柯布道格拉斯（cobbdouglas）生产函数模型

1、柯布-道格拉斯Cobb-Douglas生产函数模型齐微 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新123000 E-mail: qiwei1119163 摘要：柯布-道格拉斯生产函数Cobb-Douglas production function用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析开展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本 文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问 题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数 据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们 知道柯布-道格拉

2、斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多. 关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归柯布- 道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb) 和经济学家道格拉斯 (P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作 了改良，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从 18991922 年美国的 资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本 的关系可以表示为：其中： Y 产量；A 技术水平；Y = AK LK 投入的资本量；L 投入的劳动量； , K 和 L 的产出弹性.

3、经济学中著名的柯布-道格拉斯Cobb-Douglas生产函数的一般形式为Q(K , L) = aK L , 0 < , < 11-1其中 Q, K , L 分别表示产值、资金、劳动力，式中 , , a 要由经济统计数据确定.现有?中国统计年鉴2003?给出的统计数据如表其中总产值取自“国内生产总值，资金 取自“固定资产投资，劳动力取自“就业人员3.问题 1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与 检验.问题 2：建立 Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数 , 的解释.问题 3：将几个模型做出比拟与分析.表 0-1 经济统计数据年份总产值

4、/万亿元资金/万亿元劳动力/亿人19840.71710.09104.817919850.89640.25434.987319861.02020.31215.128219871.19620.37925.278319881.49280.47545.433419891.69090.44105.532919901.85480.45176.474919912.16180.55956.549119922.66380.80806.615219933.46341.30726.680819944.67591.70426.745519955.84782.00196.806519966.78852.29146.89

5、5019977.44632.49416.982019987.83452.84067.063719998.20682.98547.139420009.94683.29187.208520019.73153.73147.3025200210.47914.35007.37401.问题一求解1.1 模型建立假设：有 Q(t ), K (t ), L(t ) 分别表示产值，资金和劳动力，并假设 Q(t )仅与 K (t ), L(t ) 有 关1.由表 0-1 中的数据拟合出 Q(t ), K (t ), L(t ) 的关系：用 Matlab 画出表 1-1 中数据的关系图， 应用 Matlab 中的

6、plot 画出图形如图 1-1.图 1-1 产值、资金和劳动力数据关系图由图 1-1 可知：选定 Q(t ) 看作是 K (t ) + L(t ) 的一元多项式的优化模型.从而建立模型Q(t ) = G(K (t ) + L(t ) .1.2 模型的求解通过 Matlab 计算出 Q(t )和 K (t ) + L(t )数据之间拟合误差如表 1-1.表 1-1 数据拟合次数误差拟合次数123456误差3.03132.42941.51411.23661.08981.0887由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经到达很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型 Q(t ) = G

7、(K (t ) + L(t ) .本文选用的是 Matlab 中的 plotfit 来五次拟合数据求解模型并用 rcoplot 来误差分析.得到的拟合多项式系数 p 如表 1-2.表 1-2 多项式系数多项式次数543210相应系数0.0062-0.27114.6074-37.6090148.3464-226.4984这样就知道了模型多项式为:Q = 0.0062 × ( K (t ) + L (t )5 0.2711× ( K (t ) + L (t )4 + 4.6074 × ( K (t ) + L (t )3 37.6090 × ( K (t )

8、 + L (t )2 + 148.3464 × ( K (t ) + L (t ) 226.4984多项式模型下，新的产值预测值如表 1-3.表 1-3 多项式模型的产值预测值(1-1)年份1984198519861987198819891990199119921993预测值0.59621.03621.18601.29291.38001.40081.96362.16862.61293.6773年份199419951996199719981999200020012002预测值4.74285.63586.58507.28598.23048.65859.27909.920810.4620程

9、序运行所得到的残差图如图 1-2.图 1-2 模型数据的残差图由图 1-2 可以看到除了第十七个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近.继而得出 模型：Q = 0.0062 × ( K (t ) + L (t )5 0.2711× ( K (t ) + L (t )4 + 4.6074 ×( K (t ) + L (t )3 37.6090 × ( K (t ) + L (t )2 + 148.3464 ×( K (t ) + L (t ) 226.49841.3 模型的误差分析(1-2)本文在假设的前提下，确定 K (t ), L(t )与Q

