§3高斯公式与斯托克斯公式汇总

1、第二十二章曲面积分3高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22-冬高斯公式与斯托克斯公式(P290-297)教学目的：1)掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点：定理22.3,定理22.4教学难点：定理22.3,定理22.4教学方法：讲练结合.2. 教学程序：1.引导定理22.3定理22.4例题及部分习题练习作业.P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。一高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空问闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯(Gaus公式。定理22.3设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P,Q,

2、R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则?P?Q?R?x+?y+?z?dxdydz?V?,(1)=Pdydz+Qdzdx+RdxdyS其中S取外侧。(1)式称为高斯公式。证下面只证?Rdxdydz=Rdxdy.?zVS读者可类似地证明?Pdxdydz=Pdydz?xVS?Qdxdydz=Qdzdx.?yVS这些结果相加便得到了高斯公式(1)。先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。S2:z,z2(x,y),(x,y)Dxy,S1:z=z1(x,y),(x,y)Dxy及以垂直丁Dxy的边界的柱面S3组成(图22-6),其中z1(x,y)z2(x,y)丁是

3、按三重积分的计算方法有图22-6?Rdxdydz=V?z?dxdyD?z2(x,y)?Rzdz1(x,y)xy?z=(x,y,z2(x,y)-R(x,y,z1(x,y)dxdyD?(Rxy=(x,y,z2(x,y)dxdy-D?R?R(x,y,z1(x,y)dxdyxyDxy=?R(x,y,z)dxdy-S?R(x,y,z)dxdy2S1=?R(x,y,z)dxdy+?R(x,y,z)dxdy,S2-S1其中S1,S2都取上侧。乂由丁S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以?R(x,y,z)dxdy=0.S3因此?Rdxdydz=V?z?Rdxdy+?Rdxdy+?RdxdyS2-S1S3=R

4、dxdy.S对丁不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。例1计算y(x-z)dydz+x2dzdx+(y2+xz)dxdy,S其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧(即上节习题1(1)。解应用高斯公式，所求曲面积分等丁?(y(x-z)+?x2+?(y2+xz)?dxdydzV?x?y()?z?=?(y+x)dxdydz=?adz?aa0dy?(y+x)dxV00=a?a?ay+1a2?dy=a402.若高斯公式中P=x,Q=y,R=z,则有?(1+1+1)dxdydz=xdydz+

5、ydzdx+zdxdy.VS丁是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式?V=13xdydz+ydzdx+zdxdy.S|二斯托克斯公式斯托克斯(Stokes)公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。在讲下述定理之前，先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22-7所示。定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S(连同L)上连续，且

6、有一阶连续偏导数，则?R?Q?Q?P?P?R?-dydz+-dzdx+?y?z?x-?y?dxdy?z?x?(2)S?=Pdx+Qdy+Rdz,L其中S的侧与L的方向按右手法则确定。证先证?P?Pdzdxdxdy=Pdx,(3)?L?z?yS其中曲面S由方程z=z(x,y)确定，它的正侧法线方向数为-zx,-zy,1，方向余弦为()(cosa,cos6,G。折以)?zcosa?zcos-片.?xcosy?ycosY若S在xy平面上投影区域为Dxy,L在xy平面上的投影曲线记为。现由第二型曲线积分定义及格林公式有P(x,y,z)dx=P(x,y,z(x,y)dxLr=-?因为？P(x,y,z(x

7、,y)dxdy.?yDxy?P?P?zP(x,y,z(x,y)=+,?y?y?z?y所以正向负向-?P(x,y,z(x,y)dxdy?yDxy?P?P?z?=-?y+?z?y?dxdy.?S?由丁?zcos6从而=-?tcosY?P?P?z?P?Pcos?-?+dxdy=-?y?z?y?y-?zcos?dxdy?S?S?P?dxdy?P?=-?cos-pos6?ycos丫?ZS?P?P?=-?cos-pos6dS?y?z?S?P?P=?dzdx-dxdy.?z?yS综合上述结果，便得所要证明的(3)式。同样对丁曲面S表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，可证得?Q?Qdxdy-dydz=

8、Qdy(4)?L?x?zS和?R?Rdydz-dzdx=Rdz.(5)?L?y?xS将(3)、(4)、(5)三式相加即得(2)式。如果曲面S不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时(2)式也能成立。公式(2)称为斯托克斯公式。为了便丁记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：?Sdydzdzdx?=Pdx+Qdy+Rdz.L?x?y?zPQR例2计算(2y+z)dx+(x-y)dy+(y-x)dz,L其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向(图228)。解应用斯托克斯公式推得(2y+z)dx+(x-z)dy+

9、(y-z)dz=?(1+1)dydz+(1+1)dzdx+(1-2)dxdyLS=?2dydz+2dzdx-dxdyS=1+1-13=.22由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件.区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩丁届丁V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。定理22.5设Q?R为空间单连通区域。若函数P,Q,R在Q上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：对丁Q内任一按段光滑的封闭曲线L有3Pdx+Qdy+

10、Rdz=0;L对丁Q内任一按段光滑的曲线L,曲线积分?Pdx+Qdy+RdzL与路线无关；(i) Pdx+Qdy+Rdz是Q内某一函数u的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz;(6)?P?Q?Q?R?R?P=,=,=?y?x?z?y?x?z在Q内处处成立。这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。例3验证曲线积分?(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dzL与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z)。解由丁P=y+z,Q=z+x,R=x+y,?P?Q?Q?R?R?P=1,?y?x?z?y?x?z所以曲线积分与路线无关。图22-8现在求u(x,y,z)=?My+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz.0M(取M0M如图22-9,从M0沿平行丁x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行丁y轴的直线到M2(x,y,z0)，最后沿平行丁z轴的直线到M(x,y,z)。丁是u