§31多维随机变量及其联合分布

1、第三章多维随机变量及其分布一、教材说明本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望.本章仿照一维随机变量的研究思路和方法.1、教学目的与教学要求本章的教学目的是：(1) 使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量的独立性概念；使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；使学生理解和掌握条件分布与条件期望.本章的教学要求是：深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维

2、分布;(1) 深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系；深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目.2、本章的重点与难点本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法.二、教学内容本章共分多维随机变量

3、及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容.3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量定义3.1.1如果Xi(),X2(),Xn()是定义在同一个样本空间上的n个随机变量，则称X()(Xi(),.,Xn()为n维随机变量或随机向量.二、联合分布函数1、定义3.1.2对任意n个实数x1,x2,xn，贝Un个事件XiXi,(X2X2,(Xnxn同时发生的概率F(Xi,X2,新)PXiX,X2乂2,Xnx”称为n维随机变量(Xi,X2,Xn)的联合分布函数.2、性质定理3.i.i任一二维联合分布函数F(x,

4、y)必具有如下四条基本性质：单调性：F(x,y)分别对x或y是单调不减的，即当xix2时有F(xi,y)F(x2,y);当yiy2时有F(x,yjF(x,y2).有界性：对任意的x和y,有0F(x,y)1,且F(,y)limF(x,y)0,F(x,)limF(x,y)0,xyF(,)limF(x,y)1,x,y右连续性对每个变量都是右连续的，即F(x0,y)F(x,y),F(x,y0)F(x,y).非负性对任意的ab,cd有P(axb,cYd)F(b,d)F(a,d)F(b,c)F(a,c)0证明仿一维分布函数的性质的证明，此处略.注任一二维联合分布函数F(x,y)必具有以上四条基本性质；还可

5、证明具有以上性质的二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布函数.例3.1.1证明二元函数G(x,y)0，Xy°满足二维1,xy0.分布函数的性质(1)(2)(3),但它不满足性质(4),故不是分布函数.分析：证明某二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的性质(1)(2)(3)(4),若证不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可.证明：略.三、联合分布列1、定义3.1.3如果二维随机变量（X,Y）只取有限个或可列个数对（x-yj），则称（X,Y）为二维离散随机变量，称PijP（X为,丫yj）,i,j1,2,为（X,Y）的联合分布列.还可以用书135页的表格形式记联合

6、分布列.2、联合分布列的基本性质：（1）非负性Pij0；（2）正则性Pij1.i1j1例3.1.2从1,2,3,4中任取一数记为X,再从1,X中任取一数记为Y，求(X,Y)的联合分布列及P(XY).分析：求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率.解：略.四、联合密度函数1、定义3.1.4如果存在二元非负函数p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表示为xyF(x,y)p(u,v)dvdu,则称(X,Y)为二维连续随机变量，称p(u,v)为(X,Y)的联合密度函数.注:在偏导数存在的点上,有p(x,y)F(x,y).xy2、联合

7、密度函数的基本性质(1)非负性p(u,v)0;(2)正则性p(u,v)1.注可求概率P(X,Y)G)p(x,y)dxdy,具体使用左式G时，积分范围是p(x,y)的非零区域与G的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果.例3.1.3设（X,Y）的联合密度函数为p(x,y)C2x3yc6e,x0,y0；0,其他.求(1)P(X1,Y1);(2)P(XY).解略五、常用多维分布1、多项分布进行n次独立重复试验，如果每次试验有r个可能结果：A,A,A,且每次试验中A发生的概率为PiP(A),i1,2,r;piP2Pr1;记Xi为n次独立重复试验中A出现的次数，i1,2,r.则(Xi,X2,Xr)取

8、值(几凡，n)的概率，即A出现几次，A出现&次，,A出现nr次的概率为P(Xini,X2F,Xrnr)?p；1p；2p'r,n1!n2!nr!其中nnn2n.这个联合分布列称为r项分布，又称为多项分布，记为M(n,p，p2,pr).例3.1.4一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.从这批产品中有放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量（X,Y）的联合分布列.分析略.解略.2、多维超几何分布多维超几何分布的描述：袋中有N只球，其中有N只i号球,i1,2,r.记NNiN2N，从中任意取出n只，若记Xi为取出的

9、n只球中i号球的个数，i1,2,r,!MN1N2Nrn1n2nrP(Xini,X2n2,Xrnr)12.n其中ninrn例3.1.5将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量（X,Y）的联合分布列.解略.3、多维均匀分布设D为Rn中的一个有界区域，其度量为辅，如果多维随机变量（Xi，X2,Xn）的联合密度函数为1/,（Xi，X2，,Xn）D,P（X,X2，,Xn）Sd0,其他则称（Xi，X2，,Xn）服从D上的多维均匀分布，记为（Xi，X2，,Xn）U（D）.例3.1.6设D为平面上以原点为圆心以r为半径的圆,（X,Y）服从D上的二维均匀分布，其密度函数为p(x,y)12222,xyr,r2220,xyr.试求概率P（|x|：）.解略.4、二元正态分布如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)1r(xi)22(xi)(y2)(y2)212(12)22212J12e'x,y，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N(1,2,i2,:,).其中五个参数的取值范围分别是：1，2；1