初中平面几何中的定值问题

1、平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几 道题：【问题1】一等腰直角三角形的两直角AB AC AB PE AC PF边AB=AC=1，P是斜边BC上的一动点，过P作PE丄AB于E, PF丄AC于F,贝UPE+PF=。方法1:特殊值法：把 P点放在特殊的B点或C点 或BC中点。此种方法只适合小题。方法2:等量转化法：这是绝大局部同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以 PE+PF=BE+AE。方法3:等面积法：连接 AP, Sabc Sabp Sap

2、c2抓住了边长ABAB PE PF总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中方法的不变性和PE,PF与BE,AE的不变关系；方法3抓住了面积的不变性，使得问题迎刃而解。 设计：大局部学生都能想到方法2,假设其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生答复赛比艳，艾科设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的时机。过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我假设把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：P板书【变式1】假设把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰 AB=AC=5，

3、底边BC=6，过P作PE丄AB于E，PF丄AC于F，贝UPE+PF还是定值吗？假设是，是多少？假设不是，为什么？方法1:三角形相似进行量的转化ABM - PBE - PCFAM PE PF pE AM PB pF AM PC AB PB PCAB 'ABcl " AM (PB PC) AM BC 4 624PE PFABAB 55M为BC中点解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF与AM之间的联系，化动为静方法2:等面积法:S ABCS abp S apc BC AM AB PE AC PFPE“ BC AM 6 4

4、24PF M为BC中点板书AB55解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段 有关的量的常用方法。PE,PF 之假设学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量 间有什么联系，能不能用一个等式来表示？ 学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来答复，然后再叫用方法2的同学。以到达过渡到下一题的目的。 问：我把题中的5改为a, 6改为b，PE+PF还是定值吗？你能求出这个定值吗？ 答：是定值，求解方法不变

5、。问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？K结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=- ha为腰长,b为底边a长,h为的边上的高等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问 题？答：不要被动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形 之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。 在解题过程中要注意点或线在运动的过程中，是否需要讨论。过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线

6、上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激， 下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：【变式2】P为边长为a的等边三角形 ABC内任意一动点，P到三边的距离分别为 hi,h2,h3,那么P到三边的距离之和是否为定值？为什么?由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法S ABC S abp S ACP S BCP BC AM AB PE ACPE PF PD AM 为定值 M为BC中点可以用几何画板度量长度，进行演示设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用过渡：研究完了 P在三角形内部运动的情况，我们不防降低对的约束，让这个好动的点P动到三角形外部去，情况又会有何变化?【变式3】P为边长为

7、a的等边三角形ABC外任意一点，P到三边的距离分别为hi,h2,h3,那么P到三边的距离之间有何关系？为什么?在几何画板中操作，发现当点P移出三角形时，hi + h2 + h3发生改变，那么 hi,h2,h3有没有什么一定的关系呢？等面积法还可以用吗？ PAB， PBC, PAC的面积有何关系？这三个三角形的面积和不 变的三角形ABC的面积有何关系？直需讲解一种情况，其它让学生自己去补充图1： SabcSacpPF PEPD2 : S ABCS ABPPE PDPF3： S ABCS BCPPD PEPFSabp SbcpAM为定值S BCP S ACPAM为定值S ABP S ACPAM为定

8、值BC AM板书BC AMACAB只把结论板书PEPEBC AM BC PD只把结论板书ABBCABPFBCPDPDACPFPEACPF1：S ABCS ABPS ACPS BCPBC AMABPEACPFBCPDPEPFPDAM为定值板书2：S ABCS ACPS BCPS ABPBC AMACPFBCPDABPEPFPDPEAM为定值只把结论板书3：S ABCS ABPS BCPS ACPBC AMABPEBCPDACPFPEPDPFAM为定值只把结论板书图图图设计意图：教师行为：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。在几何画板中作出个三角形， 填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积

9、关系。F面再看一道以圆为背景过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题, 的定值问题。【问题2】 ：弧AB为120度，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点 M不包括A、 B两点，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过 A，B作O M的切线，两条切线相交于 点C.求证：/ ACB有定值，并求出这个定值.只需证分析：问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？答：此题中的 不变量是弧AB ,因此/ AMB也是不变量； 不变关系是相切。问：直线和圆已经相切，我们会想到什么？答：连接圆心与切线方法1:问：要证/ ACB有定值，可以转化为求什么为 定值？答：要证/ ACB有定值，只需证/ CAB+

10、 / CBA是定值, / MAB+ / MBA 是定值，只要/ AMB 是定值即可。证明：在厶 ABC 中，/ MAB+ / MBA=180 -Z AMB ,/ M是厶ABC的内心,Z CAB+ Z CBA=2(180 -Z AMB).Z ACB=180Z CAB+ Z CBA=180 2(180 -Z AMB)= 2 Z AMB 180 = 60 Z ACB有定值60方法2:问：要证Z ACB有定值，可以转化为求什么为定值？答：要证Z ACB有定值，只需证Z EMF是定值，只需证Z EMD+ Z FMD是定值，只 要Z AMD+ Z BMD 即Z AMB 是定值即可。证明：在四边形 CEMF

11、中，Z C+Z EMF=180/ M是厶ABC的内心， Z DMA= Z EMA, Z FMB= Z DMB Z EMD+ Z FMD=2 Z AMB =240 Z EMF=120 Z C =180 -Z EMF=60总结：假设要证的不变量比拟困难，你可以先找找题中比拟容易看出的不变量，然后建立两者之间的联系。设计意图：多角度，多方位地研究动态几何中的定值问题，此题以圆为背景，研究角的定值问题。过渡：上题是道有关定值的证明题， 也就是已经明确方向肯定是定值了，假设不是证明题呢?【问题3】 ：0是如图同心圆的圆心，AB是大圆的直径？点P是小圆上的一动点，大小 圆半径分别为R与r?问:PA2+ P

12、B2是否有定值，假设有，求出定值；假设没有,说明理由 分析：这道题是探索定值的问题，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。 点P放在直径AB上.得 PA2 + PB2= R + 门 2+ . R 门 2= 2 R2 + r2 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得 PA2 + PB2= R2 + r2 + R2+ r2= 2 R2+ r2说明PA2+ PB2非常有可能是定值，而且这个值为2 R2 + r2证明：直角三角形计算法PA2 + PB2= HA 2+ PH2+PH2+ HB 2= 2PH2+ (OH+R) 2+(R-OH) 2=2PH2+ 2OH2+2R2=2(PH2+ OH2) +2R2=2r2+ 2R2解答动态几何定值探索问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成： 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示 再证明它能成立探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式， 然后写出证明第二种是采用综合法，直接写出证明结束语：数学因运动不