019端宁）如图1,在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF±BE.（1）求证：AF=BE;（2）如图2,在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPXNQ.MP与NQ是否相等？并说明理由.ABCD中,AB=AD,/BAE=/D=90°,6. (1)证明：在正方形/DAF+/BAF=90, .AF±BE, /ABE+/BAF=90

18、,/ABE=/DAF, 在ABE和DAF中，.ABE"DAFI4AB=AD,NBAE=/DABEADAF(ASA),.AF=BE;(2)解：MP与NQ相等.理由如下：如图，过点A作AF/MP交CD于F,过点B作BE/NQ交AD于E,则与(1)的情况完全相同.7. (2019帝岛)已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD、BC的中点，E,F分别是线段BM,CM的中点.(1)求证：ABMADCM;(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD:AB=时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)8.(2019?博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.

19、(1)如图1,四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；图1图2(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).8.解：(1)正方形的最大面积是16.设AM=x(0WxW4),则MD=4-x. 四边形MNEF是正方形，MN=MF,/AMN+/FMD=90°. ./AMN+ZANM=90°,ANM=/FMD. .在ANM和DMF中.A=/DNANM=NFMD,.ANM

20、QDMF(AAS).MN=FM.DM=AN. .S正方形mnef=MN2=AM2+AN2,=x2+(4-x)2,=2(x-2)2+8 函数S正方形mnef=2(x-2)2+8的开口向上，对称轴是x=2,在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大， -0<x<4,当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大.最大值是16.(2)先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1,然后拼成如图2的正方形.I-iiikIlliii11>iiijH111jl.J1_1l|Illi二1：44114111J.1B1!事k1t1I11Ji17_Lf71K

21、X11丁、r厂、/：?:飞:ii'I!r*iiIL1J111LL-IiiIlliif111)14111I111i1iiiiii1-.-1L1.L.«I-9.（2019喻南）（1）如图1,已知ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2,已知ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.图

22、1图29.解：(1)完成图形，如图所示：如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得/ABC=45,/CAE=90,证明：ABD和4ACE都是等边三角形，.AD=AB,AC=AE,/BAD=/CAE=60,/BAD+/BAC=/CAE+/BAC,即/CAD=/EAB,在CAD和EAB中，AD=ABNCAD=/EAB,.1.ACADIAEAB(SAS),AC=AE.BE=CD;(2)BE=CD,理由同(1),四边形ABFD和ACGE均为正方形，.AD=AB,AC=AE,/BAD=/CAE=90/CAD=/EAB,在CAD和EAB中，AD=ABIAA<NCAD=/EAB,.CADQ

23、EAB（SAS）,AC=AE，BE=CD;（3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过A作等腰直角三角形ABD,/BAD=90,贝UAD=AB=100米，/ABD=45,.BD=100品米,连接CD,则由（2）可得BE=CD,/ABC=45,/DBC=90,在RtADBC中，BC=100米,BD=100J2米，根据勾股定理得：CD="l0021（100/2）2=100/3米，贝UBE=CD=100通米.【备考真题过关】一、选择题1. .（2019?铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.

24、对角线互相垂直平分的四边形是正方形2. （2019泞宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3. （2013?随州）如图，在菱形ABCD中，/BAD=120.已知ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是（）4.（2019?重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E,则CE的长为（）A.25B.20C.15A. 6cmB. 4cmC.2cmD.1cmD.10点B恰好落在AD边的B'处，若AE=2,）5.（2019情充）如图，把矩形A

25、BCD沿EF翻折,DE=6,/EFB=60°,则矩形ABCD的面积是（A.12B.24C.1233D,1673B16.（2019?E中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,贝U菱形ABCD的周长是A.24B.16C.473D,273ABCD的两条对角线相交于点O,/AOD=60°,AD=2,贝UAC7（2019戒名）如图，矩形的长是（）8.（2019?成都）如图，将矩形则C'D的长为（）ABCD沿对角线BD折叠，使点D,473C和点C'重合，若AB=2,A.1B.2C.3D.49. （2019也头）如图，四边形ABCD和四边形AEF

26、C是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）S1=S2D.3s1=2S210. （2019徽州）如图，在菱形ABCD中，/BAD=80,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则/CDF等于（）A.50°B.60°C.70°D,80°11. （20190帛阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm,BD=6cm,DHLAB于点H,且DH与AC交于G,则GH=（）A.28cmB.空cmC.28cmD.25cm2520152112. （2019摊安）如图，正方形ABCD中，点E、F分

27、别在BC、CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于G,下列结论：BE=DF,/DAF=15,AC垂直平分EF,BE+DF=EF,Sacef=2S*be.其中正确结论有（）个.A. 2二、填空题B. 3C. 4D. 513. （2019陆迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则/“也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当/a为-度时，两条对角线长度相等.14. （2019?隹安）若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是.15. （2013?无锡）如图，菱形ABCD则OE的长等于.中，对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,16. （201

28、9?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4,且AELBC于E,AFLCD于F,ZB=60°,则菱形的面积为.17. （2019犁枝花）如图，在菱形ABCD中，DELAB于点E,cosA=-,BE=4,则tan5/DBE的值是.18. （2019油充）如图，正方形ABCD的边长为2,过点A作AEAC,AE=1,连接BE,贝UtanE=.19. （2019班州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若CG=1，则姐=GBkAB用含k的代数式表示）.20.（2019?合尔滨）如图，矩形ABCD的对

