2018年湖南省郴州市菁华园学校高三数学文上学期期末试题含解析

1、2018年湖南省郴州市菁华园学校高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线上为双曲线F的焦点.若双曲线F存在点M满足（O为原点），则双曲线F的离心率为B.右D.出T2 .若复数总满足（1+1）支=1-力，则复数Z的虚部为（3A)3.-JC，一3D.上若在矩形 ABC讷部随机取一个点Q3 .如下图，矩形ABCDK点E为边CD上任意一点,则点Q取自 ABE内部的概率等于（C.D.：25兀4 .点A,B,C,D在同一个球面上，AB=BC或，AC=2若球的表面积为4,则四面体ABC曲积最大值为（）工

2、32A. 4 B, 2 C. 3 D. 2C【考点】LG球的体积和表面积.【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意知，ABC是一个直角三角形，其面积为1.其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q25兀球的表面积为14,球的半径为r,4,r=4,四面体ABCD勺体积的最大值，底面积S3bc不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+7r2-l2=2.11以三XV22四面体ABC曲积的最大值为3xS"Xh=?2=3,ABCD【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体

3、的体积的最大值，是解答的关键.2+£5 .在复平面内，复数2对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D略6 .如图所示，力（.（工二是定义在0,1上的四个函数，其中满足性质：对0,1中任意的xi和X2,任意於皿1力我十Q一幻引父犷国）十”汽引恒成立”的只C一C.A略j?J三十三二姐方67 .已知椭圆E.占与过原点的直线交于A、B两点，右焦点为F,乙if霄=120°,若AAffl的面积为“6则椭圆E的焦距的取值范围是(A.2,+8)B.4,+8)C.小瓦玲d“gB28 .设集合M=x|1vxV1,N=x|x&x,则MPN=()A.0,1)B.(

4、1,1C.T,1)D.(1,0A【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】求出N中不等式的解集确定出N,求出M与N的交集即可.【解答】解：由N中的不等式变形得：x(x-1)<0,解得：0<x<1,即N=0,1,M二(1,1),.MPN=0,1).故选：A.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.9 .已知周为双曲线14n的左焦点，直线工过原点且与双曲线c相交于KC两点.若干耳4再,则叫白的周长等于a. 2而+1。B 24+10 C. 22D. 24C【知识点】双曲线的简单性质H6,解：由题意，直线l过原点且与双曲线C相交于P,Q两点，PF/QF1=

5、0,：PF1,QFI:以PQ为直径的圆经过F1,：|PQ|=2c=10,设F2为双曲线C:14-11=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|,.|QF1|-|PF1|=2V14,.|QF1|2+|PF1|2=100,：2|QF1|PF1|=44,：(|QF1|+|PF1|)2=144,|QF1|+|PF1|=12,.PF1Q的周长等于22,故选：C.国【思路点拨】确定以PQ为直径的圆经过F1,可得|PQ|=2c=10,设F2为双曲线C:14-11=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|二|QF2|,利用双曲线的定义，结合勾股定理，即可得出结论.10.定义在犬上的

6、函数尔)满足小记)=用)，当时-x<2,函数皿力='*3工5.若对任意je-4-2存在f(=-4-2)不等式%)-就80成立，则实数用的取值范围是()A.(-叫T2b.(一mMc.(一叫闱>C【考点】抽象函数及其应用.【分析】对任意sQ4,2),存在tC4,2),不等式f(s)g(t)>0成立，等价于：(S)min>g(t)min.利用分段函数的性质可得f(S)min,利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g(t)min.【解答】解：对任意sC4,2),存在tQ4,2),不等式f(s)g(t)>0成立,等价于：f(s)min>g(t)min.1定义在

7、R上的函数f(x)满足f(x+2)=2|f(x),当xq0,2时，f(x)(K«<13l-|x-|l<x<2fl>-H|K-M-y|'-34xV-2令 xC4, 2),则(x+4) q0, 2, f (x+4)1-2N15153|4<K3时，f(x)=2x-2>2X(3)上二目.l-|rn|-134武2时，f(x)=2>2.可得f(x)min=8.函数g(x)=x3+3x2+m,xC4,2),g'(x)=3x2+6x=3x(x+2)>0,：函数g(x)在xC4,2)单调递增,.g(x)min=g(4)=64+48+m=m

8、16,由题意可得：8>m16,解得14.实数m的取值范围是(14故选：C.二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分ii.已知集合/二血吗&金),记和+叼0士C力中所有不同值的个数为斑.如当二1123用时，由1十2=3,1+3=4,1+4=2十3=5,2+4=6,3+4=7,得M(由=5.对于集合“二色瓦片，也,若实数瓦也也，也成等差数列，则”=.12.若正数公产满足2芮十尸一3=0,则狙的最小值为略13.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极值，则a的取值范围是a|avT或a>2【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】导数的综合应用.【分析】由已知得f

9、'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知=36a2-36(a+2)>0,由此能求出a的取值范围.【解答】解：Vf(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1,：f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知=36a2-36(a+2)>0,解得a<-1或a>2.故答案为：a|av-1或a>2.【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.14 .若函数/的图像与对数函数P=“3"的图像关于直线克+了二。对称，则“工)的解析15 .已知圆。的半径为3,从圆O外一点A引

10、切线AD和割线ABC圆心。到AC的距离为2,AB=3,则切线AD的长为.16 .已知数列an满足对时，.二“，其对V?TS*,有（3+=%+?,则数列人编的前50项的和为252517 .已知/,工一一工工+”工有两个极值点为、灯，且八划在区间（0,1）上有极大值，无极小值，则口的取值范围是参考答案：a>7/2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设Sn为数列an的前n项和，已知.aQ =J*押二=一（4L1 wN）（I）求证:是等差数列;（n）设&=2、求数列bn的前n项和Tn.（I）证：当，三2时，代人已知得，反但=SSz所以肉十匹

