成考专升本高数(二)第四章笔记

1、第四章多元函数微积分初步§ 4.1偏导数与全微分一.主要内容：多元函数的概念1. 二元函数的定义：z f(x,y) (x,y) D定义域：D(f )2. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 而一元函数是平面上的曲线. 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。(点(X。，y°)可除外)2 lim f (x, y) Ax xoy yo那么称z f (x, y)在(x0, y0)极限存在，且等于A2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x°,y。)的某个领域内有定义。2 lim f

2、(x, y)f(x°,y。)x xoy yo那么称z f (x, y)在(x0, y0)处连续。.偏导数:定义:f (x,y),在(x0,y0)点fx(xo, yo)limf(Xo x, yo) f(x°,y°)x ofy(x°, yo)liymof (x°,y°y) f(x°,y°)yfx(Xo, yo), fy(x。, yo)分别为函数 f (x, y)在(x。, y。) 处对x, y的偏导数。z f (x, y)在D内任意点(x, y)处的偏导数记为：fx(x, y)f(x,y)xZxfy(x,y)f(x,y

3、)yZy.全微分：1.定义：z=f(x,y)假设 z f (xx,yy)f(x,y)B y o()其中，A、B与y无关，o ()是比x2 y2较高阶的无穷小量。那么：dz df(x,y) A x B yf(x,y)在点(x,y)处的全微分。D.3. 全微分与偏导数的关系定理：假设 fx(x,y), fy(x,y)连续，x, y)贝U: zf (x, y)在点(x, y)处可微且dz fx(x, y)dx fy(x,y)dy.复全函数的偏导数：1 设：z f(u,v),u u(x,y),v v(x, y) z f u(x,y),v(x,y)那么：二xuxvxzzuzvyuyvy2设 y f (u

4、,v),u u(x),v v(x)y fu(x),v(x)dyy duy dvdxu dxv dx.隐含数的偏导数:i.设F (x,y,z)0,z f (x,y),且Fz 0那么二H二5xFz yFz2.设F(x, y) 0, y f (x),且Fy 0那么变比dxFy二阶偏导数：2zzfxx(x,y)z Dx x x2 fyy(x,y)肯一(') y y y2fxy(x, y) (二)x y y x2zzfyx(x,y)()y x x y结论：当fxy(x,y)和fyx(x,y)为x, y的连续函数时，那么:fxy(x, y) f yx(x, y)二元函数的无条件极值1. 二元函数极

5、值定义：设z(x, y)在(x0, y0)某一个邻域内有定义，假设z(x, y) z(Xo,yo),或z(x,y) z(x°,y°) 那么称z(x0,y0)是z(x ,y)的一个极大(或极小)值,称(x0,y0)是z(x , y)的一个极大(或极小)值点极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2极值的必要条件：假设z f (x,y)在点(Xo,yo)有极值，且在(Xo,yo)两个一阶偏导数存在，那么：fx(Xo,y°)0 fy(x°,y。)01 使 fx(xo，yo) fy(xo，yo) 0 的点(Xo，yo),称为z f (x, y)

6、的驻点。2定理的结论是极值存在 的必要条件,而非充分条件。例: zZxzy2x2yox解出驻点Xoyox2z(0,0) 1当 x 0, y 0时，z(0,y) y211当x 0, y 0时，z(x,0) x211驻点不一定是极值点。3.极值的充分条件：设：函数y f(x,y)在(x0, y0)的某个领域内有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，卄右:当:2f (x0, y0)为极大值 f (x0, y0)为极小值fxy(x°,y°)fxx(x°,y°) fyy(x°,y°)fxx(x°,y。)0时,fxx(x°,y°)0时，当: p 0,f (x0,