初二数学平行线分线段成比例定理

1、初二数学【教学进度】几何第二册第五章§ 5.2教学内容平行线分线段成比例定理重点难点剖析一、主要知识点1平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2 三角形一边平行线的性质定理即平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例。3.三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4三角形一边的平行线的性质定理2即课本例6：平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。二

2、、重点剖析1. 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最根本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的根本图形BEL2 -EBl2/''F | C FL3C一311/ 图1- (1)图 1- (2)AD L1D AL1A(D)AL1DA/L1BEl2RE)l2CyF一 L3C/F一 L3图1-(3)图1-(4)ABDEBCEFABDEACDFBCEFACDF,AB DE AB DE BC EFTil/ 12 /l3 二BC EF AC DF AC DF 对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对 应。 为了强调对

3、应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：可以说成“上比下等于上比下"可以说成“上比全等于上比全可以说成“下比全等于下比全'等2 三角形一边平行线的性质定理1即平行线分线段比例定理的推论根本图形A图 2-(1)图 2-(2)图 2-(3)/ DE / BCAD AEADDB ECABAE DB CE图2 1，图2 3称为“ AAC AB AC型，图2 2称为“ X"型推论中“或两边的延长线是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3 三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。(1)这个定理可以用来判定两条直线平行。(2)使用时，一定要

4、注意这个定理的前提：截三角形的两边或两边的延长线所得对应线段成比A D 11例。4 平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图 3,其中AB=BC ,DE=EF，那么 ABBCDEEF1，但Li、L2、L3不平行。5、三角形一边的平行线的性质定理2即课本例6，这个定理也叫做相似三角形预备定理 DE / BCAD DE AEAB BC AC这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定 理也成立。DEJFBC图4图4是最根本的“ A '型，课本例6中有“ A"

5、型时常 作平行线，把所要研究的线段中， 与其它线段关系不明显的线 段平移到关系明显的线段上去。典型例题例1、如图5,在厶ABC中，D是BC上的点，/FE是AC上的点，AD与BE交于点F,假设AE:EC=3:4 , BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。D©图5分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和线段的比发生联系，而图形本身并没 有平行线，故需添加辅助线一一平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过E作EG / BC交AD于G,那么在ADC 中，-GEDCAEAC又AE3AE3EG3 .EC4AC7DC7极EG=3XDC=7X X>0 :那么BD22一 21

6、4 DB= DC 7xxDC333314xBD 314EG 3x 9BF BD 14又/ EG/ BC,FE EG 9例 2、如图 6, DE / AB , EF/ BC, AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD。应用相似三角形的预备定理，得AFEFABBC再应用比例性质，即可求出 EF即BD。解： DE / AB , EF / BC四边形BDEF为平行四边形,AF EF BD=EF又 EF/ BC,AFABBDBCBDAFBF解之，得BD=BD DC10,cm3BD 2例3、如图7, A、 求证：AF/CD 分析要证明AF/CD ,C、E 和 B、F、D分别是/图6O的两边上

7、的点，且AB / ED、BC / FE。由题中图形可知，应证明OAOF ,而由AB/EDOCODBC/FE，容易得到此关系。证明： AB/ED OAOB/ BC/FE .OBOCOEODOFOE由得OA ODOB OE由得OC OFOBOE OA应推导出能使的比例线段,AF/CDOD OC OF图7分析 根据条件可知 BDEF为平行四边形，由EF/ BC ,那么 OA OF AF/CD OC OD点评：此题是采用的是“公比过渡'的方法来解决问题的，“公比'是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比，有时公比是采用乘积式的形式。例4如图8梯形ABCD中，AB/CD , M为AB的

8、中点，分别连结 AB、BD、MD、MC，且AC与MD交于E, DB与MC交于F，求证 EF/CD分析：要证EF/CD，可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察EF、CD截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。CDDECDCFDECF证明： AB/CD , 又 AM=BM EF/CDAMEMMBFMEMFM点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：1首先观察欲证平行线截哪个三角形2再观察它们截这个三角形的哪两边3最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当中有相等线段时，常利用它们和同一条线段或其它相等线段的比作为中间比 例5如图9, A,B ,C ,分

9、别在 ABC的三边BC、AC、AB上 或其延长线上，且 AA / BB / CC再利用平行线或相似三角求证：丄丄丄AA BB CC分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。证明：CCBCCCAC CC/AAAABA/ CC / BBBBAB.CCC CBC ACBCAC 1 111 AABBBA ABIAB AABBCC点评对于线段倒数和的证明,常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式,111形有关性质进行求解，如此题中，要证111,只需证AA BB CC为线段比的形式。例6如图10四边形ABCD中，/ BAD的平分线交 BD于E,BC ADEF

