2017-2018学年第一学期扬州中学高二期中数学试卷

1、2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷高二数学一、填空题:1 .直线l:2x-y+1=0的斜率为2 .命题p：?x?R,使得x2+1W0的否定为3 .直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为22224 .若命题p：xiyi4（xi,yiR）,命题q：点（。y1）在圆xy4内，则p是q的条件。5 .已知两条直线li:x+ay=2a+2,l2：ax+y=a+1,若li±12,贝Ua=6 .命题p：若a>b,则1<1”的否命题是（填：真、假）命题ab7 .两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为8 .若直线xy20被圆

2、（xa）2y24所截得的弦长为2J2,则实数a的值为.229 .离心率为2且与椭圆+-=1有共同焦点的双曲线方程是259-x2y2-一，x2y210 .椭圆上+今=1和双曲线x-y=1的公共焦点为F1，F2,P是两曲线的一个交点，那么cosFPF2的值6231是?+?-2*？+?211 .在平面直角坐标系xOy中，由不等式2.2""所确7E的图形的面积为?+?<100S满足这四个点在S的不2212 .椭圆与41（ab0）的右焦点为F,过原点。的直线交椭圆于点A、abP,且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B,PBPA,则该椭圆的离心率e=一13 .在平面直角坐标系xo

3、y中，抛物线y22x的焦点为F,设M是抛物线上的动点，则MO的最大值为.MF14 .已知对于点A(0,12),B(10,9),C(8,0),D(-4,7),存在唯一一个正方形同边所在直线上，设正方形S面积为k,则10k的值为、解答题:2X15.已知命题p： “方程9 k221表示焦点在X轴上的椭圆”，命题q：“方程xk12k表示双曲线”.(1)若p是真命题，求实数k的取值范围；(2)若“p或q”是真命题，求实数k的取值范围.16 .已知圆M的方程为x2(y2)21,直线l的方程为x2y0,点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若APB60°,试求点P的坐标

4、;(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点，当CDJ2时，求直线CD的方程;17 .古希腊有一著名的尺规作图题倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线(可尺规作图)来解决。首先作一个通经为2a(其中正数a为原立方体的棱长)的抛物线C1,如图，再作一个顶点与抛物线C1顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2,且与C1交于不同于点O的一点P,自点P向抛物线C1的对称轴作垂线，垂足为M,可使以OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线G的标准方程；(2)为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的

5、2倍，求抛物线G的标准方程(只须以一个开口方向为例)。18 .如图，AOB的顶点A在射线l:yJ3x(x0)上，A,B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|MB|=3.当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W.(1)求轨迹W的方程；(2)设P(m,0)为x轴正半轴上一点，求|PM|的最小值f(m).19 .已知椭圆C:x4+y2=1(a>b>0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线1/DF,且与y轴交于点P(0,t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点Q和点E,满足OQOE(O为坐标原点)，连接EQ(1)求t的值，并证明直线AP与圆x2+y2=2相切；(2)

6、判断直线EQ与圆x2+y2=2是否相切？若相切，请证明;若不相切，请说明理由。x2y220 .已知椭圆C:+右=1左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF，x轴，且点B在x轴下方,BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数七尬满足：匕C=?1CQ,QD=kDA(1)求加无的值(2)求证：点Q在一定直线上。2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷高二数学一、填空题：1 .直线l:2x-y+1=0的斜率为22 .命题p：?x?R,使得x2+1W0的否定为?x?R,使得x2+1>03 .直线l:kx+y-2k=0经过定点的坐标为(2

7、,0)4内，则p是q的2224 .右命题p：Xiyi4(Xi,yiR),命题q：点(Xi,yi)在圆x充要.5 .已知两条直线li：x+ay=2a+2,l2：ax+y=a+1,若li±12,贝Ua=0丑，iI,一一一，一，6 .命题p：若a>b,则J的否命题是（填：真、假）命题假7 .两圆x2+y2-6x+I6y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为28 .若直线xy20被圆（xa）2y24所截得的弦长为2J2,则实数a的值为.0或422229 .离心率为2且与椭圆L+2_=I有共同焦点的双曲线方程是-=i2594I2-x2y2-一，x2y210 .椭圆强=

