一元二次方程根的分布

1、一元二次方程根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等转化、图形问题式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布转化代数表达式(不等式组)计算参数取值范围。教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。一、问题的提出若方程变式1变式2变式3x2(m2)x(m5)。的两根均为正数，求实数m的取值范围.两根一正一负时情况怎样？两实根均大于5时情况又怎样？一根大于2,另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程ax2bxc0(a0)的实根，如若从二次函

2、数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数f(x)ax2bxc0(a0)的抛物线与x轴交点的横坐标.1 .二次方程有且只有一个实根属于(m,n)的充要条件若m,n其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根.ax2bxc的图象有以若m,n不是二次方程ax2bxc0的根，二次函数f(x)下几种可能：(3) a0,mxinX2(4) a0,XimX2n由图象可以看出，f(x)在Xm处的值f(m)与在Xn处的值f(n)符号总是相反，即f(m)f(n)0;反之，若f(m)f(n)0,f(x)的图象的相对位置只能是图中四种情况之一.所以得出结论：若m,n都不是方程aX2bXc0(a0)的根，记f(x

3、)aX2bXc,则f(x)0有且只有一个实根属于(m,n)的充要条件是f(m)f(n)0.2 .二次方程两个根都属于(m,n)的充要条件方程ax2bcc0(a0)的两个实根都属于(m,n),则二次函数f(x)ax2bxc的图象与x轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m小于n,它的图象有以下几种情形：(3)a0,mx1x2n(4)a0,mXiX2n由此可得出结论：方程ax2bxc0(a0)的两个实根都属于区间(m,n)的充要条件是:b24ac0af(m)0af(n)0bm-n2a这里f(x)ax2bxc.同理可得出：3 .二次方程ax2bxc0的两个实根分别在区间(m,n)的两

4、侧(一根小于m,另一根大于n)的充要条件是：af(m)0af(n)0这里f(x)ax2bxc.4 .二次方程ax2bxc0的两个实根都在(m,n)的右侧的充要条件是：af(n)0bn2a次方程ax2bxcb24ac00的两个实根都在(m,n)的左侧(两根都小于m)的充要条件是:b24ac0af(m)0b一m2a这里f(x)ax2bxc.二.例题选讲例1.设A2,4),bxx2ax40,若BA,求实数a的取值范围.变式：已知方程x2+(3m-1)x+(3m-2)=0的两个根都属于(-3,3),且其中至少有一个根小于1,求m的取疝范围.例2已知方4x22(m1)x(2m3)0(mR)有两个负根，求

5、m的取值范围例3.求实数m的范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60.(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小.(2)有两个实根，且满足014.(3)至少有一个正根.例5.已知二次方程mx2(2m1)xm20的两个根都小于1,求m的取值范围.例6.设关于x的方程4x2x1b0(bR),(1)若方有实数解，求实数b的取值范围；(2)当方有实数解时，讨论方实根的个数，并求出方的解。三巩固练习1已知二次程(3m1)x2(2m3)xm40有且只有一个实根属于(-1,1)，求m的取值范围2.已知方程m22x(2m1)2xm0在(，1)上有两个根，求m的取值范围.3已知二次程(2m1)x22mx(m

6、1)0有且只有一个实根属于(1，2)，且x1,x2都不是方程的根，求m的取值范围.4 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.5若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围参考答案例1.40有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决.法一：分析：观察到方程x2ax解：因x2ax40有两个实根故BA等价于xi2且x24,即法二：图象法变式：解：原方程即为(x+1)(x+3m-2)=0,所以方程两根分别为

7、-1,2-3m,而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足-3<2-3m<3-1<m<5.33例2.解：依题意有4(m1)244(2m3)0(m1)0m11.2m30例3.解：设yf(x)x22(m1)x2m6.(1)依题意有f(2)0,即44(m1)2m60,得m1.(2)依题意有f(0)2m6075f(1)4m50斛得：一m-.54f(4)10m140(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：0m1或m5有两个正根，此时可得f(0)0,即m33ml.2(m_1)0m12有一个正根，一个负根，此时可得f(0)0,得m3.有一个正根，另一根为0,此时可得62m0m3.2

8、(m1)0综上所述，得m1.例5.解一：二次方程两个根都小于1,其充要条件为(2m1)24m(m2)0mm(2m1)m20(2)2m12m(1)即为8m212m10,它的解集是(，373-7,44(2)即为m(2m1)0,它的解集是(，)(0,).2(3)的解集是(，0)(L).4所以，m的取值范围是(，1)，).24).解二：二次方程mx2(2m1)xm20有两个根的充要条件是设两根为X1，X2,由于X1,X2都小于1,即X110处10,其充要条件为:(X11)(X21)0(X11)(X21)0即X1X220X1X2(X1X2)10因此，方程两个根都小于1的充要条件是:(2m1)24m(m2

9、m120mm22m12)0mm以下同解法一(略).解三：令yx1,原方程转化为m(y1)22my(4m1)y2m1因为原方程两根都小于1,所以方程(2m1)(y1)m20,即)的两个实根都小于0,其充要条件是:04m10m2m1同样可求出m的取值范围（略）.例6.分析：可用换元法，设2xt,原方程化为二次方程t22tb0,但要注意t0,故原方程有解并不等价于方程t22tb0有解，而等价于方程t22tb0在（0,）内有解.另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x的方程af（x）有解，则af（x）的值域.解：（1）原方程为b4x2x1,4x2x1（2x）222

10、x（2x1）211,当b1,）时方程有实数解；（2）当b1时，2x1,.方程有唯一解x0;当b1时，（2x1）21b2x1.2x0,1VTT0,2x1Vfb的解为xlog2（1、）；令1、,1b0.1b11b0,当1b0t,2x1d1b的解为xlog2（1；综合、，得1）当1b0时原方程有两解：xlog2（1/b）；2）当b0或b1时，原方程有唯一解xlog2（1vTb）；3）当b1时，原方程无解。巩固练习1.解：易知x1=-1是方程的一个根，则另一根为x2=m-4一、一一.一3m-41,所以原方程有且3m1仅有一个实根属于（-1,1）当且仅当-1<:m-4<1,3m-im<

11、-2或m>2.解：令t54,m的取值氾围为（-,-2二当x（,1）时，t（0,2）.)U(m-43m1+1>0m-4彳八3m-1-1<054,+).4m-53m-12m+33m-1>0>0由于t2x是映射的函数，所以*在（，1）上有两个值，则t在（0,2）上有两个对应的值.因而方程mt2（2m1）tm0在（0,2）上有两个不等实根，具充要条件为2m1.022m(2m1)24m20m20m(9m2)0(1)(3)由（1）得：m1,4由仔：m0,由仔：m0或由(4)仔：1m62m9f(0)2m10,f(1)20,f(1)4m20,f(2)6m50(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组f(0)0,f(1)0,0,2m-,91一.211一，一.21二即m的取值范围为(-,1).4943.解：设f(x)=(2m1)x22mx(m1),由于f(x)是二次函数，所以2m+1丰01mw-2.f(x)=0在(1,2)上有且仅有一个实根当且仅当f(1)f(2)<0(5m+3)(m-2)<0-<<m<2.5综上得：m的取值范围是(-3,-1)U(-1,2).5224.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分