10、(t ) 的关系，即 Q(t ) 可看作是 K (t ) + L(t ) 的 一元多项式，从而本文做分析得到，做五次的多项式拟合到达最正确拟合.能从 S 的值知道拟 合误差， S 中有 R 类似于回归中的判别系数、df自由度、normr拟合算法中用到的范德孟系 数.本文通过预测值Y 值可以看到和原始值 y 存在着误差，但是这些误差都是在可接受范围 之内的误差2.2 问题二的线性回归模型2.1 模型的建立本文假设的是在 + = 1 的情况下，用 Q(t ) ， K (t ) ， L(t) 分别表示某一地区或部门 在时刻 t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作Q(t) = F (K (

11、t ), L(t )其中 F 为待定函数.对于固定的时刻 t ，上述关系可写作Q = F (K , L)为寻找 F 的函数形式，引入记号(2-1)(2-2)z = QL ， y = K L(2-3)z 是每个劳动力的产值， y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的： z 随着 y 的增 加而增长，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为z = ag ( y) ， g ( y) = y ， 0 < < 1(2-4)显然函数 g ( y) 满足上面的假设，常数 a > 0 可看成技术的作用.由(2-3)，(2-4)即可得到(2-2)式中 F 的具体形式为Q = aK L1 ，

12、 0 < < 1由(2-5)式容易知道 Q 有如下性质(2-5)2Q , Q > 0 ， 2Q , Q < 0(2-6)K LQK 2L2Q记 QK=， QK 表示单位资金创造的产值； QL =， QL 表示单位劳动力创造的LL产值，那么从(2-5)式可得KQKQ= ， LQLQ= 1 ， KQK+ LQL = Q(2-7)(2-7)式可解释为： 是资金在产值中占有的份额，1 是劳动力在产值中占有的份额.于是 的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.2.2 模型的求解本文求解得出 Q = aK L1 中的 b(1) 和 值为：0.7784 和 0.783

13、3，这样能求得 a 的值 为：2.1780， 的值为：1-0.7833，即为：0.2167.这样得到模型如下：Q(t ) = 2.1780 × K (t )0.7833 L(t )0.2167利用以上模型求解出一组新的预测值如表 2-1.表 2-1 多项式模型的产值预测值(2-8)年份1984198519861987198819891990199119921993预测0.59621.03621.18601.29291.38001.40081.96362.16862.61293.6773值年份199419951996199719981999200020012002预测4.74285.6

14、3586.58507.28598.23048.65859.27909.920810.4620值程序运行所得的残差图如图 2-1 所示：图 2-1 模型数据残差图由图 2-1 可以看到除了第一个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近，这样可以得 到线性回归模型是符合题目的.继而模型可得：Q (t ) = 2.1780 × K (t )0.7833 L (t )0.2167程序计算得到的 r 和 rint 值见表 2-2.表 2-2 r 和 rint 值rrint0.42590.27050.5814-0.1634-0.46020.1334-0.2005-0.49500.0940-0.20

15、01-0.49790.0976-0.1620-0.46910.14510.0175-0.29990.33490.0572-0.25680.37120.0402-0.27750.3580-0.0410-0.36200.2799-0.1575-0.46870.1537-0.0672-0.38570.25130.0284-0.29010.34690.0690-0.24620.38410.0923-0.22000.40470.0387-0.27470.35210.0439-0.26860.35640.1576-0.14270.45780.0347-0.27370.3431-0.0136-0.31880

16、.2917(2-9)2.3 模型 和 的解释通过对柯布-道格拉斯生产函数传递变形后，进行求解得出 , 的值，同样也进行预测 数据和原始数据比拟.从图上可以知道模型中参数 , 的解释： 是劳动力产出的弹性系 数， 是资本产出的弹性系数，从这个模型看出，决定工业系统开展水平的主要因素是投 入的劳动力数、固定资产和综合技术水平包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术 等.根据 和 的组合情况，它有三种类型： + > 1 称为递增报酬型，说明按现有 技术用扩大生产规模来增加产出是有利的. + < 1 称为递减报酬型，说明按现有技术用 扩大生产规模来增加产出是得不偿失的. + = 1 称为

17、不变报酬型，说明生产效率并不会 随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益.3 问题三:模型比拟分析模型一是通过假设后进行拟合得到模型关系式，模型二是通过变形后线性回归运算得到 模型.他们与实际之间都存在误差.五次多项式拟合模型的数据误差数是：1.0898.线性回归模型数据误差：r =0.4259 -0.1634 -0.2005 -0.2001 -0.1620 0.0175 0.0572 0.0402 -0.0410 -0.1575-0.06720.0284 0.0690 0.0923 0.0387 0.0439 0.1576 0.0347 -0.0136;m=sum(r)得