11、=（肉+匹）（区一匹）因为,。，所以匝73f,所以-瓦1'=4"HWN）,故卜瓦是等差数列;（n）解：由（I）知叵是以1为首项，1为公差的等差数列,所以:邛=1+6一）15从而&二,当心2时，ti.=4.用1kl=n+n1=2ji1又=1适合上式，所以啧二加一.汴,=N,=（2h-1）；z所以0n,二”2。134.“2工”（33）叱心益得，13”9+l-)(1)x2"1= -23+25+L +2")+(2w-1)x2,1-1 =T0-户)1-2斗（万1卜炉-119.已知椭圆22E；三十4 1 (a>b>0) a2 b?的左、右焦点分别为

12、 F1、F2,点M是椭圆上的任意一点，且|PFi|+|PF2|=4,椭圆的离心率e=（I）求椭圆E的标准方程;（n）过椭圆E的左焦点Fi作直线l交椭圆于p、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在 这样的直线，使 熊'而二3,若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由.考直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.占i、兵圆锥曲线的定义、性质与方程.题:析:(Ia2=b2+c2(II)先对直线l的斜率讨论，把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的J解：(I)由题意引得NF1|+|同|二43c1a22_,2,23,-D+C,解得ra=2,bl宏：.口关系及向量的数量积运算即可得出

13、.£故椭圆的方程为IpC-11)QC-Ip-)(II)若直线lx轴，则2_,2又A(2,0)，:母2一|2,此时不满足条件，直线l不存在.当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k(x+1),P(xi,yi),Q(x2,y2).y=k(升1)*22i,yiT=14k2 -12联立I43,消去y得到(3+4k2)x2+8k2x+4k212=0,-8k2叼+工2二21e3+4k2藤二(町一九vj,阳二5一2,万).APAQ-(勺-2)(12一2)+32=(xi2)(x22)+k(xi+1)?k(x2+1)=3.(l+k?)叼工/(户-2)盯rJ+k,R,(1+kD(4k*-_gk)

14、(k。-2)j01.3*|讣4k,一,14工k+解得5.:满足条件的直线1存在，其方程为占/ 、评:本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立及根与系数的关系、数量积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力.20 .（选彳41:几何证明选讲）如图，点£为锐角&EC的内切圆圆心，过点为作直线孙的垂线，垂足为开，圆刀与边RC相切于点区.若Z：C50，求£DEW的度数.【答案】4EF.2$=,试题分析：可尹惭A也反E四点头图，得MEF-m<F酒-ZDF,同图转化为求乙业F的度强而心尸-ASD-BAD-i(z,-上班(?)-l

15、;lS：；:-zie)-Wr-iK,从而Rg得明决.试题解析：由画D与边且C*肝肝息E>得乙把D=翼，因为EF一万，得乙dTO=Ml所以从凌尸上四点共圆，所以乙阳=上。历.5分又zA£>F-zzl即一工副。).21181一££?)90口一：/口*觎£把产上取尸90一尸1乙U,由乙白却3得D£F25"1。分考点：四点共困1,国的性晟的商单应用.|略21 .已知直线l:4x+ay-5=0与直线l':x-2y=0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(-1,-1).(1)求直线l与圆C的方程；(2

16、)已知N(2,0),过点M作两条直线分别与圆C交于P,Q两点，若直线MPMQ勺斜率满足kM+kM(=0,求证：直线PQ的斜率为1.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)根据两直线相互垂直，斜率的乘积为-1,可得直线l,设出圆心，根据对称关系，可得圆心的坐标，可得圆C的方程.(2)设过点M的直线MP的斜率为k,直线方程为y+1=k(x+1),则过点M的直线MQ勺斜率为-k,直线MPI圆C相交，联立方程组，求解P的坐标，同理，求解Q的坐标，可证直线PQ的斜率为1.【解答】解：(1)由题意：直线l:4x+ay-5=0与直线l':x-2y=0相互垂直，斜率的乘积为-1,故得4X1-2a=0

17、,解彳导:a=2,;直线l的方程为：4x+2y-5=0.设圆心为(a,b),圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过点M(-1,-1).噜.空.5=0可得：122,解得：a=0,b=0,从而可得C的半径为r=|CM|=V,故得圆C的方程的方程为：x2+y2=2.(2)由题意：设过点M的直线MPW斜率为k,直线方程为y+1=k(x+1),则过点M的直线MQ勺斜率为-k,直线MP与圆C相交，(工+1)22联立方程组：I篁+y=2,消去y可得：(1+k2)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,圆C过点M(-1,-1).富1(八5%0)j 3322.给定椭圆C - a b，称圆心在原点

18、6; ,半径为4s+9的圆是椭圆G的准圆”若椭圆C的一个焦点为'GM'°),其短轴上的一个端点到月的距离为布(I)求椭圆的方程和其准圆”方程;(n)点F是椭圆C的准圆”上的动点，过点尸作椭圆的切线次，4交准圆”于点城，况(i)当点F为准圆”与L轴正半轴的交点时，求直线小占的方程并证明§此；(ii)求证：线段砂的长为定值.参考答案：4二;1可上康解：(I)由已知，2,2,1,1包=±(-0h=土一.一.:一，111_7111522由于：:.4.：_二国可1357一，一，一，一88883分鼻二U)(II)；18,当司=1时，18、0T+电+%”二%一与当用之2时,1-3m-2+白布一4电;h一7储3卜*息十)1”是MJ的生成数列，-炉I鼠1一±2玄-1&工一Ai+A-l+A牙注-二23n-1±