中考数学直角三角形的边角关系综合经典题及答案

1、中考数学直角三角形的边角关系综合经典题及答案一、直角三角形的边角关系1.已知在平面直角坐标系中，点A3,0,B3,0,C3,8,以线段BC为直径作圆,圆心为E,直线AC交eE于点D,连接OD.(1)求证：直线OD是eE的切线；(2)点F为x轴上任意一动点，连接CF交eE于点G,连接BG:1当tanACF7时，求所有f点的坐标(直接写出)；BG求的最大值.CF【答案】(1)见解析；(2)F133,0,F2(5,0)；吧的最大值为1.31CF2【解析】【分析】(1)连接DE,证明/EDO=90即可；(2)分'F位于AB上”和F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；作GMBC于点M

2、,证明ANFiABC,得当-,从而得解.CF2【详解】(1)证明：连接DE,则:BC为直径BDC90BDA90OAOB ODOBOAOBDODBEBEDEBDEDBEBDOBDEDBODB即：EBOEDO CBx轴 EBO90EDO90 ,直线OD为eE的切线.(2)如图1,当F位于AB上时：ANF1ABCANNF1AF1"ABBCAC.设AN3x,则NR4x,AFi5x CNCAAN103x1031F1N4x.tanACF-CN103x.AF15x5031OF1,031如图2,当F位于BA的延长线上时: AMF2ABC设AM3x,则MF24x,AF25xC

3、MCAAM103xF2M4x1.tanACFCM103x72解得：x一5 AF25x2OF2325即F2（5,0）S2如图，作GMBC于点M, BC是直径 CGBCBF90CBFCGBBGMGMGCFBC8 MG半径4BGMG41-CF882BG的最大值为-.CF2【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.2.在等腰4ABC中，ZB=90°,AM是ABC的角平分线，过点M作MNAC于点N,/EMF=135将/EMF绕点M旋转，使/EMF的两边交直线AB于点E,交

4、直线AC于点F,请解答下列问题：(1)当/EMF绕点M旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，tan/BEM、/J,AN、2+1,则BM=,CF=.【解析】【分析】(1)由等腰4ABC中，/B=90°,AM是ABC的角平分线，过点M作MNLAC于点N,可得BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可证明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM进而得出结论；(2)如图时，同(1)可证BMENMF,可得BE-CF=BM,如图

5、时，同(1)可证BMENMF,可得CF-BE=BM;，.一.,但和朋在RtABM和RtANM中，可得RtAABMRtAANM,后分别求出AB、ACCN、BM、BE的长，结合(1)(2)的结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45； .AM是/BAC的平分线，MNLAC,.BM=MN,在四边形ABMN中，/,BMN=360909045=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .B

6、E+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45J°,.NC=NM=BM, NC=NF-CF,.BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF,-.MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.NC=NM=BM,.NC=CF-NF,.CF-BE=BM;(3)在RtAABM和RtAANM中，RtAABMRtAANM(HL.),.AB=AN=a/2+1,在RtAABC中,AC=AB=巧+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+/2-(V2+1)

7、=1,在RtCMN中，CM=CN=/2,.BM=BC-CM=+1-=1,在RtBME中，tan/BEM.-.BE=.由(1)知，如图1,BE+CF=BM.CF=BM-BE=13由（2）知，如图，此种情况不成立；由（2）知，如图CF=BM+BE=1+,2,由tan/BEM三百,3,CF-BE=BM,故答案为1,1+上3或1-31【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解3.已知RtABC中，/ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAEk为常数，试探究/APE的度数：(1)如图1,若k=1,则

8、/APE的度数为(2)如图2,若k=J3,试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/APE的度数.3)(2)中结论成立，理D(3)如图3,若k=J3,且D、E分别在CRCA的延长线上，(2)中的结论是否成立,请说明理由.ffll图2【答案】(1)45。；(2)(1)中结论不成立，理由见解析;由见解析.【解析】分析：(1)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,进而判断出FAEAACD,得出EF=AD=BF再判断出/EFB=90；即可得出结论；(2)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,FAEAACD,再判断出/EFB=90

9、；即可得出结论；(3)先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF,BF=AD,ACDAHEAS再判断出/EFB=90；即可得出结论；详解：(1)如图1,过点A作AF/CB,过点B作BF/AD相交于进而判断出进而判断出F,连接EF, ./FBE=ZAPE,/FAC4C=90四边形ADBF是平行四边形,BD=AF,BF=AD. .AC=BD,CD=AE，AF=AC. /FAC土C=90； .FAEAACD,EF=AD=BF/FEA=ZADC. /ADC+/CAD=90； /FEA+/CAD=90=ZEHD.1.AD/BF,/EFB=90.°,.EF=BF/FBE=45,°

