2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用理

1、第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的综合应用理基础知识自主学习EI知识梳理i.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角（如图）.2 .方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45°等.3 .方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为“（如图）.【知识拓展】1 .三角形的面积公式：a+b+cS=7ppap-bpc（p=-2），S=ObC=rp（R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p=a+b+C）.4R22 .坡度（又称坡比）：坡面的垂直高度与水平长度之

2、比.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打或“X”）（1）从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为3,则a,3的关系为a+3=180°.（x）.、.一.TT（2）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0,-2.（X）（3）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.（V），一一兀（4）万位角大小的范围是0,2兀），万向角大小的范围一般是0,万）.（V）考点自测1.（教材改编）如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,/ACB=45。，/CAB=105。后，就可以计算出A,B两点的距离为（）A.

3、50 2 mC. 25 2 m答案 AB. 50 3 mD.* mAB解析由正弦定理得s-77cb=AC又B=30°,ACSin/ACB50”（AB=sinB=丁=50"22.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC则点A在点8的（）A.北偏东15°B.北偏西15C.北偏东10°D.北偏西10答案B解析如图所示，/ACB=90。，A又AC=BC./CBA=45,而3=30,.a=90°-45°-30°=15°,，点A在点B的北偏西15°.3.（教材改编）海面上

4、有A,B,C三个灯塔，AB=10nmile,从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75。视角，则BC等于（）A.103nmileC.52nmile答案D10. 6B. -3 n mileD. 5.J6 n mile解析如图，在ABCNAB=10,A=60°,B=75°,BC10-sin60°=sin45°'BC=5.16.4.如图所示，DC,B三点在地面的同一直线上，DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60。，30。，则A点离地面的高度AB=.答案"23a1解析由已知得/DAC=30°,ADC为等腰三角形，A

5、D=Sa,又在RtADB中，AB=2AD=鼻2a.5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东，流速是20km/h,若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,速度的大小为km/h.答案60°203解析如图，/AOB= 60° ,由余弦定理知 OC= 202+ 202800cos 120=1 200 ,故 OC= 2073, / COY=30° +30° =60°题型分类深度剖析题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从

6、气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75。，30。，此时气球的高AD是60 m,则河流的宽度 BC等于(A.240(世1)mB.180(72-1)mC.120(/1)mD.30(-73+1)m(2)(2016三明模拟)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是m.“»400答案(1)C(2)-3解析(1)如图，在 ACD,/CAD=90°-30°=60°,AD=60项所以CD=AD-tan60°=60，3(m).在AB计，/BAD=90°75=15所以BD=AD-ta

7、n15°=60(243)(m).所以BC=CD-BD=604360(243)=120(3-1)(m).(2)如图，设塔AB高为h,在RtACDEJ43,CD=200m,ZBCD=90°-60°=30°,200BC= cos 304003-3-(m)3在AB/,/ABU/BCD=30,ZACB=60°30°=30°,，/BAC=120.在abc43,由正弦定理得BC ABsin 120 ° = sin 30AB=BC- sin 30 sin 120 °400=石(m) -思维升华求距离、高度问题应注意(1)

8、理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.跟踪训练1(1)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60。，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15。，这时船与灯塔的距离为km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取AB两点，从AB两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则树的高度为

9、m.答案(1)30/(2)30+303解析(1)如图，由题意，/BAC=30°,/ACB=105B=45°,AC=60km,由正弦定理bc sin 30AC sin 45BC=302km.(2)在PAB中，/PAB=30,/APB=15,AB=60,sin 15=sin(45 ° 30° ) =sin 45 ° cos 30 ° cos 45 ° sin 301X-=2，6一,24，PB由正弦定理得sin-30-ABsin 15 °，12X60PB=；j6z2=30(南+的,4，树的高度为 PB-sin 45=30

