§18.4条件极值

1、幻灯片1§ 18.4条件极值一. 条件极值问题二. 条件极值点的必要条件三. Lagrange 乘数法四. 用Lagrange乘数法解应 用问题举例先提出此例，然后,简要 板书建立数学模型的 过程.幻灯片2一.条件极值问题例 要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱确定长、宽和高，使水箱的外表积最小。分别以x、y和z表示水箱的长、宽和高，该例可表述为：在约束条件xyz V之下求函数S(x,y,z) 2(xz yz) xy 的最小值.一般地，幻灯片3在条件组：1(N,X2 ,L ,Xn) 0,2(x!,x2,L ,xn)0(m n) (2)L L L L Lm(X!,X2,L ,xn)0

2、的限制下,求目标函数y f(x,x2,L ,xn)(3)的极值.这种附有约束条件的极值问 题,称为条件极值问题.幻灯片4.条件极值点的必要条件设在约束条件(x,y) 0之下，求函数z f (x, y)的极值.当满足约束条件的点(xo,y°)是函数f (x, y)的 条件极值点，且在该点函数(x,y)满足隐函数 存在条件时由方程(x,y)0决定隐函数y g(x),于是点x就是一元函数z f x , g(x)的极限点，有代入dzdxg (xo)fx fyg (x) ox(xo,y°)y(Xo,yo)就有从简单的条件极值问题入手，讨论条件极值 点的必要条件.过程:从 约束条件解出

3、隐函数, 代入目标函数，化为无 条件极值.条件极值点 对应无条件极值点.幻灯片5亦即fx(xo, yo) fy(xo,yo) x(xo,yo)0y(Xo,yo)以下fx、fy、 x、 y均表示相应偏导数在点(xo, yo)的值 即 fx y fy x 0,亦即(fx, fy) ( y, x) 0. 可见向量(fx, fy)与向量(y, x)正交.注意到向量(x, y)也与向量(y, x)正交，即得向量 (fx,fy)与向量(x, y)线性相关，即存在实数， 使(fx，fy) ( x，y) 0幻灯片6fx(x,y)x(x,y)0 ,方程组fy(x,y)y(x,y)0 ,的解.(x,y)0 .弓1

4、进Lagra nge函数L(x,y,)f(x,y)(x,y)引导学生归纳总结出 条件极值点的必要条 件.指出这里把原条件 极值问题，化为Lagrange函 数的无条件极值问题.三.Lagrange乘数法由上述讨论可见，函数z f (x, y)在约束条件(x,y)0之下的条件极值点应是(称其中的实数 为Lagrange乘数)Lx(x, y, )0 ,那么上述方程组即为方程组Ly(x,y, ) 0 ,L (x, y, ) 0 .幻灯片7幻灯片8幻灯片9设在约束条件(X, y, z) 0,(x, y,z) 0f (x, y, z)的极值。()之下，求函数u记 L (x,y,z, 1, 2)f(x,

5、y, z) 1 (x,y,z)2 (x,y,z)(称1,2为 Lagrange 乘数)八Lagrange 函数此问题的条件极值点应是方程组Lxfx(x,y,z)1 x(x,y,z)2 x(x, y,z) 0,Lyfy(x,y,z)1 y(x,y,z)2 y(x,y,z)0,Lzfz(x,y,z)1 z(x,y, z)2z(x, y,z) 0,L1(x,y,z)0 ,L2(x, y,z)0 .般地，(以三元函数、两个约束条件为例)的解.于是,有两个约束条件目标函数为三元函数，的条件极值问题()，那么可以化为()的Lagrange函数L(x, y,z, !, 2) f(x, y,z) 1 (x,y

6、,z)2 (x,y,z)的无条件极值.记约束条件(2)下目标函数(3)的极值问题 的Lagrange函数为：L(X1,xz,L ,Xn,1,2,L , m)mf(x1,X2,L ,x.)k kX,%,L ,xn)(12)k 1其中1, 2,L , m为拉格朗日乘数,我们有：定理18.6设在条件 的限制下，求函数的极值问题， 其中f与k (k 1,2,L ,m)在区域D内有连续的一阶偏 导数，假设D的内点P)(0,x2),L ,x°)是上述问题的极值点， 且雅可比矩阵：11 LMm L的秩为m,XnXn指出这里同样把原条 件极值问题，化为Lagrange函 数的无条件极值问题.幻灯 片