18、到这个模型的误差数：m=1.0000e-004.可以看出 1.0000e-004<1.0898,很明显柯布-道格拉斯Cobb-Douglas生产函数比假设的 多项式拟合函数更接近实际数据，更加准确. 在生产产值上的预测，柯布- 道格拉斯Cobb-Douglas生产函数预测的结果近似就是准确生产值4.4 评价和结论4.1 模型缺点一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.只有明确一定历史阶段的社 会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力开展水平的生产函数.在工业时代，生产力水 平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品的数量来衡量的.也就是说工业时代 的生产力是以产量、能耗

19、、劳动生产率等针对物质、能量的生产和利用等概念构成的.而对 工业时代生产力水平的衡量是以投入产出的数量为依据的，表现在：1工业时代的生产是在一个较为稳定的生产技术条件下形成的，是针对某一生产和 设计都很成熟的产品进行物质性生产.2工业时代衡量生产技术水平的标志是在一定的时间范围内，单位量的资本和劳动 力的投人所能获得的产成品的数量.3工业时代的生产力水平表达为以某一生产技术组织资本和劳动力的投入，从而获 得最接近于该生产技术所能到达的产出极限.柯布道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特 征的函数模型.当人类进入到信息经济时代，由于信息资源的参加、技术的不断进步，导

20、致生产力开展 的特征和性能发生了变化，信息时代的经济开展特征是以性能、质量、产品的差异性组合，客户效劳和信息管理等为主要竞争手段的.这样也就决定了信息时代这种以非物质，非能量的信息经济的生产力的概念与工业时代截然不同.如果仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时代中信息技术对生产力的作用的 话，肯定无法对其做出准确的判断.同样，原有的柯布道格拉斯生产函数已经不能再适 应新的经济开展形态，在工业时代用以衡量生产力水平的产量，资本投入量和劳动力投入量 已经不能完全适应信息时代的生产力开展水平了；在信息经济时代，所投入的生产要素的核 心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息

21、资源应用于生产中 时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促 进了经济开展.综合上述原因，需要对柯布道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之 适用于信息时代的生产力开展水平.4.2 模型改良4.2.1 对投入量的计量 对投入的计量应包含： 信息技术设备的资本投入，如电脑、数控设备、信息化管理设备、网络设备和其他软件等等； 信息技术的劳动力投入，如电脑软件编制人员、硬件安装维护人员、信息化管理人员等等；非信息技术设备的资本投入，如传统的工业技术装备、生产设备、厂房等其他在工业时 代类似的资本投入；非信息技术的劳动力投入，比方生产线上的操作工、一般管理人员等，这

22、里需要指出的 是“非信息技术的劳动力既包括一般意义上的蓝领工人，也包括其他一些白领管理人员.4.2.2 对产出量的计量 对产出量的计量那么不应仅包含单位生产成品数量，而是应该考虑到生产者的盈利水平是否提高.因为从工业时代过渡到信息时代，企业的竞争手段已经从“低本钱生产转向了“全方位的优质效劳.这其实也是竞争开展到一定阶段的必然结果.所以，考察信息技术对生产力 具有怎样的影响务必要从一个新的视角出发，不能仅仅衡量其对产成品数量的影响，更应从 信息技术是否对提高整体赢利水平，扩大市场份额和增强竞争实力等方面进行综合考察.4.2.3 改良后的模型 改良后的柯布道格拉斯生产函数的表现形式为：0 0 1

23、 1Y = K a Lb K c Ld式中： Y 产量；K0 非信息技术设备的资本投入；L0 非信息技术的劳动力投入； K1 信息技术设备的资本投入； L1 信息技术的劳动力投入；a, b, c, d 产出弹性.a bc d此模型较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入 K1 和信息技术的劳动力投入 L1 ， 使得模型成为更贴近时代的生产模型，改良后的柯布道格拉斯生产函数Y = K0 L0 K1 L1 是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广、更具时代感.参考文献 1唐焕文,贺明峰.?数学模型引论

24、?M,北京:教育出版社,2005. 2雷功炎.?数学模型讲义?M,北京:京大学出版社,2002. 3白其峰.?数学建模案例分析?M,京:洋出版社,2000. 4李庆杨,王能超,易大意.?数值分析?M,京:华大学出版社,2005.Cobb-Douglas production function modelQiweiCollege of Science,Liaoning Technology University,Fuxin (123000)AbstractCobb-Douglas production function used to predict national and regional systems or large industrial