10、(#+的x'30°、相距20海里的C处的乙cos 0的值为船，现乙船朝北偏东 0=(30+30#)(m).题型二求角度问题例2如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西解析在ABC43,AB=40,AC=20,ZBAC=120,由余弦定理得bC=aB+aC2ABAC-cos120=2800?BC=20/由正弦定理，得ABBCsin / ACB sin / BAC?sin/ACB=,sin/BAC=-p-.BC7由/BAC=120。，知/AC助锐角，则cos/ACB=手.,2114由0=/AC

11、BF30°,得cos0=cos(/ACB-30°)=cos/ACBos30°sinZACfsin30思维升华解决测量角度问题的注意事项:(1)首先应明确方位角或方向角的含义;这是最关键、最重要的一步;(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图,(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练2如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角0的大小.若AB=15m,AC=25m,Z

12、BCIM=30°,则tan0的最大值是(仰角0为直线AP与平面ABO成角).答案5939解析如图，过点P作POLBC于点Q连接AO则/PA仔0.设CO= x m,则OP=梳 m.在RtAABC,AB=15m,AC=25m,所以BC=20m.所以cos/BCA=4AO=2 c CL 4625 + x 2X25xX- 55所以=W40x+625(m).所以tan当”即x=。时，tan0取得最大值为=-p.x54395xcos x+2y3cos 2xy3题型三三角形与三角函数的综合问题例3(2016长春质检)已知函数f(x)=2sin求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;(2)已知 AB

13、C勺三个内角 A, B, C的对边分别为 A叱a, b, c,其中a=7,若锐角A满足f(2-6)=/3,且sinB+sinC=133,求bc的值.14解(1)f(x)=2sinxcosx+2审cos2x#=sin2x+cos2x=2sin(2X+1)wxwk兀 +7|, kCZ,因此f(x)的最小正周期为T=2y=兀.由2k兀+xx十三&2k兀+-(keZ)得k兀232即f(x)的单调递减区间为k兀+12' k7t十幕(k(EZ),A兀(2)由 f(2一言)=2加2(A 兀 兀2-与)+彳=2sin A= 33,又A为锐角，则A=千,3由正弦定理可得2R=sin AsinB+

14、 sinC=b+ c 13v3 RR= 14贝U b+c=134314V3= 13,由余弦定理可知，b2 c2 a cos A=2bc2 b+ c2-2bc-a2 12bc 2'可求得bc=40.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.跟踪训练a设f(x)=sinxcosx-cos2|x+-4.(2)在锐角 ABC4角A, B, C的对边分别为a, b, c.若 f：；= 0, a=1,求ABC® 积的(1)求f(x)的单调区间;1 + cos 12x+- 2最大值.sin2

15、x解(i)由题息知f(x)=-2sin2x1sin2x.1=-2-2=sin2x2.,兀兀,1兀兀由一2-+2k%<2x<+2kti,kCZ,可得一了十k兀wxw了+k兀，kCZ；由，-+2k%<2x<32L+2kTt,keZ,可得A+ku<x<341+ku,kCZ.所以f(x)的单调递增区间是I4+kTt,了+kTt(kCZ)；单调递减区间是|；+k兀，3+k兀l(kCZ).1441A11(2)由f!=sinA-2=0,得sinA=2,由题意知A为锐角，所以cosA=33由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2R2bc,即bc

16、w2+43,当且仅当b=c时等号成立.12+J3因此12bcsinA<一屋1.所以ABC面积的最大值为噌.思想与方法系列10.函数思想在解三角形中的应用典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30。且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航彳T速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得

17、小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则1分S=M900t2+400230t90”一30,=、900t2600t+400=tg2+300.3分故当t=1时，&=10/，v=邛3=30m.36分即小艇以30。3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇.贝Uv2t2=400+900t222030tcos(90°30°),8分故v2=90