8、i和双曲线§-y=i的公共焦点为F,F2,P是两曲线的一个交点，那么cosFPF2的值623I50兀?+?-2>?+?211 .在平面直角坐标系xOy中，由不等式22所确7E的图形的面积为?+?<I00解：由两个曲线的对称性，所求面积为圆面积的一半5071,也可具体分析第一象限围出的区域，注意对称性即可。22i2.椭圆与与 i(aa bb 0）的右焦点为F,过原点。的直线交椭圆于点线AF交椭圆于点B,PB PA,则该椭圆的离心率解：（II年江苏Wj考解几的逆命题）kPAkPB = -II，又kAF=2kFA=kAB,由点差法b2 kABkPB= -02所以 2kPA kP

9、B=-02= -2 ,所以a2=2b2,可得离心率为A、P,且PF垂直于x轴，直I3.在平面直角坐标系xoy中，抛物线2x的焦点为F ,设M是抛物线上的动点，则 必0的最大值MF一一八，I【解析】焦点F10 ，设M m,n22I ,n 2m , m 0,设M到准线x 的距离等于d ,2MOMFMF等号成立).S的不14.已知对于点A(0,12),B(10,9),C(8,0),D(-4,7),存在唯一一个正方形S满足这四个点在同边上，设正方形S面积为k,则10k的值为li: y-9=m(x-10)解：设m为过点B的正方形S的边所在直线的斜率，则该直线方程即mx-y+(9-10m)=0过点C的正方

10、形S的边所在直线方程12：x+my-8=0由于点D到li的距离等于点A到12的距离,卜4m-7+9-10m|112m-8|，:m2+1m2+1一5解得：m=g或-3135一，,._,而当m=G时，点A与C在11的两侧，矛盾,13当m=-3符合，此时,112m-8|3(m2+1) =10所以10k=1936二、解答题:x215.已知命题p： “方程92-1表示焦点在x轴上的椭圆”k 1x2,命题q: “方程2 k2yk表示双曲线”.(1)若p是真命题，求实数k的取值范围；(2)若"p或q”是真命题,求实数k的取值范围.解：1<k<5(7分+7分)216.已知圆M的万程为x2

11、(y 2)2 1 ,直线l的方程为x 2y 0点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若APB60°,试求点P的坐标;(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点，当CDJ2时，求直线CD的方程;解：(1)设P(2m,m),由条件可知MP2,所以(2m)2(m2)24,解之得：m0,m-584故所求点P的坐标为P(0,0)或P(8-).5,5(2)设直线CD的方程为：y1k(x2),易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为平2|-2k-1|1所以1-="+/,解得k=-1或-7（7分+7分）故所求直线CD的方程为：x+y-3=0

12、或x+7y-9=017.古希腊有一著名的尺规作图题倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。倍立方问题可以利用抛物线(可尺规作图)来解决。首先作一个通径为2a(其中正数a为原立方体的棱长)的抛物线Ci,如图再作一个顶点与抛物线Ci顶点O重合而对称轴垂直的抛物线C2,且与Ci交于不同于点O的一点P,自点P向抛物线Ci的对称轴作垂线，垂足为M,可使OM为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍。(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线G的标准方程；(2)为使以OM为棱长的立方体的体积是原立方体的2倍，求抛物线C2的标准方程(只须以一个开口方向为例)。(6分+8分)解(1)以O为原

13、点，OM为x轴正向建立平面直角坐标系，由题意，抛物线C1的通经为2a,所以标准方程为y2=2ax(2)方法一：设抛物线C2：x2=my(m>0)又由题意OM3=xp=2a3,所以xP=3/2a,代入y2=2ax得：yp=2V2a2,解得yP=3/4a所以点P(V2a,V4a)代入x2=my得：(3/2a)2=m3/4a,解得m=a所以抛物线C2为：x2=ay方法二：设抛物线C2：x2=my(m>0)联立抛物线。、C2得：?2=2?=?x4=2am2x,解得x=0或x3=2am2由题意OM3=x3=2am2=2a3所以，m=a所以抛物线C2为：x2=ay一点说明：古希腊著名的尺规作图