10、;/APE=45,°(2) (1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AF/CB,过点B作BF/AD相交于F,连接EF,./FBE=ZAPE,/FACWC=90四边形ADBF是平行四边形,BD=AF,BF=AD.2 .ac=、,§bd,cd=、,3ae,ACCD3BDAEBD=AF,ACCD3AFAE3 /FACC=90;4 .FAEAACD,ACADBF-V3,/FEA之ADC.AFEFEF5 /ADC+ZCAD=90,°6 /FEA+ZCAD=90=ZEMD.1.AD/BF,/EFB=90.°在RtEFB中，tanZFBE=EF，BF/FBE=3

11、0,/APE=30,(3)(2)中结论成立，如图3,作EH/CD,DH/BE,EH,DH相交于H,连接AH,/APE=ZADH,/HEC=ZC=90；四边形EBDH是平行四边形,，BE=DH,EH=BD .AC=J3BD,CD=3AE,ACCD石BDAE /HEA=ZC=90:.ACgHEA,ADAHAC不，V3,/ADC=ZHAEEH /CAD+-ZADC=90,° /HAE+ZCAD=90,°/HAD=90:AH在RtADAH中，tan/ADH=pAD'/ADH=30；/APE=30.°点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三

12、角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.4.问题背景：如图(a),点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B'连接AB与直线l交于点C,则点C即为所求(1)实践运用：如图(b),已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30,B为弧AD的中点,直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_.（2）知识拓展：如图（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：（1

13、）242-（2）如图，在斜边AC上截取AB=AB连接BB'.AD平分/BAC点B与点B关于直线AD对称.过点B作B'MAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B'的长即为所求（点到直线的距离最短）.在RtAAFB/中，ZBAC=4更AB="AB="10,.BE+EF的最/、值为功【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C'AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小

14、，且等于A.作直径AC,连接C'F根据垂径定理得弧BD=MDE./ACD=30,°/AOD=60；/DOE=30：/AOE=90,°/CAE=45°又AC为圆的直径，/AEC=90°./C'AC'AE=45，C'E=AE=AC'2V2.AP+BP的最/J、值是272（2）首先在斜边AC上截取AB'=AB连接BB',再过点B作B'1AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B'的长即为所求.5 .如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小

15、组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30。，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C,E,B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60。，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.（J3=1.73结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解.【详解】解：在RtAFG中，tan/AFG=J3,AGAGFG=-Fr,tanAFG.3AG在RtACG中，tan/ACG=,CG.CG=tanACG=、.3AG.又CG-FG=24m,即V3AG-3

16、J=2=24m,.AG=12、3m,.AB=12百+1.6=2214.6 .如图，已知，在eO中，弦AB与弦CD相交于点E,且AcBd.(1)求证：ABCD;(2)如图，若直径FG经过点E,求证:EO平分AED;(3)如图，在(2)的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M,连接MG,若ABCD,MG平分PMB,MG2,FMG的面积为2,求eO的半径的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)eO的半径的长为国.(1)利用相等的弧所对的弦相等进行证明；(2)连接AO、DO,过点。作OJAB于点J,OQCD于点Q,证明AOJDOQ得出OJOQ,根据角平分线的判定定理可得结论；(3)如图，延

17、长GM交eO于点H,连接HF,求出FH2,在HG上取点L,使HLFH,延长FL交eO于点K,连接KG,求出FL22，设HMn,则有_.22LKKG-n,FKFLLK2V21n,再证明22KFGEMGHMF,从而得到tanKFGtanHMF,G庄,再代入FKHMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为屈.【详解】解：(1)证明：AcBd,AcCb?dCb,3bCd,ABcd.(2)证明：如图，连接AO、DO,过点O作OJAB于点J,OQCD于点Q,AD11AJODQO90,AJ-AB-CDDQ,22又.AODO,AOJDOQ,OJOQ,又OJAB,OQCD,EO平分AED.(

18、3)解：CDAB,AED90,_1_由(2)知，AEFAED45,2如图，延长GM交eO于点H,连接HF,C1L'八FG为直径，H90,Smfg-MGFH2,2 MG2,FH2,在HG上取点L,使HLFH,延长FL交eO于点K,连接KG,HFLHLF45,KLGHLF45, FG为直径，K90,KGL90KLG45KLG,LKKG,在RtFHL中，FL2FH2HL2，FL2金，设HMn,HLMG2,GLLMMGHLLMHMn,在RtLGK中，LG2LK2KG2,LKKGn,2FKFLLK2&n,2 GMPGMB,PMGHMF,HMF1 AEF-AED45,2HLF45 MGFE