18、0 一竿+竿.,0<v<30,.900600+辔w900,即，23"解得t>2.tttt3又t=1时，v=30,故v=30时，t取得最小值，且最小值等于2.3此时，在OA冲，有OA=OB=AB=20.11分故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时.12分课时作业1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么B,C两点间的距离是（）A.10小海里C.20小海里

19、答案AB. 10平海里D. 20娘海里解析如图所示，易知,在ABC4AC 2"sin 60 ° sin 45 ° ' . AC= 2/ x=乖. 一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。，另一灯塔在船的南偏西 75。，则这艘船的速度是每小时（）A. 5海里B. 5小海里C. 10海里D, 10<3海里答案 C解析 如图所示，依题意有/ BAC= 60° , / BA氏75° ,所以/ CAD= / CDA= 15 ,从而 CD= CA= 10,AB=20

20、,/CAB=30,/ACB=45根据正弦定理得BC ABsin 30 ° sin 45解得BC=102.2.在相距2km的AB两点处测量目标点C,若/CA975。，/CBX60。，则A,C两点之间的距离为（）B. 2 kmD. 2 kmA.6kmC.3km答案A解析如图，在ABC43,由已知可得/ACB=45°,在RtAABC,得AB=5,5于是这艘船的速度是5y=10（海里/%.4.如图，两座相距60m的建筑物ABCD的高度分别为20日50m,BD为水平面，则从建筑B. 45°D. 75°物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（）A.30°C.6

21、0°答案B解析依题意可得AD=20710,AC=30，5,又CD=50,所以在ACDKaCaDcD由余弦定理得cosZCAD=An2AC.AD釉52+/G10250260002X30 75X20 班6 000 2-又0</CAK180,所以/CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD勺张角为45。.5 .如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得/ BCD= 15 , / BDC= 30 , CD= 30,并在点C测得塔顶A的仰角为60。，则塔高 AB等于（）A. 5 6C. 5 2答案 D1B.D.5 .35 .6解析 在 BCDK / C

22、BD= 180。15°-30° =135°由正弦定理得BCsin 3030 sin 135所以BC=152.在RtAABC,AB=BGan/AC&15淄x淄=15m.故选D.6 .一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东300前进100m到达点B在B点测得水柱顶端的仰角为30。，则水柱的高度是（）A.50mB.100mC.120mD.150m答案A解析设水柱高度是hm,水柱底端为C,在RtABCE,/CBD=30°,BO>/3h.在A

23、BC中，ZA=60°,AC=h,AB=100,根据余弦定理得，(3h)2=h2+10022 - h 100 cos 60,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.7 .江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45。和60。，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.答案 10 .3解析如图，OIM= AOan 45=30 (m),ON= AOan 30号X30= 1073 (m), 3在MONK由余弦定理得,MN=900+3002X30X1073x23=V300

24、=10V3(m)8 .如图，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30。处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75。处，且与它相距修nmile.此船的航速是nmile/h.北I i答案32解析设航速为vnmile/h4q1在MBS中,AB=v,BS=8中,/BSA=45由正弦定理得8/ sin 3012vsin 459.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120。的扇形AOBC是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿ODt到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径

25、为米.答案5017解析如图，连接OC在OC珅，OD=100,CD=150,/CD660°由余弦定理得OC=1002+15022X100X150Xcos60°=17500,解得OC=5077.*10.在RtAABO,C=90°,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a+b=cx,则实数x的取值范围是.答案(1,*解析*=小=sinMsnB=sinA+cosAcsinC=山sin?+4.又AeJ0,-2-sin4-<sinsin2，即xC(1,22.11 .要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45。，在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的/BC9120°,CD-40m,求电视塔的高度.解如图，设电视塔AB高为xm,则在RtABC中，由/ACB=45°,得BOx.在RtAADE,/ADB=30,贝UBA3x.在BDCK由余弦定理得，bD=bC+cD2BCCD-cos120,即（小x）2=x2+4022x40cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40m.12 .（2015天津）在ABC4内角A,B,C所对的边分别为