不等式的基本性质、基本不等式不等式的解法

1、不等式的根本性质、根本不等式；不等式的解法教学目的:1、稳固不等式的根本性质、拓展根本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法 三.教学重点、难点根本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法 KCB齿轮泵四知识分析【不等式的根本性质】2CY系列齿轮泵a -bb' &一五二 Doti 二 b1、不等式的根本性质：对于任意的实数a，b，有h-Zo皿，这三条 根本性质是差值比拟法的理论依据.KCB不锈钢齿轮泵2、不等式的性质包括“单向性和“双向性两个方面.【单向性】(1) -I . I- - - I-(2) 弓't- 1 - LYB系列立式液下齿

2、轮泵(3) '''1 '(4 ) -IIr I I(5)mI' KCB-T 铜齿轮泵(a、 a > b > 0, n >b11(6【双向性】a-ba > b-a-h -a = b/*、 幺一心<0 O空CD亠外心人X(1 )-GZYB咼精度齿轮泵3 a ；匸+二 KCB系列大流量齿轮泵单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的根底当然也可用于证明 不等式，由于单向性3、 4的逆命题都成立，所以它们也可用于解不 等式，在应用单向性6解无理不等式和形如的高次不等式时，假设n为偶数时要注意讨论.KCB齿轮泵安装尺寸工丄门11a0

3、 => < 3、要注意不等式性质成立的条件.例如，在应用“亠这匕11=> < 一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得丿：，要么是强化了条件， 1 1«>£>>=>< 而得l: 2CY齿轮泵安装尺寸【根本不等式】定理1设''，贝U7二亠一，当且仅当三=J时，等号成立。定理2如果a，b为正数，那么，当且仅当；三=时，等号成立。a+b4C>定理3如果a, b, c为正数，高压齿轮泵贝U -，当且仅当三-时，等号成立。定理4 一般形式的算术一几何平均值不等式如果"，七，J为n 沁c电王丙个正数，那

4、么-"，并且当且仅当孔亠二"5时，等号成立。a a4活说明：在公式m 及的学KCB-300齿轮泵习中，应注意几占：八、1 /-匚一匚一和二成立的条件是不同的，前者只要求a,b都是实数，而后者要求a，b都为正数。例如，；L '成立，而I；卜叭何冇2不成立。KCG高温齿轮泵(2) 关于不等式匚二二及匚三：的含义:;:或；表示严格的不等式；KCB-300齿轮泵碳钢二或：三：表示非严格的不等式。不等式“读作C大于或等于d,其含义是“或者 ，或者 ，等价于“ c不小于d ，即KCB可调齿轮泵假设：或H負有一个正确，那么匚工負正 确。不等式“读作c小于或等于d，其含义是“，或者

5、 ，等价于“ c不大于d，即假设：爲或c=d中有ZYB渣油泵一个正确，贝u m 正确。(3) 这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当 时，当且仅当三时等号成立的含义要搞清楚，它的含义是：当三=J时，/ 广 亠二，ZYB系列渣油泵当J / 土 2业时，且=b ；当日朮b时，J + 2，当J r-时，三二o ZYB可调压式渣油泵对根本不等式：a，b为正数，那么-当且仅当三=时等号成立，作类似理解。定理1定理4的不等式中，都给出了等号成立的充分必要条件，这些条件 为解决某些有关优化的极值问题提供 ZYB可调压渣油泵了理论根底，因此定理中 等号成立的条件要求掌握。【不等式的解法】1. 一元一

6、次不等式ZYB重油渣油泵通过同解变形，一元一次不等式可化为：工：兀假设曰汇，那么其解集为X |x < >假设a <0，那么其解集为L aJ。ZYB齿轮式渣油泵假设"I;"，解集为R; 时，解集为Q。2. 一元二次不等式GZYB系列渣油泵通过同解变形，一元二次不等式可化为：二二：二；-或ax" + bs 4 c <Ca > 0不妨设方程-二-的两根为，、厂且J - O ZYB-B型可调式高压燃 油渣油泵1假设 -4ac nd，贝 y axa 4 bx + c > 0 的解集为 & 丨江 w 衍或：i > 2S2，二j