10、/CD交BC于F,求证： 1BF AB分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比， 再进行减法运算。CCAACCBB1 ,即将倒数和的形式化证明： AE平分/ BADAD DE AB BEDB CB BE BF一得BCADDBDE “BC AD ,1 1BFABBEBEBF AB例7如图11 ,ADABC的角平线，在厶 BCD 中/ EF/CDBF FC EN FCEM EC，AE CEBF丄AD的延长线于 F, AM丄AD于A交BC的延长线于 M , FC的延长线交 AM于E,求证：AE=EM分析 要证AE=EM，可利用比例缎来证明，而由BF丄AF ,可延长BF交AC延于N，构造等

11、腰三角形， 利用等腰三角形性质有 BF=FN，再由BN/AM , 得比例线段，即可得出结论。证明：延长 BF 交 AC 的延长线于 N/ AF 丄 BFBFA= / NFA=90 0 又 BAF= / NAF , AF=AF ABF ANF BF=NF/ BF 丄 AF AM 丄 AF / BF/AMBF FN-又 BF=FN EM=AEEM AE点评1有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题2利用比例证明线段相等主要有以下形式a b1a bbc a bcacacbda c bdb dbdac例8如图12把线段AB分成2:3两局部分析利用平行线分线段成比例定理作

12、图作法；1.以点A为端点，作射线 AMM3a E2a DAB-C图12DEB F C第1 题2. 在AM 上顺次截 AD=2a , DE=3a a为任意长3. 连结BE ,过点D作DC/BE交AB于C,那么点C即为所求A练习与测试1. 如图 ABC中，D、E、F分别在 AB、AC、BC上, 且 DE/BC , EF/AB , AD=9 , EF=6 , CF=5 ,那么BF=2. 直线DE分别交 ABC的边AB、AC于点D、E ,且 AD=4cm ,AE=6cm、AB=12cm , AC=如图AD2DE/BC -DB3那么ACDEECBC那么DE/BCAE/FB 第4题CDCfEFI*GH第6

13、题4.如图在ABCD中，E在AD 上, BF且4AE=5DE , CE交BD于F,那么 DF 对角线 的延长线于5. 如图，梯形 ABCD中，AD/BC ,AC、BD 相交于 0，CE/AB 交 BD 假设 0B=6，0D=3，那么 DE=6. 如图，DC/EF/GH/AB ，AB=30，CD=6，且 DE: EG: GA=1 : 2: 3, 那么EF=GH=7. 如图，在 ABCD中，01、02、03分别为对角线 BD上三点，且 B01=0102=0203=03D，连结 A0 连结E03,并延长交E,AF Dc q 05BEC第7题A8 图，h /I2 , AF1 ,AD于点F,那么2GB

14、, BC=4CD5那么k=并延长交IAD : FD= I 2B C D第8题BC 于 E,BC第9题AI x假设 AE=k EC,9.如图，CD是厶ABC的角平分线，AE 2 , AC=10，求 DE AC 5中，E为AC的中点，BC AG BD=AB，求证： AB GD点 E 在 AC 上, ADAB10.如图，CD是厶ABCD为BC上的点，且D C第10题ADEF1 M'/ / X E- FM NBC第 13题1D0EFMNBC第13题2BC第13题2ZjB第13题2M11. , C是线段AB上一点，分别以 AC、BC为边，在AB的同侧作两个等边三角形 ACD和BCE ,AE交CD

15、于F, BD交CG于G,求证FG/AB12. , BD ABC 的角平分线，DE/BC ,交AB于E,求证： 111AB BC DE13.,如图1，梯形ABCD中，AD/BC , E、F 分别在 AB、CD 上,且EF/BC , EF分另【J交BD、AC 于 M、N。 求证ME=NF 当EF向上平移 图2各个位置其他条件不变时,的结论是否成立，请证明你的判断。练习与测试参考解答或提示 155 21 ; 2. 18cm；3.兰，三;4. 9: 4;5. 9;'23 5AG10. 提示，过D作DH/AC交BG于H点，那么 GD可得结论。6. 10, 18;7. 9: 1;8. 2;9. 6AEBC EC,又 AE=EC , BD=AB，即DHBD DH