北京市西城区-学高二上学期期末考试数学理科试卷

1、北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末试卷高二数学理科试卷总分值：150分 考试时间：120分钟题号-一-二二三本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项 符合要求的.2X 21.双曲线 y21的一个焦点坐标为3A( 2,0) B(0, ,2) C(2,0)D(0,2)2.椭圆的短轴长是焦距的2倍，那么椭圆的离心率为1A1B21C1D' 522553.设，是两个不同的平面，1l是一条直线，以下命题正确的选项是A丨假设 /, 1 / ，那么1B假设 /, l，那么lC假设，|，那么|lD假设l/

2、，那么 l4.设mR ,命题“假设m 0，那么方程x2m有实根的逆否命题是A假设方程2 Xm有实根，那么m 0B假设方程2 Xm有实根，那么m 0C假设方程2 Xm没有实根，那么m0D假设方程2 Xm没有实根，那么m05.，表示两个不冋的平面，m为平面内的一条直线，那么“是“ m的A丨充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6.双曲线的焦点在 x轴上，焦距为2J5，平行，那么双曲线的标准方程为且双曲线的一条渐近线与直线 x 2y 102A y21422 yBx 二 142 23x2 3y2 dC一 12053x2 3y2 dD一 15207.A(3,0)，B(0,4)，动

3、点P(x, y)在线段AB上运动，那么xy的最大值为A5B4C3D28.用一个平面截正方体和正四面体，给出以下结论： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 假设正四面体的截面是梯形，那么一定是等腰梯形其中，所有正确结论的序号是A丨BCD8.用一个平面截正方体和正四面体，给出以下结论： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 假设正四面体的截面是梯形，那么一定是等腰梯形其中，所有正确结论的序号是A丨BCD14. 学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看4二、填

4、空题：本大题共6小题，每题5分，共30分把答案填在题中横线上9. 命题“ x R 使得x2 2x 5 0 的否认是? 10.点M (0, 1), N (2,3).如果直线MN垂直于直线ax 2y 30，那么a等于.11. 在正方体ABCD AjBCiU中，异面直线 AD,BU所成角的余弦值为.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如下列图，那么该三棱柱的侧视图的面积为213. 设O为坐标原点，抛物线 y 4x的焦点为F , P为抛物线上一点假设PF 3，那么 OPF的面积为.n厂做抛物线的一局部曲线围绕其对称轴旋转而成， 他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点 确定为原点，对称轴确定为 x轴

5、，建立如下列图的 平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原 点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程你需要测量的数据是 所有测量数据用小写英文字母表示，算出的抛物线标准 方程为.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 本小题总分值13分如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形,侧棱PA 底面ABCD , E是PA的中点.(I )求证：PC/平面BDE ;(n )证明：BD CE.PAC16. 本小题总分值13分如图，PA 平面 ABC , AB BC, ABPA 2BC 2, M为PB的中点.B(I )求证：A

6、M 平面PBC ;(n )求二面角 A PC B的余弦值17. 本小题总分值13分直线l过坐标原点0，圆C的方程为X2 y2 6y 4 0.(I)当直线l的斜率为 2时，求丨与圆C相交所得的弦长；(n )设直线l与圆C交于两点A, B，且A为OB的中点，求直线 丨的方程.18. 本小题总分值13分x yFi为椭圆1的左焦点，过Fi的直线丨与椭圆交于两点P,Q.43I假设直线l的倾斜角为45，求PQ ;n设直线l的斜率为k (k 0)，点P关于原点的对称点为 P ,点Q关于x轴的对称点 为Q , P Q所在直线的斜率为 k .假设k 2，求k的值19. 本小题总分值14分平面 ABCD , DC

7、 / AB , BC CD ,如图，四棱锥 E ABCD中，平面EADEA ED，且 AB 4, BC CD EA EDI求证：BD 平面ADE ；n求BE和平面CDE所成角的正弦值；川在线段 CE上是否存在一点 F，使得 平面BDF 平面CDE，请说明理由.20. 本小题总分值14分如图，过原点O引两条直线l1,l2与抛物线W1 : y2 数，p 0丨分别交于四个点 A,B,A2,B2.I求抛物线 W,W2准线间的距离；n证明：ABA2B2 ；川假设h I?，求梯形AA2B2B面积的最小值.北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末试卷高二数学理科参考答案及评分标准、选择题:本大题共8

8、小题，每题5分，共40分.1. c；2. D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A；7. C8.D.二、填空题:本大题共6小题，每题5分，共30分.9.对任意x R ,都有x2 2x10.11.3 ；313.14.碗底的直径m，碗口的直径n，碗的高度hn22mx.4h注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.15.本小题总分值13分解：I连结AC交BD于O ,连结OE ,因为四边形 ABCD是正方形，所以 O为AC中点.又因为E是PA的中点，所以PC/OE， 3分因为PC 平面BDE， OE 平面BDE，所以PC /平面BDE . 6分n 因