7、 F 十一 一一的解集为八"一-亠一 O片rn k eR 2 假设鬧-4乳=D，不等式3+b + c>0的解集为I鮎 .，不等式-十-1-的解集为二O ZYB可调式渣油泵3当一一二一 -，那么不等式-十- -的解集为R，不等式 -J十-的解集为二O3. 高次不等式高次不等式通过同解变形可化为：；一一 一一_=-1.-或-1 I-1L1'三：。外润滑渣油泵不妨设-：，运用图像法可求解。用表示每个因式、“的符号及人符号的图像，可决定'：'如下图，时，一 " > !'的符号均为正，从而J ，所以一一一 是* >0的解。依此ZYB渣

8、油泵安装尺寸 可求出不等式门0 或一的解集。4. 分式不等式(1)二.> 0。ZYB渣油泵f(x)-g(x)<0处)R?(x) g(x)>0.虽仪)* "zyb齿轮输油泵5. 含有绝对值的不等式的主要类型及解法:(1) I - | - I I :I :.(2) I丨- I I ：I -'I':-；高温渣油泵(3) 一1一1 一， 一；(4) -1 .一 一 ； ZYB 硬齿面渣油泵(5) 丨工小；.；。【典型例题】ZYB齿轮油泵例1.对于实数a、b、c,判断以下命题的真假。(1 )假设小，那么二心；(2) 假设三；小，贝那么；：; ZYB渣油齿轮泵系

9、列(3 )假设 mC，那么厂二-(4)假设田:-，那么)；解析：1因未知c的正负或是否为零，无法确定 ac与be的大小，所以 是假命题。ZYB型增压渣油泵2因为,所以只有"时才能正确，二=时，二亠二，所以是假 命题。变式：假设 L ;，贝瞋;7，命题是真命题。可调压齿轮泵3，一 一 r ：二，=，；一,二；，命题是真命题。a<b<C=> 4 由性质定理，命题是假命题。23-3 <-2 <Or - <-5例如-二，命题是假命题。ZYB可调压齿轮泵-a > -b > 0a < t < 0 j 1一、亍-a > -b >

10、; 0高温高压整体碳钢齿轮式渣油泵点评：不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论根底，必须熟练掌握， 还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件， 不能用充分不必要条件的性 质定理解不等式。高精度全自动恒压力变频齿轮泵例2.实数a、b、c、d满足以下三个条件： h :a - - =:-十匚。ZYB系列中压齿轮式渣油泵请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论。思路：此题条件较多，从何入手？如果两两比拟，一般需要进行：次,但如果能找到一个合理的程序，那么可减少解题的层次。解析:-b cc- a,- a - b - dd<b,a < c.由式得二；：八: > 三。

11、ZYB高压齿轮泵点评：由于找到了一个合理程序，上面的解法没有浪费一点笔墨，干净利落。例3. 1 假设 > '1，试比拟：|与：； |的大小；2设E ： 1，二；=且2：，试比拟厂与广的大小。ZYB可调压齿轮泵型 思路：根据题目的结构特点，可考虑用差值比拟法。解析：J：'"gzyb高精度齿轮油泵：-，ZYB渣油齿轮泵型号2根据同底数幕的运算法那么，可考虑用比值比拟法。当“二；厂时，一：厂，ZYB齿轮油泵系列那么吐!，ZYB齿轮泵系列型综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有点评：实数大小的比拟问题常常利用不等式的根本性质或“L ，且来解决，比拟法的关键2CY齿轮泵

