【zl】数学建模926

1、医生给病人开处方的时候必须注明两点：服药的剂量和服药的进度间隔，超剂量的药品会对身体产生不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则不能达到治病的追求。已知患者服药后，随进度推移，药品在体内逐渐被吸收，发生生化反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度降低的速度与体内当时药品的浓度成正比。当服药量为W,服药间隔为日时，试分析体内药品浓度随进度的变化规律。本题研究服药进度间隔对药物疗效的影响。一、问题摘要我们知道，患者服药后，随进度推移，药品在体内逐渐被吸收，发生化学反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度的变化量与服药量成正比。医生给病人开处方时，必须注明两点：服药的剂量和服药的进度间隔。超剂量的

2、药品回对身体产生严重不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则达不到治病的追求。试研究药品在体内浓度的变化规律。二、问题分析及补充2.1药物浓度变化指数模型患者服药后，随进度推移，药品在体内逐渐被吸收，体内药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比.当服药量为A,初始药物浓度为a,服药间隔为T,体内药的浓度随进度的变化规律分析：浓度方程：满足条件：°)=ajE)=a+、E)解得：父二人叫e一网""门/enTf(n+1)T在0114内，方程的解为气广田人。木门在T三t<27内，方程的解为x=(a-aekT)ek(tTt<t<2TtLJ数学建模在t<

3、t<(n+1)7内，方程的解为,jfk.T2kTfikT、k(tnT)m,>Xa+ae+ae+aeJemT<t<(n4-1)T由于-kT+ae-IkT+ae-nkT由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平。浓度变化曲线如图示：(其中原方程解中：K=0.1,A=0.1;T=8)注：解题及编程参考自数学建模，高等教育出版社。2.2体内药物浓度与药效函数关系的简单模型2.1.1 线性模型浓度和在一定范围内的效应的关系的最简单模型：r+eE=b*(1)rpE为效应程度，P为药物浓度，b为直线斜率，。为给药前效应值。在许多情况下，用此

4、简单的线性模型还是有价值的，但此模型只能够预报E20%-80叱间的药物效应,预测高于80%勺肌0或低于20%勺£侬的效应时，将发生较大偏差2.1.2 最大效应模型（*加0模型）此模型适用于药物效应随浓度呈饱和曲线增加的情形.即为E加模型，当药物不存在时，无药理效应.当药物浓度接近于某一极限水平时，再增加浓度，效应增加很有限。.E二E皿为药物引起的最大效应，EQo为产生50%加时的药物浓度。此方程在形式上和米氏方程样。此模型可描述较宽范围内浓度和效应的关系。符合临床观察和受体动力学实验结果。因为当药物浓度接近至一定量再增加浓度，效应增加很少或不再增加。若为激动效应，式（2）可转化为E&

5、#163;maxpE+E=0十EC十Cp若为抑制效应，则Egk%E=注：模型资料来源于中国临床药理学杂志2000年第4期第16卷药代动力学药效学结合模型的研究进展作者：罗建平张银娣三、建立模型（以下模型以药物浓度变化指数模型为基础）3.1药物浓度与进度关系简化模型：改变“药物浓度变化指数模型”中服药进度间隔条件在药物浓度变化指数模型中，药物浓度变化与药物浓度之间关系:解得:X二飞门e一仪£nr,(_n+l)r|若已知体内药物浓度x为CD时（C<D，药效最佳，则我们可考虑若在服药前的药物浓度为C,服完药药物浓度后为D,设A为初次服药后药物浓度。即满足.-ktC=De且D=A+C,

6、A>C(t>T1);第一次服药：C=Ae%)=8tWTn,Tn+1J;,数学建模：l；(n=1,2,3,4)如此简化后,可知除此服药量应设计为A=D-C;第一次与第二次服药间隔1C7=3nD-Ct>i后，服药间隔1D,。=由C1如此可保持药物浓度始终保持在药效最佳范围内，但初次服药与第二次的进度间隔应不同以71I后的，后面的服药仍需按进度间隔收服药以达到最佳药效。可见推迟服药或增加服药次.数均会使药效降低。3.2浓度与药效关系线性模型浓度和在一定范围内的效应的关系的最简单模型(此模型只能够预报20%-80叱间的药物效应，则进度不能过长)：11：''飞尸e底河5

7、+1"|:E为效应程度，x(t)为药物浓度，b为直线斜率，E0为给药前效应值，t=0之前E为0。方程的解为：E(t)=b*%丁)*L。-武)+E(nTytenTXn+1)T在0MtMT内，方程的解为：E(t)=bAekt在TMt<27内，方程的解为：r-r>fata左丁、=T)a,=kTF=匕水(月+4c)e+b*月*e在2TMt<3丁内，方程的解为：E=匕*(A+Ae+Ae)ev7+/)*2A+A*eJ*e在nT<t<(n+1)T,方程的解为:rrijrrj=kT=2kTn/cTx=/fft=27Ti/_jfeT111l)kT、j、一一一一-.InT,

8、(n+1)T.由解可见，由于药效的叠加，在服药进度间隔不变的情况下，服药次数越多，疗效越大，但考虑到该模型的精确度，我们一般只考虑在前三个周期的药效与进度关系。3.3最大效应模型(模型)此模型适用于药物效应随浓度呈饱和曲线增加的情形：ECmaxE=1£侬为药物引起的最大效应，与。为产生50%旧酬时的药物浓度，C为药物浓度。带入浓度随进度变化的表达式：匚(aakTa-nkT-(t-nkt)鼠心*(A+».+Ae)*2、'F一%。+W+Ae-仃+A屋.)*E一("必.t"时，.一kTe)%)EC50+力*(1一e-kT)药物疗效最大只能为Emax无论

9、药物浓度多大。四、数学工具求解4.1 简化的指数模型Matlab编程及结果x=0;D=0.3;C=0.2;A=D-C;k=0.2;xx=;T0=1/k*log(D/C);T1=1/k*log(C/(D-C);forn=0:1:20ifn<1fort=n*T1:0.1*T1:(n+1)*T1x=A*exp(-1/k*t);xx=xx,x;endelsefort=n*T0:0.1*T0:(n+1)*T0x=D*exp(-k*(t-(n-1)*T0-T1);xx=xx,x;endendend结果：4.2 浓度与药效关系线性模型x=0;b=0.3;A=0.1;T=8;k=1;xx=;E=；ET=

10、；ET(1)=0；t1=；forn=0:1:7x=x+b*A*exp(-n*k*T);ET(n+2)=x*exp(-k*T)+ET(n+1);fort=n*T:0.01*T:(n+1)*Tt1=t1,t；E=E,x*exp(-k*(t-n*T)+ET(n+1);endendplot(t1,E)结果：取k=1时药效与进度关系模型一药物浓度与进度关系简化的指数模型:特点：药效总能控制在最佳水平。分析：初次进度间隔需单独要求，以后可按时服药，该求每次药剂量及进度间隔技术指导文件适合于需长期服用的药物。故该模型能说明病人按时服药才能达到最佳治疗效果的道理，病人不应擅自缩短服药进度或不规律的服药（漏服或漏服后补服）。模型二浓度与药效关系线性模型：特点：可探求低药效水平时任意时段的药物作用效果。分析：模型限制于低药效水平，且与药物散失