必修2辅导—2—空间的位置关系(同步教师版ok)

1、空间的位置关系课标要求1. 理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；2初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；3. 理解可以作为推理依据的三条公理 .4. 了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，5. 掌握两条异面直线所成角的定义；掌握求异面直线所成角的求解方法。6. 了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系平面的根底公理知识要点1平面含义：平面是无限延展的 2三个公理:公理1公理2图形 语言/文字语言如果一条直线上的两点在一 个平面内，那么这条直线在此 平面内.过不在一条

2、直线上的三点，有且只 有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.符号 语言A l,B llA ,BA,B,C不共线A,B,C确定平面aP ,Pl,P l作用判断直线是否在平面内 解决直线的共面问题确定一个平面的依据判定两个平面是否相交的依据3.公理2的三个推论:推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.题例方法例1 判断以下命题的真假，真的打“/，假的打“X1 空间三点可以确定一个平面X 2 两条直线可以确定一个平面X 3 两条相交直线可以确定一个平面

3、V 4 一条直线和一个点可以确定一个平面X 5 三条平行直线可以确定三个平面X 6 两两相交的三条直线确定一个平面X 7 两个平面假设有不同的三个公共点，那么两个平面重合X 8 假设四点不共面，那么每三个点一定不共线V 例2.在空间四边形 ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果 EF、GH交于一点卩，那么A.P 一定在直线 BD上B.P 一定在直线 AC上 C. P不 在直线BD上D. P不在直线 AC或BD上答案：B例3.四边形ABCD中，AB / CD，四条边AB，BC，DC，AD 或其延长线分别与平面a相交于 E，F，G，H四点 求证：四点E，F，G，H共线.

4、证：Q AB / CD， AB，CD确定一个平面B，易知 AB，BC，DC，AD都在B内，c由平面的性质可知四点 E，F，G，H都在B上，因而，E，G，G，H必都在平面a与B的交线上，所以四点 E，F，G，H共线.例4.直线a/b/c ，直线d与a、b、c分别相交于 A、B、C，求证：a b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面a,使得a a,b a又因为直线d与a b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d a假设C a,那么cQa=C,在平面a内过点C作C b ,因为b/c，那么c/ c，此与cn c矛盾.故直线c a综上述，a b、c、d四线共面. 稳固练习1. 给出

5、的以下命题中，正确命题的个数是 梯形的四个顶点在同一平面内三条平行直线必共面每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面有三个公共点的两个平面必重合A. 1B.2C.3D.4解析:逐个对各选项分析：梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，对;两条平行直线是可以确定一个平面的，三条平行直线有可能确定三个平面，错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上，错;设这四条直线分别为11、12、13、|4,取其中两条相交直线|1和|2,那么它们可确定一个平面a，取|3,设其与|1、|2的交点分别为A、B,那么由题意知这两点不同，且A 11，Be |2,所以有A、B 从而|3a；同理可证明|4

6、 所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，对.答案:B2. 以下命题正确的有 假设 ABC在平面a外，它的三条边所在直线分别交a于 P、Q、R,贝U P、Q、R三点共线. 假设三条平行线 a b、c都与直线|相交，那么这四条直线共面. 三条直线两两相交，那么这三条直线共面.A . 0个B. 1个C. 2个D . 3个解析：易知与正确，不正确答案：C3. 一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是A . 1个B. 3个C. 1个或3个D . 1个或3个或4个解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A、B、C三点不共线时

7、，可确定 4个平面答案：D4. 求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内：直线 AB、BC、CA两两相交，交点分别为 A，B，C,求证：直线 AB，BC，CA共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过 A，B，C三点可以确定平面a.因为A a,Ba，所以AB a.同理BC a, AC a所以AB，BC，CA三直线共面.5. 空间四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点， EF和GH 交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.证明：t P EF, EF 面 ABC,. P 面 ABC，同理 P 面 ADC ,P在面ABC与面ADC的交线上，又面

8、 ABC n面 ADC=AC，二 P AC, 即卩 EF、HG、AC 三线共点.空间的位置关系知识要点A.空间直线与直线之间的位置关系1. 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。平行直线：同一平面内，没有公共点；2. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c是三条直线a/ b, c/ b a/ c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

9、4. 异面直线所成角： a与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与 o的选择无关，为了简便，点 o 般取在两直线中的一条上; 两条异面直线所成的角0, 90° 。 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。B. 空间直线与平面的位置关系1直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内一一有无数个公共点2直线与平面相交一一有且只有一个公共点3直线在平面平行一一没有公共点指岀：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a