12、是第二步的变形，一般来说，变 形越彻底，越有利于下一步的判断。例4.设，且-：.1!一 -，求- 的取值范围。思路：因为f卜，而1 <a -1 < 2，2兰s十t冬斗；又s十ti与 - -中的a、b不是独立的，而是2CY系列齿轮油泵 相互制约的，因此，假设将 用.和 表示，那么问题得解。解析：设m> n为待定系数，那么一一 _- - ' 一 | 卜十：即7 - J | - ：- - ： -，2CY系列不锈钢齿轮泵型于是,，2CY型齿轮泵外形及安装尺寸以上解题过程简化如下：2CY不锈钢齿轮泵ja- B = f (- 1 由£(! f(- 2)-4a-2b-3f

13、(-l)+f(l)点评：严格依据不等式的根本性 2CY系列齿轮泵质和运算法那么，是正确解答 此类题目的保证。例5.a、b、cF一，求证:(1亠- ； 2CY型系列齿轮泵(2) | 宀'_ “ | '' ' - .思路：由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式:! 、及变22/、了2L+2.>fl±2 区比)形不等式；2 I 2丿，故可运用它们进行证明。2CY齿轮油泵系列证明：(12 2 丿，|a4 b+ b) ，2CY系列输送泵+ ca >(b + c) Jca + a5 >-(c + a)同理-'，:。三式相加得2CY输

14、油泵+ 2 斗 Jb，+ X + 肿 * f > 4(a + b-p c)(2). J工乃叫丁，bJAM"，H斗"32c?以，.T :，即J f 十二f 1 - -。2cy系列船用齿轮泵又-b baca > 2ato 2c b2ca + ta3 > 2a.bcJ caaa + aat2 > 2a1-bcc+ abr + a2bc)* * ' ?即二-十-J二zll.十Z '.I 0 KCB齿轮油泵点评：证明不等式时应根据求证式二端的结构，合理选择重要不等式及其变 形不等式；此题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。例6.某单

15、位决定投资3200元建一仓库长方体状，高度恒定，它的后墙利 用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价 20元，KCB系列齿轮油泵 试算：1 仓库面积S的最大允许值是多少？2为使S到达最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为 多长？解析：用字母分别表示铁栅KCB不锈钢齿轮泵 长和一堵砖墙长，再由题意得 出数量关系。设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，那么有 。由题意得1：一: 1 *KCB 齿轮油泵应用二元均值不等式，得3200 >2曲血占旳+加旳_ 11 '1 ' _ 1 '' ' 0

16、KCB-T 系列铜齿轮泵.£+巧廳皂1创，即屈4迢驱-讪匹.廳十，.廳-lil 兰 CI，从而 S<LOO 0因此S最大允许值是100犬，取得此最大值的条件是一、:而；1 1，由此求得，即铁栅的长应是15米。KCB齿轮油泵安装尺寸=S点评：此题也可将二代入*，导出关于x的二次方程，利用判别式法 求解。例7.解以下不等式：KCB系列齿轮泵X5 +- 2 盘1厂"J '"； 2 _'思路：按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。解析：1解法一齿轮油泵由丁 'I- -,得n注，但e时，符合题意，故原不等式的解集为：。解法二：原不等式变形为：

17、.1 一： | ,利用数轴标根法，画出图示如以下图所示：KCB齿轮油泵原不等式的解集为:(x|-2<x. < Mx 6)(2 )移项整理，将原不等式化为 KCB齿轮泵铸钢1 : 。一一 - 0恒成立。甘_ 2丁口原不等式等价于- - L： 1。KCB齿轮泵解之，得原不等式的解集为"： ： ' o点评：(1)采用列表法和数轴标根法没有什么本质区别，但用后者更简捷, 要注意平方因式，如"的特点。(2 )第(2)题需移项通分，经因式分解变形，对出现的二次式注意是否有 实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理。另外，此题也可用 数轴标根法求解，解分式