14、题惜立方问题”，试题也可有文化传承的功能。段AB上有一点 M满足I AM| | MB | (1)求轨迹W的方程；(2)设P(m, 0)为x轴正半轴上一点，求| 解：(1)因为A, B两点关于x轴对称, 所以AB边所在直线与y轴平行.=3.当点A在l上移动时，记点 M的轨迹为 W.PM|的最小值f(m).设 M(x, y),由题意，得 A(x, 33 x)B(x, - V3x)所以 | AM | = J3x y, | MB因为 | AM | - | MB | = 3,所以(炳 x- y) X (y+ J3 x) = 3,即x22所以点m的轨迹w的方程为x2y-31(x> 1).(2)设 M

15、(x, y),则 | MP | J(x m)2因为点 M 在 x2 4r 1(x 1),所以 y2=3x23, 3所以 |MP| .(x m)2 3x2 34x2 2mx m2 3m2 3m24(x 4)43,0m育40m右一41 ,即 m<4,则当 x=1 时，|MP | min =I m 1|,m1c1,即 m>4,则当 x 一时，| MP |min -V3m12.42/=2肛求它们的交点的横坐标.为此，把第一个方程代入第二个方程,得到3内'=2服，幻(谈-2*=0,J.劣=0或炉=24.这两个解分别对应于居加，中的两个交点。和P作/轴的垂级P此垂足为M,M。城一v2%

16、以。巫为棱长的立方体的体积？等于以口为棱氏的立方体的体积的二倍.18.如图， AOB的顶点A在射线l: y<3x(x0)上，A,B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线所以，I PM I的最小值f(m)| m 11,0 m 4,1 3m2 12,m 4.2(6分+ 10分)2, .一 x19.已知椭圆C: 4T2y2= 1 (a> b > 0)上顶点为D,右焦点为F,过右顶点A作直线1/DF,且与y轴交于点P (0, t),又在直线y=t和椭圆C上分别取点 Q和点E,满足OQOE (O为坐标原点)，连接EQ(1)求t的值，并证明直线 AP与圆x2+y2= 2相切;(2)判断直线

17、EQ与圆x2+y2 = 2是否相切？若相切, 解：(i)由题设 D (0/2), F (72,0), A (2,0)又 AP/DF ,所以 kAP= kDF,可得 t=2所以 AP: x+2=1 ,即 x+y=2所以=喻*=圆*2+=2的半径, ,2所以直线AP与圆x2+y2=2相切(2)设 Q(Xo,2), E (xi, yi)由 OQOE,则 OQ ± OE ,可得 xoxi+2yi=0 而 EQ : (yi-2)x- (xi-X0)y-(yi-2)xo+2(xi-xo)=0请证明；若不相切，请说明理由。|-(yi-2)x0+2(xi -xo)|yix0-2xi|.(yi-2)2

18、 + (xi-x。)2 . (yi-2)2 + (xi-x。)2由x°xi+2yi=0得*0=-誓代入上式得d二222|yi+xi|222|yi+xi|2 2xi+yi>/x2(yi-2)2 + (x2+2yi)2 (xi+4)(xi+yi) xi+4又x2+2y2=4,x2=4-2y2,代入上式得d=72(6分+10分)QE直线方程，证明与圆相切，体现所以直线EQ与圆x，y2=2相切。此题背景：此题以椭圆为背景，难点在于设椭圆上任意一点，得设而不求的想法，有一定的运算推理要求。设椭圆8的中心为O,右焦点为F,长、短轴分别为AB和皿过B且与CF平行的直线交CD于P,过P作CD的

19、垂线.以线段CD为直径作园”设Q是右上一点，过Q且与我相切的直线交p于E,如图所示，求证QE_LOQ.Dx2y220.已知椭圆C:而+右=1左焦点F,左顶点A,椭圆上一点B满足BF"轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C、D,连结AD、BC交于点Q,若实数为满足：匕C=?1CQ,QD=TDa（1）求加方的值 3B(-2,-3),则直线 AB: y= -(x+4)（2）求证：点Q在一定直线上解：（1）因为F（-2,0）,由BFx轴，由对称性不妨设又左准线l:x=-8,所以P（-8,6）又百C=XCQ,所以He=方B+入iPQ同理由QD=证A,得Ed=1+为'节Q+apA又节b=|"Pa,