29、角线AC,BD相交于点O,过点。作OE，AC交AB于E,若BC=4,AOE的面积为5,则sin/BOE的值为21.（2019?北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为C22.（2019曲京）如图，将菱形纸片折痕为EF,若菱形ABCD的边长为23.（2019?山）如图，正方形ABCD小球P从点E出发沿直线向点射角.当小球P第一次碰到点ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处,2cm,/A=120°,贝UEF=的边长为3,点E,F分别在边AB、BC上，AE=BF=1,24. （2019?圭林）如图，已知线段AB

30、=10,AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为。1、。2,当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是.25. （2019加州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1,连结ADi、BCi,若/ACB=30,AB=1,CCi=x,ACD与AiCiDi重叠部分的面积为s,则下列结论：AA1AD产CC1B;当x=1时，四边形ABCiDi是菱形；当x=2时，BDDi为等边三角形;s=恪（x-2）2（0vxv2）;其中正确的是（填序号）三、解答题26.（2019浦通）

31、如图，AB=AC,AD=AE,DE=BC,且/BAD=/CAE.求证：四边形BCDE是矩形.26.证明：/BAD=/CAE, .ZBAD-/BAC=/CAE-/BAC,/BAE=/CAD, 在BAE和CAD中AE=ADI/BAE=/CAD.BAE，CAD（SAS）,AB=AC/BEA=/CDA,BE=CD, .DE=BC,四边形BCDE是平行四边形， .AE=AD, ./AED=/ADE, /BEA=/CDA, ./BED=ZCDE, 四边形BCDE是平行四边形，BE/CD, ./CDE+ZBED=180,/BED=/CDE=90,，四边形BCDE是矩形.27.（2019厂州）如图，四边形AB

32、CD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.27.解：二四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,.-.AC±BD,DO=BO,.AB=5,AO=4,BO=招-42=3,BD=2BO=23=6.28. （2013?厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DELAG,垂足为E,延长DE交AB于点F.在线段AG上取点H,使得AG=DE+HG，连接BH.求证：/ABH=/CDE.28.证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD,/ABG=/DAF=90,DE±AG,/2+/EAD=90,又/1+/EAD=90,1=Z2,1=2在

33、ABG和DAF中，AB=AD,ABG=DAF=90ABGADAF(ASA),.AF=BG,AG=DF,/AFD=/BGA,.AG=DE+HG,AG=DE+EF,.EF=HG,在AAEF和4BHG中，J/AFD=/BGA,EF=HGAEFABHG(SAS),，/1=/3,2=Z3,/2+/CDE=/ADC=90,/3+/ABH=/ABC=90,./ABH=ZCDE.29. (2013?黔东南州)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点,ME/CD交BC于点E,作MF/BC交CD于点F,求证：AM=EF.29.证明：过M点作MQXAD,垂足为Q,作MP垂足AB,垂足为P,四边形ABCD是

34、正方形，四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,在APM和FME中，AP=MF：/APM=/FME,.APM，FME(SAS),PM=ME.AM=EF.30. (2019湫岭)如图，ABC中，AB=AC,AD是ABC的角平分线，点。为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD，连接AE,BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当4ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.30.(1)证明：二,点。为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD,四边形AEBD是平行四边形，,.AB=AC,AD是4ABC的角

35、平分线， ADXBC,/ADB=90, 平行四边形AEBD是矩形；(2)当/BAC=90时，理由：BAC=90,AB=AC,AD是ABC的角平分线，.AD=BD=CD, .由(1)得四边形AEBD是矩形， .矩形AEBD是正方形.31.(2019蒲宁)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点别是边BC、AD的中点.(1)求证：ABEACDF;(2)若/B=60°,AB=4,求线段AE的长.31.解：(1)二.四边形ABCD是菱形，.AB=BC=AD=CD,/B=/D, 点E、F分别是边BC、AD的中点，.BE=DF,在ABE和CDF中，AB=CD /B=ND,ABEACDF(SAS)

36、;BE=DF./B=60°,ABC是等边三角形， 点E是边BC的中点，.-.AE±BC,在RtAAEB中，/B=60°,AB=4,AEAEsin60=AB4解得AE=2察.D8D32.(2019破阳)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点巳连接EC.(1)求证：AE=EC;(2)当/ABC=60,/CEF=60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由.32.(1)证明：如图，连接AC,.BD也是菱形ABCD的对角线，BD垂直平分AC,.AE=EC;(2)解：点F是线段BC的中点.理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC,又./AB

37、C=60,1 .ABC是等边三角形，2 .ZBAC=60,3 .AE=EC,/CEF=60,1-4 .ZEAC=/BAC=30,25 .AF是ABC的角平分线，6 .AF交BC于F,7 .AF是ABC的BC边上的中线,.点F是线段BC的中点.33.(2019?曲靖)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE,过点C作CF，DE于F,过点A作AG/CF交DE于点G.(1)求证：DCFAADG.(2)若点E是AB的中点，设/DCF形，求sin”的值.33.(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,/ADC=90,DE,/CFD=/CFG=90,.AG/CF,/AGD=/CFG=90,/AGD

38、=/CFD,又/ADG+/CDE=/ADC=90/DCF+/CDE=90/ADG=/DCF,.在DCF和ADG中,手AGD»CFDkADG=/DCF,AD=DCDCFADG(AAS);(2)设正方形ABCD的边长为2a,点E是AB的中点，1 C.AE=_X2a=a,2在RtADE中，DE=JAD21AE2=J(2a)2,a2=后,sin/ADG=AE=a=逆ED5a5'/ADG=/DCF形,sina史535.(2019被化)已知，在ABC中，/BAC=90°,/ABC=45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系；(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A,F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF,BC,CD三条线段之间