56二项式定理十大典型例题配套练习

1、选修2-3:二项式定理常见题型1. 二项式定理：2. nMnlnlirnrrnn(ab)CnaCnab川Cnab也Cnb(nN),基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,n). 项数：共n+1项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r1项C；anrbr叫做二项式展开式的通项。用TiC；anrb表示。3. 性质: 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C：Cnnk.二项式系数和：令ab1,可得二项式系数的和为C0C：C'IIIC；IIICn2n,r1IIII变形式C1C：CnH

2、ICn2n1。 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1,则C：C：C：C3HI(1)nC：(11)n0,0c2C4C2rC1c32r11cnn1 从侍全.CnCnCnCnCnCnCn?22n二项式系数的最大项：如果二项式的藉指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C：取得最大值。n1n1如果二项式的藉指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C,C7同时取得最大值。系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别、，.Ar1Ar为A，A2,An1,设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。Ar1Ar2题型一：二项式定理的逆用；一

3、1c2ac32nn1例：CnCn6Cn6Cn6nc0厂1公c2233nn缶牛.(16)CnCn6Cn6Cn6Cn6八1八232nn11122nnCnCn6Cn6Cn6(Cn6Cn6Cn6)T(C0Cn6C262IIIC；6n1)£(16)n1(7n1)666123练：Cn3Cn9Cnn左41解：3题型二：利用通项公式求xn的系数;例:在二项式（J!Vx）n的展开式中倒数第3项的系数为-3一-45,求含有x的项的系数?解:由条件知C；245,即C：45,n900,解得n9（舍去）或n10,由练:解:1210rTCr(x4)10r(x3)rCrx4Tr1C10(x)(x)C10x则含有x

4、3的项是第7项T61求（x2）9展开式中x92xr29r1rTr1C9(X)()2x1.故x9的系数为C；(-)3Cwx3的系数?2_r3,由题意1043,解得r6,3一一210x，系数为210。r182r,1、rrCgx(2)xr1rC9(2)18x3r令183r9,则r321o2题型三：利用通项公式求常数项;例:求二项式（x2-）10的展开式中的常数项?2.x解:_r210rTr1C10(x)5rr1r20TC1°(；)x20,得818r8,所以T9C10C2)45256练:解:1.6求一项式(2x)的展开式中的常数项？2x11.r6rrrrr6rrTr1C6(2x)(1)()(

5、1)C62()2x2x62r,令62r0，得r3，所以T4（1)3C320练:若（x21）n的二项展开式中第5项为常数项，则nx解:42n414n丁5Cn(x)()xC：x2n12,令2n120,得n6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（&可a9展开式中的有理项?1127rTCr(x2)9r(x3)r(1)rCrx6人27r7/0r川牛.Ir1C9(x)(x)(I)C9x,VZ,(0r6所以当r3时，27r4,T4(1)3C3x484x4,6当r9时，27r3,T10(1)3C；x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若（.x展开式中

6、偶数项系数和为展开式中各项系数依次设为a°,ai,an,练:解:令x1,则有a。ai将-得：2（a1有题意得，2n1）n的展开式中,若（3xa3a52560八2八4八2rICnCnCnCnan0,，令x1,则有a。aa?a3)2n,a1a3a52n1所有的奇数项的系数和为cnC3所以中间两个项分别为n6,n题型六：最大系数，最大项;1C例：已知（12x）n,若展开式中第2最大项的系数是多少？nn(1)an2，1024,求它的中间项。n1_n2,211024，解得n11况(,，)6(5)5462x614,T61462x*5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数解

7、：|C：C：2C；,n221n980,解出n7或n1 35是T4和T5T4的系数C；（一）423,T5的系数2 2系数最大的项是T8,T8的系数C（一）7273432214,当n7时，展开式中二项式系数最大的项1C；（-）32470,当n14时，展开式中二项式2练：在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?解：二项式的藉指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn1,也就是第A1项。12练：在（；§）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解:只有第5项的二项式最大，则n15，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于CC1）2722256,

8、求n.练：写出在(ab)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的藉指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C73a4b3的系数最小，T5C；a3b4系数最大。1C练：若展开式刖二项的二项式系数和等于79,求(-2x)n的展开式中系数最大的项？2n1211211212解：由C：cnC279,解出n12,假设T1项最大，(一2x)()(14x)22A.1A.C1r24rEW'111，化简得到9.4r10.4,又0r12,r10,展开式中Ar1Ar2C；240；4'系数最大的项为Tn,有T11(l)12C112)410x