18、不等式时，KCB齿轮油泵注意分母不能为零。例8解以下不等式：(1 )思路：按解绝对值不等式的方法求解。kcb齿轮油泵KCB 300解析：1解法一：原不等式等价于二二亠；匸 二，或 g - 2 < -xa -強一斗原不等式的解集为o kcb18.3-83.3 齿轮泵45* 2|>0，KCB齿轮油泵-，故原不等式等价于原不等式的解集为 - o kcb 300齿轮泵系列0 9妇 <(xa -4f(x*±2)-172 + 1«5>U吕 s2 <1K2 21E5一 1 ：或工巴4。ZYB可调压渣油泵点评：1 假设中的丄-.的值的范围可确定包括恒正或恒非负

19、，恒负 或恒非正，就可直接脱掉绝对值符号，从而简化解题过程。-1 < 3x < 122小题也可将原不等式转化为-：求解，但过程较繁，不如上面的解法简捷。ZYB-B可调压渣油泵系列hg ! X + log3 -r 21的解集例9.求不等式 1_K思路：由于绝对值符号里含有对数式，故先求出对数函数的定义域，然后再 脱掉绝对值符号进行求解。ZYB可调式渣油泵ZYB-33.3A解析：因为对数必须有意义，所以先解不等式组 L3-X解得0<x<3又原不等式可化为h衍小MgQrbl。ZYB齿轮渣油泵1 当仁注1 时，不等式化为-log3x+ log33-x>log33 , 33

20、*Oq 筑 W .-，结合前提条件，得I。ZYB型增压渣油泵2当1丈笛兰2时，即b呂岂址+ 10粘卩_去淫1昭，.-匸I1一，.：" -。高压渣油泵 4.0MPA3 当2 3 <3时，b羽工毗卩_幻凸了，99每邑一_ < z <3.-，结合前提条件，得r。ZYB系列渣油泵；站9D, - U -T 3综合得原不等式的解集为I耳L4丿点评：“零点分区间的方法是解绝对值不等式最根本的方法，注意熟练掌 握，另外注意，原不等式的解集是各区间解集的并集。TYB可调压式齿轮泵【模拟试题】1.假设a、b是任意实数，且三:'，那么zyb可调压渣油泵D.5B.二B 0 <

21、 ii <a < 1C. a > b > 13.设a、b是两个实数，给出以下条件：:；'；,其中能可调压力渣油泵 推出“a, b中至少有一个数大于1 的条件是A.B.C.D.J_ +£4.设a、b *，假设，那么九的最小值等于3000型沥青拌合楼重油泵CE证书A. 1B. 3C. 2D. 45. 假设关于x的不等式的解集是-1 -山丄,那么a的值为A. 2B. -2C. -D.26. 假设不等式二'"一对一切:疋*恒ZYB可调压渣油泵-铸钢成立，那么 实数a的取值范围是A.处】B.勻:;1C. "-D.a>lI斗亠7.

22、 不等式二二-:的解集是搅拌站渣油泵A x| 0 <x <2b 蛊1沙2,或盂 0C.闵工詢D.28.三个不等式：下一个做结论，那么可以组成_，b，个正确命题，以其中两个做条件，余可调式渣油齿轮泵c9. a>b>c，那么J_映-c与丁的大小关系是10. 如果只有一个实数满足 宀辽+ 5争，那么a= 。|a|-|b| 亠 |a|4-|b|m = -_:!一""n = '_!:-11. 卜斗一丨，丄-，那么m、n的大小关系是。ZYB重油煤焦油专用泵12. a、，并且三7，求证：-。13. 有一种变压器，铁芯的截面呈正十字形，如下图，为了保证所需的磁通量，需要一定的截面积，如果ZYB重油煤焦油专用泵 要求正十字的面积为:兀，应如何设计正十字形的长y与宽x，才能使正十字形的外接圆周长最短(从而可 使用来绕铁芯的铜线最省)？14. 不等式