10、a来表示C. 空间平面与平面之间的位置关系1.两平面的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线分别记作/ ;题例方法例1.a b、c是空间三条直线，all b, a与c相交，那么b与c的位置关系是A 相交E.共面C.异面或相交D.相交，平行，异面都可能答案：C例2.a b、c是空间三条直线，有以下四个命题.假设a丄b,b丄c;那么a丄c;2假设a、b异面，b、c异面，那么 a c异面；3假设a、b共面，b、c共面，那么a、c共面；4假设a、b平行，b、c平行，那么a c平行. 其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.4答案：A例3.在以下的四个命题中，其中正确的选项是 直线与平面没有公共

11、点，那么直线与平面平行 直线上有两点到平面的距离相等距离不为零，那么直线与平面平行 直线与平面内的任一条直线不相交，那么直线与平面平行 直线与平面内无数条直线不相交，那么直线与平面平行A.B.C.D.答案：B例4.S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA= SB= SC，且/ ASB=Z BSC=Z CSA=，M、N 分别是 AB 和 SC 的2中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结 QN _那么QN/ SMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC=日，在厶 BQN中.5121410BN = a NQ =丄 SM= a BQ =-14

12、a 由余弦定理得 COS/ QNB=22445例5.如图中，正方体 ABCD A1B1C1D1，E、F分别是 AD、AA1的中点.1求直线AB1和CC1所成的角的大小；2求直线AB1和EF所成的角的大小.解：1如图，连结 DC1， / DC1 / AB1，DC1和CC1所成的锐角/ CC1D就是AB1和CC1所成的角./ / CC1D=45 °， / AB1 和 CC1 所成的角是 45° .2如图，连结 DA1、A1C1，/ EF/ A1D，AB1/ DC1，./ A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角.VAA1DC1是等边三角形，/ A1DC仁60o，即直线AB

13、1和EF所成的角是60o稳固练习1. a b是异面直线 道线c/a,那么c与b( )A. 定是异面直线B. 定是相交直线C.不可能是相交直线D.不可能是平行直线答案：D2. 直线a与直线b垂直,a平行于平面a，那么b与a的位置关系是()A.b/aB.b aC.b与a相交D.以上都有可能解析：a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与a平行，所以b与a的位置可以平行、相交、或在a内，这三种位置关系 都有可能.答案:D3. a是平面a外一条直线，过a作平面B使B/a，这样的平面B ()A.至多有一个B.至少有一个C.不存在D.有且只有一个答案：A4.三棱锥S ABC中点E、F分别为棱SC、

14、AB的中点，假设EF= 3 , AC=SB=2，那么异面直线AC与SB所成的角为(A. 30°B. 45°C. 60答案：BD . 120°S ABCD侧棱长为 2，底面边长为,3，E是SA的中点，那么异面直线BE与SC所成角的大小为()A . 90°B. 60°C. 45°D . 30°5.如下图，正四棱锥答案：B目标测试、选择题1.以下各条件可以确定平面的是 A.梯形 答案：A2.设有三条直线B.六边形C.两两平行的三条直线D.两两相交的三条直线A.是异面直线答案：D3.异面直线是指a、b、c,假设 a丄c,b丄c贝U

15、a与 cB.是相交直线C.是平行直线D.相交，平行，异面都可能A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.不同在任何一个平面内的两条直线D.平面内的一条直线与平面外的一条直线D错,有可能平行或相交；C正确.答案：CD 平行或异面解析：A错,有可能平行；B错,有可能平行或相交；4. 假设直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是A 相交B.平行C异面答案：D5. 以下命题中正确命题的个数是1平行于同一直线的两条直线平行2垂直于同一直线的两条直线平行3过直线外一点，有且只有一条直线与直线平行4与直线平行且距离等于定长的直线只有两条(5)(6)A .答案：假设一个角的两边分别

16、与另一个角的两边平行，那么这两个角相等假设两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等4B. 3C. 2D. 1B6. 下面四个命题：假设直线a, b异面，b, c异面，那么a, c异面；假设直线a, b相交，b, c相交，那么a, c相交；假设a/ b,那么a, b与c所成的角相等；假设a丄b, b丄c,那么a/c.其中真命题的个数为A . 4B. 3C. 2D . 1答案：D7. l,m,n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与直线m垂直，那么直线n与平面a的关系是A. n aB. n a或naC. n aD. n答案：A8.直线 a/ b, b/a,那么a与

17、a的位置关系是)a或n不平行于aA.a/a B.a与a相交 C.a与a不相交 D.a a答案：C9.平面a上有不共线的三点到平面B的距离相等，那么a与B的关系是A.平行B.相交C.至少有一个公共点D.平行或相交答案：D10假设a, b, I是两两异面的直线，a与b所成的角是 ，I与a I与b所成的角都是，贝U 的取值范围是3D .忖2答案：D11. 正方体ABCD A1B1C1D1中，AB的中点为 M , DD1的中点为N，异面直线 B1M与CN所成的角是A . 30°B. 90°C. 45°D. 60°答案：B12. 正四棱柱 ABCD A1B1C1D