19、MGMEF45, KFGEMGHMF,tanKFGtanHMF,2nKGHF2n2FKHM2匹V2nn .HGHMMG6,在RtHFG中，FG2FH2HG2,FG2.10,FO.10.MGFKFG即eO的半径的长为7i0.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键.7.如图，在。的内接三角形ABC中，/ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交。O于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF；(2)若AB=5,?_?。，求P

20、D的长.APBP【答案】证明见解析；(2)3竺.2【解析】【分析】(1)根据AB±CD,AB是。的直径，得到ADAC,/ACD=/B,由/FPC=/B,得至ij/ACD=/FPC可得结论；(2)连接OP,由AP?P,得到OP,AB,/OPG=/PDQ根据AB是。的直径，得BC一至U/ACB=90,由于AC=2BC,于是得到tan/CAB=tanZDCB=,得到ACCEAEBE1OG,求得AE=4BE,通过OPGsEDG,得到CE2GEOPED然后根据勾股定理即可得到结果.【详解】(1)证明：连接AD,.ABXCD,AB是。的直径,AdAc,/ACD=/B=/ADC, /FPC=/B,

21、/ACD=/FPC/APC=ZACF, /FAC=/CAF, .PACCAF;1_5(2)连接OP,则OA=OB=OP=-AB22'Ap即, .OP，AB,/OPG=/PDC,.AB是。的直径，/ACB=90；.AC=2BC,BCtan/CAB=tan/DCB=ACCEBE1-，AECE2.AE=4BE,.AE+B&AB=5,.AE=4,BE=1,C$2,.OE=OB-BE=2.5-1=1.5,/OPG=/PDC,/OGP=/DGEOPED'OG.1.OPGAEDG,GEOEGEOP2.5GECE2GE=,OG=,36PG=OP2OG25,6GD=DE=GE22,3【点

22、睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得OPGsEDG是解题的关键.8.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且/PDA=/PBD.延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由;(2)如果/BED=60°,PD=J3,求PA的长；B证明见解析；(2)(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上，如图2,求证：四边形DFBE为菱形.【答案】(1)【解析】【分析】/ADO+/PDA=90,即可得再由PD为。的切线，得即可得出PA；O的直径，得/ADB=90,(1)连接OD,由AB是圆O的

23、直径可得ZADB=90,进而求得出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得ZP=30°,/PDO=90；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,(3)根据题意可证得/ADF=/PDA=ZPBD=ZABF,由AB是圆设/PBD我，则可表示出/DAF=/PAD=90+x°,ZDBF=2x,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,量.AB是圆O的直径，/ADB=90,°/ADO+ZBDO=90；又.DO=BO,/BDO=Z

24、PBD,/PDA=ZPBD,/BDO=ZPDA, /ADO+/PDA=90;即PD±OD, 点D在。O上， 直线PD为。O的切线；(2)BE是。的切线，/EBA=90； /BED=60,°/P=30； .PD为。的切线，/PDO=90；在RtPDO中，/P=30°,PD=R,0OD_.tan30而"，解得OD=1,PO.PD2OD2=2,PA=PO-AO=2-1=1；(3)如图2,依题意得：/ADF=ZPDA,/PAD=ZDAF, /PDA=ZPBDZADF=ZABF,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF,.AB是圆O的直径，/ADB=90；设/PBD

25、=x,贝U/DAF=ZPAD=90+x°,/DBF=2x, 四边形AFBD内接于OO, /DAF+ZDBF=180,°即90°+x+2x=180°,解得x=30°,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF=30,°.BE、ED是。的切线， .DE=BE/EBA=90；/DBE=60,°4BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又/FDB=ZADB-/ADF=9030=60/DBF=2x=60°, .BDF是等边三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF 四边形DFBE为菱形.本题是一道综合性的题目，考查了切线

26、的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大.9.如图，AB是OO的直径，PAPC与。分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,D已PO交PO的延长线于点E.(1)求证：/EPD=/EDO；3 (2)若PC=3tan/PDA=,求OE的长.4【答案】(1)见解析；(2)也23(1)由切线的性质即可得证.(2)连接OC,利用tan/PDA=,可求出CD=2进而求得43OC=,再证明OE24DEP根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.2【详解】(1)证明：.PA,PC与。分别相切于点A,C,/APO=ZCPO,PALAO,-.DE±PO,/PAO=ZE=90；/

27、AOP=ZEOD,/APO=ZEDO,/EPD=ZEDO.(2)连接OC,PA=PC=33.tan/PDA=，4 在RtPAD中，AD=4,PD=pA2ADT=5, .CD=PD-PC=5-3=23.tan/PDA=，4 在RtOCD中，“3OC=，2.5OD=yoccd-=-'/EPD=/ODE,/OCP=/E=90;.,.OEDADEP,PDPEDE=2,DODEOEDE=2OE,5225在RtOED中，OE2+DE2=OD2,即5OE2=5=一,24【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数;勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用0),点D点l与菱形3tanZPDA=-,得线