9、1016896x10210练：在(12x)的展开式中系数最大的项是多少？r_rr解：假设Tr1项最大，Tr1C102xAr1rrr1rArC102C1021解得2(11r)r，,)，化简得到6.3k7.3，又”0r10,Ar1Acr<)rcr1<)rr2C102C1021,r12(10r)r7,展开式中系数最大的项为T8C1027x715360x7.题型七：含有三项变两项；25.一例：求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数？2525_r25r解法：(x3x2)(x2)3x,Tr1Cs(x2)(3x)，当且仅当r1时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5(x22

10、)43x，所以x得一次项为C；C：243x它的系数为C；C：243240。2Cc5/.5/5/05I45、/05I455、用牛彳左g)：(x3x2)(x1)(x2)(C5xCsxC5)(C5xCsx2C52)45544故展开式中含x的项为C5xC52C5x2240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(|x|12)3的常数项？x解：(|x|2)3(jx寸亍6，设第r1项为常数项，则Tr1C；(1)仙6(±)(1)%；|同62得62r0,r3,T31(1)3C；20.题型八：两个二项式相乘;例：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.解：；(12x)3的展开式的通项是CT(2x

11、)m02mxm,(1x)4的展开式的通项是c4(x)no41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n的展开式中x2的系数等于C?20C：(1_练：求(1衣)6(1土)10展开式中的常数项x1mn解(1扳)6(1M展开式的通项为cmx3010x4寸X其中m0,1,2,6,n0,1,2,10,当且仅当时得展开式中的常数项为c?C10C631,m2且n0,因此(12x)3(1x)41)2C121C1(1)1C222C0(1)06I)C32C4(I)C32C4(I)6-.4m3ncmcn0x2-m0m3m6,4m3n,即或或n0,n4,n8,C140C6C*

12、4246.,4C1。*练：已知(1xx2)(x)n的展开式中没有常数项，nN且2n8,则nx解：(xM)n展开式的通项为cnxnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得xrn4rrn4r1rn4r2Cnx,Cnx,Cnx.展开式中不含常数项，2n8n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和一T例：在(x构2006的二项展开式中，含x的奇次藉的项之和为S,当x72时,S.解：设(xx/2)2006=a0a1x123a?xa3xIII2006a2006x20061(x2)=a0qx23a2xa3xIII2006a2006x得2

13、(axa3x3a5x5川a2°05x2005)(xV2)2006(xV2)2006(x龙)2006展开式的奇次备项之和为S(x)；(xV2)2006(x月)200632006当xW时,S(巫)1(由而)2006(友龙)200622300822题型十：赋值一例：设二项式(3板1)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若xps272，则n等于多少?解:若(3扳x2a0a1xa2xanxn，有Pa°aan,SC0C；2n,4n,又ps272，即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去)，n4.练:若3jx-1=n的展开式中各项系数之和为

14、64,则展开式的常数项为多少?解:n1n的展开式中各项系数之和为2nx64,所以6,则展开式的常数项为练:解:练:解:C3(3'x)3(；)32009有(12x)a°在令x0可得a。若(x2)55a5x0得a。540.12axa2xa1a222*21,因而4a4x32,令x1得a。a2a3a4a531.3a3xIII2009za2009x(xR),则a12a222a20090,aa2c2a2009a°22009a222a?x2a2009220091axa°21.,则aa222009a3a4a5aiai3a3xa2a3a4a5的值为21,题型十一：整除性;例

15、：证明：32n28n9(nn18nN)能被64整除证:32n28n999(81)n18n9c°cn18n1c1cn18ncn；1182cnn181弟8n9c0cn18n1c1cn18ncn111828(n1)0Qn11Qn11R21819cn18c；18c；18由于各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除01222、c03c；32c23ncn2、4no1，项.3、(号5)的展开式中的有理项是展开式的第53、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和

16、为355、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数.210395、(1xx)(1x)(1x)(1x),要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项c4(x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C；(x)作积，故x4的系数是C9C9135,6、求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展开式中x3的系数.26、(1x)(1x)10(1x)(1x)1(1X)10=(X祈1以D，原式中x3实为这分子中的x4,1(1x)则所求系数为C71.7、若f(x)(1x)m(1x)n(mN)展开式中，x的系数为21,问m、n为何值时，x2的系数最小?7、由条件

17、得m+n=21,x2的项为cmc2x2，则cmc2或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11,212399I(n),因nCN,故当n=1024时，x2的系数最小.8、自然数n为偶数时，求证:_1_212CnCn2C：C42cn1cn32n10128、原式=(CnCnCnn1n1CnCn)(Cn-3_5CnCncn1)nn1n1223.29、求8011被9除的余数11110111109、80(81I)C1181C118101081181k1(kZ),11一-.kC乙9k-1Z,.81被9除余8*10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求10、(x23x2)5(x1)5(x2)5在(x+1)5展开式中，常数项为1,含x的项为C；5x，在(2+x)5展开式中，常数项