18、1中，AA 1=2AB,E为AA1中点，那么异面直线 BE与CD 1所形成角的余弦值为*1013/103A .B. _C.D105105答案：C二、填空题13. 以下命题中，正确命题的序号是 。 一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任意直线不相交 过平面外一点有且只有一条直线与平面平行 过直线外一点，有且只有一个平面与直线平行 a、b是异面直线，那么过b存在惟一一个平面与a平行答案：14. (09湖南文)平面六面体 ABCD A1B1C1D1中，既与 AB共面也与CC1共面的棱的条数是 。答案：515. 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上

19、的不与端点重合的动点，如果A1E= B1F，有下面四个结论：EF丄AA1；EF/ AC;EF与AC异面；EF /平面 ABCD.其中一定正确的有。答案：16. 在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，P、Q、R、S、M分别是棱 A1B1、B1C1、AB、BC、B1B的中点，那么异面直线(1) A1B和B1C所成的角大小是 ，(2) PM和RS所成的角大小是 ，(3) BD1和B1C所成的角的大小等于 。答案：(1)/ B1CD,600 / NPQ,60° 90°三、解答题17. 在空间四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点设EF与HG交于点M

20、。求证：M在直线AC上证明：t EE AB; F BCo EF 平面ABC，同理HG 平面ADC 又 EF n HG=M; /. M E 平面 ABC; M E 平面 ADC ;平面ABC n平面ADC=AC /. M在直线 AC上18. 如图正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为DC 和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、AC 与EF的交点.A1A(1) 求证：D、B、F、E四点共面；(2) 假设A1C与面DBFE交于点R,求证：P、Q、R三点共线.证明：(1)t 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，BB1/DD 1 且 BB1=DD 1 BD/B 1D1 且 BD=B

21、1D1.又/ B1D1C1 中，E、F 为中点， EF/ B 1D1; EF/BD ;即 D、B、F、E 四点共面.(2)t QE平面 AC1，Q E平面 BE ; PE平面 AC1，P E平面 BE ;平面 AC1Q 平面 BE =PQ. 又 ACm平面BE =R，二RE平面AC1，RE平面BE;. RE PQ.即P、Q、R三点共线19.空间边边形 ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：分别取 AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN / AB，PM/ CD，于是/ MPN就是异面直线 AB和CD成的角。连结 MN、DN，设

22、AB=2，/ PM=PN=1.而 AN=DN= 、3，由 MN 丄 AD，AM=1，得 MN=、2， / MN2=MP2+NP2，./ MPN=90 ° .异面直线 AB、CD 成 90° 角.20. A1B1C1ABC是直三棱柱，/ BCA=90 °，点D仆F1分别是A1B1、A1C1的中点 假设BC=CA=CC 1, 求 BD1与AF1所成角的余弦值 解:取 AB 中点为 D，取 B1C1 中点为 E1，连接 E1F1、BD1、A1D、DE1。令 BA=CA=CC 1=a因 E1F1/A 1B1 且 E1F1=A1B1/2 中位线；又 A1B1/AB 且 A1

23、B1=AB ;又 AD 在 AB 上且 AD=AB/2_那么E1F1/AD 且E1F1=AD，于是AD E 1F1为平行四边形实为矩形，所以AF1/DE 1且AF1=DE 1因 BD/D 1A1 且 BD= D 1A1，_那么 DB D 1A1 为平行四边形，所以 BD1/DA 1 且 BD1=DA 1由此可知/ AiDEi为BDi与AFi所成角在三角形 AiBiCi 中，/ BiAiCi=RT Z, BiAi=CiAi,那么 AiEi=( V2/2)a。在 RT 三角形 BBiDi 和 AAiFi 中，BDi=AFi=( V5/2)a在三角形 AiDEi中，DEi=AF i, DAi=BD

24、i，那么由余弦定理有 cos/ AiDEi=4/52i .如图i 28的正方体中，E是AiDi的中点(1) 图中哪些棱所在的直线与直线B Ai成异面直线？(2) 求直线B Ai和C Ci所成的角的大小；(3) 求直线AE和C Ci所成的角的正切值；(4) 求直线AE和B Ai所成的角的余弦值解：t Ai平面BCi，又点B和直线C Ci都在平面B Ci内，且B CCi,直线B Ai与C Ci是异面直线同理，正方体i2条棱中的CiDi、D Di、DC、AD、BiCi所在的直线都和直线Di(图 i-28)B Ai成异面直线(2) t CiC B Bi，/ B Ai和B Bi所成的锐角就是 B Ai和C Ci所成的角；/ ZMBBi=45 °/ B Ai 和 C Ci 所成的角是 45 °(3) / AiA/ B