7、10定点，即(X：'l0(0) l,L , xn ,1, L(0), m)为下述n m个方程Lx1f mkk0,X1k 1X1L LL L L L L LLLxnf m k"k0,的解.xnk 1XnL11(X1,X2 ,L，:Xn)0 ,L LL L L L L LLLmm(X1,*,L,Xn)0 .那么存在m个常数i(0),L , ：0),使得(x0,L ,x0, 1(O),L , m0)为拉格朗日函数(12)的稳幻灯片11四.用Lagrange乘数法解应用问题举 例例1.求容积为V的长方体形开口水箱的最小外表积.P166例1解：设水箱的长、宽和高分别为x、y和乙所论问题

8、，即求在约束条件xyz V之下，函数S( x, y, z) 2(xz yz) xy 的最小值记 L(x,y,z, ) 2(xz yz) xy (xyz V)Lx2zyyz0,令Ly2zxxz0,令Lz 2(x y) xy 0,LxyzV0.解题方法 Lagrange 乘数法,讨论问题的拉格 朗日函数的稳定点.一 可能的条件极值点幻灯片12得唯一稳定点 x y 2z v'2V,4判断拉格朗日函数的 稳定点为最值点的方 法之一：根据问题的实 际意义。又根据问题的实际意义，所求开口水箱的最小 外表积确实存在.所以，当高为2冷、长与宽为3 2V时，外表积最小为：Smin 3(2V)23o幻灯

9、片13例2.抛物面x2 y2 z被平面x y z 1截成 一个椭圆.求该椭圆到坐标原点的最长和最短 距离.P167例2解：设(x,y,z)是椭圆上一点，所论问题，即求函数f(x,y,z) x2 y2 z2，在 约束条件x2 y2 z及x y z 1下的最大、最 小值问题。记L(x,y,z,)2 2 2 2 2x y z (x y z) (x y z 1)幻灯 片14Lx2x2x0,Ly2y2y0,令Lz 2z0,Lx2y2 z 0,Lxy z 10.得二个稳定点：(12 3, 12 3,23, 3 3.3, 73);x, y, z,x,y,z,幻灯片15判断拉格朗日函数的 稳定点为最值点的方

10、法之二：有界闭集上的 连续函数，一定存在最 大值与最小值。又因为函数 f 在有界闭集12 2x y 乙x y z 1上连续，所以f在有界闭集D上，存在最大、最小值。Q f( 13, 1 乜,23)9 5.32 2所以，椭圆上点(，,2 V3)和2 2(13, 13,23)到坐标原点的距离分别2 2 取最长为9 5 3，最短为.9 5 3.1111例3 .求函数f (x, y, z) xyz在条件 _x yzr(x 0, y 0,z 0, r0)下的极小值.并证明不等式31 1113 abc ,a bc其中a,b :,c为任意正常数。P167 例 3解：记 L(x,y,z,)xyz1111( )

11、x y z rLxyzx20,令Lyzxy20,Lzxyz20,L11 110,xy zr幻灯 片16幻灯 片17得稳定点：x, y, z, 3r,3r,3r ,(3r)4 ;从约束条件1111中，解出其隐函数x y z rz z(x,y)，代入目标函数f(x,y,z) xyz，得复 合函数 F(x,y) f x,y,z(x, y) xy z(x, y)。那么函数f (x,y,z) xyz在条件丄丄丄丄x y z r(x 0,y0,z0,r0)下的极值问题。即复合幻灯片18Q J112 z2 z2-2 ,Zy2 ,xzx2y2Fxy zxy乙yzyz，Fyxzxz5xyF xxx 2yzz<12yz2yz3Fyy2xzyzx23 ,3xxy2z y 2zzxx2 2 zzz yx2z3xy Fyx函数F (x, y) xy z(x, y)的无条件极值问题。FxxFxy6r 3rFxyFyy3r,3r,3r3r 6r27r2Fxx 3r,3r,