28、段的长是解题关键410.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标(-6,3C在y轴正半轴上，且cosB=-,动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向5移动(P点到达D点时停止运动)，移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线的其它边交于点Q.(1)求点D坐标；(2)求4OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；3在直线l移动过程中，是否存在t值，使除囱S菱形abcd?右存在，求出t的值；右不存在，请说明理由.rB【答案】(1)点D的坐标为(10,S=4t（0趣4）33）3或5+".2220,S的最大值为50.-t21（4t,10）333【解析】【分

29、析】(1)在RtBOC中，求BC,OC,据菱形性质再求D的坐标；(2)分两种情况分析：当04W4时和当4vtW10寸，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；(3)分两种情况分析：当04W4时，4t=12,；当4vtW1叫，-t220t1233【详解】3解：（1）在RtBOC中，/BOC=90,OB=6,cosB=-,5BCOBcosB10OCBBC2OB28',四边形ABCD为菱形，CD/x轴,.点D的坐标为（10,8）.（2）AB=BC=10,点B的坐标为（6,0）,，点A的坐标为（4,0）.分两种情况考虑，如图1所示.当04W4时,PQ=OC=8,OQ=t,-1.S=-PQ?OQ

30、=4t,2.4>0,当t=4时，S取得最大值，最大值为16；当4vtw1耐，设直线AD的解析式为y=kx+b(kwQ,将A(4,0),D(10,8)代入y=kx+b,得：4kb0,解得:10kb8直线AD的解析式为16416当x=t时，y4t16,33PQ8164(103t)2pqOP2t25032t320t33(t5)25020.当t=5时，S取得取大值，取大值为34t(0别4)综上所述：S关于t的函数关系式为S=3t220万t(4t,10),一一50,S的最大值为-50.3综上所述：在直线l移动过程中，存在【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题(3) S菱形ABCD=AB?

31、OC=80.当04W4时，4t=12,解得：t=3;当4<tW10寸，2t2-20t=12,33解得：t1=5-J7(舍去)，t2=5+J7.一一3一t值，使S=S菱形ABCD,t的值为3或5+J7.20'.数形结合，分类讨论是关键11 .如图，在RtABC中，/C=90°,ZA=30°,AB=4,动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD±AC于点D（点P不与点A,B重合），作/DPQ=60边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长：;(2)当t=时，点Q与点C重合时；(3)

32、当线段PQ的垂直平分线经过4ABC一边中点时，求出t的值.II35|【答案】(1)2-9小(2)1；(3)t的值为彳或彳或耳.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AQ即可得出结论；(3)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.【详解】(1) -.AP=2t,AB=4,ZA=30.AC=23,AD=V%(2) AQ=2AD=2j3£当AQ=AC时，Q与C重合即上AF=t=1;(3)如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,1AB=2.ZA=ZAQP=30,ZFPG=60,ZPFG=30,PF=2PG=2t,1,-，AP+PF=2t+2

33、t=2,.-.t=w如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,.ZQMN=90,AN=2AC=V35QM=2PQ=?AP=t在RtANMQ中，.AN+NQ=AQ,如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,.BF=BC=1,/ABC=60；在RtAPEH中,54.却图2副11PE=亍PQ=t,/H=30：/BFH=30=/H,BH=BF=1.PH=2PE=2t.AH=AP+PH=AB+BH,/.2t+2t=5,/.t=即当线段PQ的垂直平分线经过ABC一边中点时，t的值为万或a或彳【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的

34、关键.12 .已知抛物线y=-1x2-Zx+2与x轴交于点A,B两点，交y轴于C点，抛物线的对63称轴与x轴交于H点，分别以OGOA为边作矩形AECQ(1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M,当四边形AQCP面积最大时，求|PM-QM|的值.(3)如图，将AAQC沿直线AC翻折得AACD,再将4ACD沿着直线AC平移得A'C'.D使得点A'、C在直线AC上，是否存在这样的点D',使得ED;直角三角形？若存在，请求出点D'的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=-x+2；(2)点M坐标为(-2,5)时，四边形AQCP的面积最大，此时33319|PM-OM|有最大值詈;（3）存在，D坐标为：（0,4）或（-6,2）或（-,）【解析】【分析】（1）令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或-6,求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M,此时，|PM-OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分A'DAE;ADTED'ED。AE三种情况利用勾股定理列方程求解即可.【详解】A(6,0)、B(2,0)、C(0,(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或6,2）,函数对称轴为：x=-2,顶点坐标为（-2,8）C点坐标为（0,2）,则过点C的直线