f分布t分布与卡方分布

1、§1.4常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、X2Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=£X：的分布称i为自由度等于n的，2分布，记作z，2(n),它的分布密度p(z)=z0其他,n-iu2eudu,称为Gamm前数，且(1)=1,'2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y1-2(n),Z%2(m，则Y+Z12(n+m。证明：先令X1、X2、->Xn、Xn+1、Xn+2、->Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据，2分布的定义以

2、及上述随机变虽的相互独立性，令y=x2+x2+X32=湍1+%2+xn+m，Y+Z=X2+X2+Xn+X2+1+X2+2+X2+m，即可得到Y+Z，2(n+m。2. t分布若X与Y相互独立，且XN(0,1),YZ2(n)，则Z=x/彳的分布称为自由度等于nn的t分布，记作Zt(n),它的分布密度:妇)P(z)=2n>30时，t分布与这时，t分布的分.n-(2)请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。F分布若X与Y相互独立，且X12(n),Y72(m,则Z=-的分布称为第一自由度等于n、第二自由

3、度等于m的Fp(z)=nmnmj2z，1z2nmU(mnz)222(mnz)20,分布，记作ZF(n,m,它的分布密度n2-Y=X2的分布密度pY(y)="/、-1-n22(nV)21n1_i2y2_1nn2-1n请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF(n,m时，1F(m,n)。3. t分布与F分布的关系若Xt(n)，贝UY=X2F(1,n)。n+1n+2n证：Xt(n),X的分布密度p(x)=一"Y=X2的分布函数Fy(y)=P(Y<y=P(X2<y。当y"时，F-(y)=0,p-y)=0当y>0时，FY(y)=P

4、(-月VXVJ?=C§P(x)dx=2Lyp(x)dx,与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同,因此Y=X2F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1) 分位数的定义分位数或临界值与随机变虽的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即以分位数、上侧以分位数与双侧以分位数，它们的定义如下：当随机变虽X的分布函数为F（x），实数以满足0以1时，以分位数是使P（Xxa=F（xa）=以的数xa,LA/LA/LA/上侧以分位数是使P（X入=1-

5、F（入）=以的数入，双侧以分位数是使P（X入1=F（入1）=0.5以的数入1、使P（X入2=1-F（入2）=0.5以的数入2。因为1-F（入）=以，F（入）=1-以，所以上侧以分位数入就是1-以分位数x1-MF（入1）=0.5以，1-F（入2）=0.5以，所以双侧以分位数入1就是0.5以分位数x0.5a,双侧以分位数入2就是1-0.5以分位数x1-0.5Oa2）标准正态分布的以分位数记作Ua,0.5以分位数记作U05a,.1-0.5以分位数记作U1-0.5a。P（XU1-0.5a=F0,1（U1-0.5a）=1-0.5以。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当以=0.5时，u”=0;（X/当以0

6、.5时，0。7CA/U1-a如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-a，然后得到ua=-U1-a。论述如下：当XN(0,1)时，P(X<u以=F0,1(U以)=以，PX<u1-a=F0,1(U1-a)=1-以，P(X>U1-a=1-F0,1(U1-a)=以，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，11以=-U1-a。例如，U0.10=-U0.90=-1.282,u0.05=-u0.95=-1.645,u0.01=-u0.99=-2.326,u0.025=-u0.975=-1.960,u0.005=-u0.995=-2.576。乂因为P|X|<U1-0

7、.5a=1-以，所以标准正态分布的双侧以分位数分另U是u1-0.5a和-U1-0.5也。标准正态分布常用的上侧以分位数有：以=0.10,u0.90=1.282;以=0.05,u0.95=1.645;以=0.01,U0.99=2.326;以=0.025,U0.975=1.960;以=0.005,U0.995=2.576。3) 卡平方分布的以分位数记作/2以(n)。72以(n)>0，当X,2(n)时，PX<，2以(n)=以。例如，120.005=0.21，720.025=0.48，20.05=0.71,20.95(4)=9.49,720.975(4)=11.1，1-20.995(4)=

8、14.9。4) t分布的以分位数记作t以(n)。当Xt(n)时，PX<t也(n)=以，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有d(n)=-t1-a(n)，论述同ua=-u1-a。例如，t0.95=2.132,t0.975(4)=2.776,t0.995=4.604,t0.005(4)=-4.604,t0.025(4)=-2.776,t0.05(4)=-2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t(n)，可用Uq作LA/LA/为t以(n)的近似值。5) F分布的以分位数记作d(n,m。Fa(n,m>0，当XF(n,m)时，PX<d(n,m)=以

9、。另外，当以较小时，在表中查不出Fa(n,m),须先查Fl-a(mn),再求Fa(n,当XF(mn)时，PX<FP>1=1-以XFv：(m,n)乂根据F分布的定义，m)=F(m,n)1-a(mn)=1-11,P-<1X论述如下:因此E(n,m)=1一F(n,m,X1F(m,n)=以，F1-：(m,n)1,P<Fa(n,m=以，X例如，F0.95F0.99F0.01(3,4)=1.2.3.4.【课内练习】求分位数求分位数求分位数由u720.05(8),t0.05(8)，t0.95(12)。F0.05(7,5)，F0.95(10,12)。0.975=1.960写出有关的上侧

10、分位数与双侧分位数。20.95(12)。(3,4)=6.59,F0.975(3,4)=9.98,(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,111在'F0.025(3,4)=茴F0.05(3,4)=对。5.6.关的分位数。由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。若X伞(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,试写出有若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95，试写出有关的分位数。7. 设X1、X2、X10相互独立且都服从N(0,0.09)分布，试求P，X2>1.44。1.2.73，21.0。2.-1.860,1.782。-1.960与1.9602.132与2.132为习题答案：3.上，3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，4