9、为四边形 ABCD是正方形，所以 BD AC .8分因为PA 底面ABCD，且BD 平面ABCD，所以PA BD . 10分又因为ACC1PA A，所以BD 平面PAC，又CE 平面PAC，所以BD CE .C12分13分16.本小题总分值13分解：I因为PA 平面ABC，BC 平面ABC，所以PABC.因为 BC AB，PAC1AB A，所以BC 平面PAB .所以AM BC.因为PA AB , M为PB的中点，所以AM PB . 4分所以AM 平面PBC . 5分(n )如图，在平面 ABC内，作Az/ BC , 那么AP, AB, AZ两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 A xyz .那

10、么 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0), C(0,2,1), M(1,1,0)AP (2,0,0)，AC (0,2,1)，AM (1,1,0).n设平面APC的法向量为n (x, y,z)，贝UnAP0,AC0,即X 0,2y z0. 令 y 1'那么z 2.所以n(0,1,2).10分由(I)可知AM (1,1,0)为平面BPC的法向量,那么cosn AM1n AM10 .因为二面角A PCB为锐角，所以二面角A PCB的余弦值为-17.本小题总分值13分解：(I )由,直线丨的方程为y所以，圆心到直线l的距离为|3|所以，所求弦长为2J2.设n, AM的夹角为

11、10，圆C圆心为(0,3),半径为 行,G.(n)设A(x1, y1),因为A为OB的中点，那么又A,B圆C上，所以 x2 y2 6y140,2 2 24%4%12%4 0 ,即 x-!解得 y1 1 , x11,12分13分B(2xi ,2y1) . 8 分2y1 3y1 10. 10 分11分12分即 A(1,1)或 A( 1,1).13分所以，直线l的方程为y x或y x18. 本小题总分值13分解：I设P(X1,y1),Q(X2,y2)，由，椭圆的左焦点为 (1,0),又直线I的倾斜角为45 ,由y 23x2所以直线1的方程为y x 1,所以X1x 1,4y212 得 7X28x 8X

12、2XyX2|PQ| 1 k2,.(x1 X2)24x1x22475由 y2k(X O3x4y212得(32 24k )x2 28k x 4k12所以X1X28k23 4k2,X1X24k2123 4k21分3分4分5分6分8分依题意P(X1, y1),Q(X2, y2)，且 y k(x 1),讨2k(X21),所以,k(N X2)X-! X2其中X1 X2结合X1 X210分11分12分解得7k29 , k74分19. 本小题总分值14分解：I由 BC CD, BC CD 2.可得 BD 2、2.由 EA ED ,且 EA ED 2 ,可得AD 2 2.又AB 4 .所以BD AD . 又平面

13、EAD 平面ABCD , 平面ADE 平面ABCD AD ,所以BD 平面ADEn如图建立空间直角坐标系D xyz ,那么 d(o,o,o), b(o,2、.2,o), c(e(2,o, .2),BE (x2, 2、2、2) , DE G 2,0. 2), DC ( <2, .2,0) . 6 分设n (x, y,z)是平面CDE的一个法向量，那么n DE 0, n DC 0 ,x z 0即令 x 1，那么n (1,1, 1). 7分x y 0.设直线BE与平面CDE所成的角为 ，| BE n| |、.2 2<22 |2那么 sin |cos BE,n | 8 分| BE| | n

14、 |2亞翻3所以BE和平面CDE所成的角的正弦值 93分设 CF CE ,0,1.又 DC ( v 2, 2,0) , CE (2巨，x 2,2) , BD (0, 2. 2,0).那么 DF DC CF DC CE 迈(21,1, ). 10 分设m (x',y',z')是平面BDF 一个法向量，那么m BD 0, m DF 0 ,y' 0,即11分(21)x'(1)y' z' 0.2 1令 x' 1,那么 m (1,0,). 12 分2 1 1假设平面BDF 平面CDE，那么m n 0 ,即10 ,0,1.133分所以，在线段

15、CE上存在一点F使得平面BDF 平面CDE . 14分20. 本小题总分值14分解：I由，抛物线 w,W2的准线分别为x 卫和x p , 2分2所以，抛物线W(,W2准线间的距离为.4分2n设h ： y k,x，代入抛物线方程，得 A, A的横坐标分别是 李和辔. 5分k1k1f4p24p24|0几|人K21同理|°B1|17分QA2I16p216p221 J丿丄、|OB2| 27 分 k14k12所以OAR OA2 B2,所以 a1b1/a2b2.川设 A(xi,yi) , Bi(X22)，直线 AiBi 方程为 aibi : x ty mi,22代入曲线y2px，得y 2pty 2 pm 0,所以 yi y 2 pt, y22pmi. 9 分由 li I2，得为X2y20，又yi 2pm ,y?2px?,2 2所以 yi 卑 yy0，由yiy?2pmi，得mi2p