《二次根式》知识点总结

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如血0乏。）的式子叫二次根式，其中&叫被开方数，只有当就是一个非负数时，石才有意义.【例1】下列各式1）&,2）厂5,3）【典型例题】Jx22,4)西,5)寸(1)2,6)>/r,7)Ja22a1,其中是二次根式的是（填序号）举一反三:1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、4aB、TTOC、Ja1D、&212、在右、JC、J1x2、扼中是二次根式的个数有个1.、.一【例2】若式子=有意义，则x的取值范围是.x3举一反三：1、使代数式兰m有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x>3C、x>

2、4D、x>3且x乒42、使代数式Jx22x1有意义的x的取值范围是【例3】若v=-X5+瑚5x+2009，则x+y=举一反三：4，、21、若vxlJ1x(xy)，则xy的值为()A.-1B.1C.2D.32、若x、y都是实数，且y=后万4,求xy的值3、当a取什么值时，代数式V2a11取值最小,并求出这个最小值。知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：v'a(a0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. (a)2aa0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(.a)2(a0)3

3、. JO2|a|a(a0)注意：(1)字母不一定是正数.1 1a(a0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.公式va2|a|°)与(石)2aa0)的区别与联系a(a0)(1) 抒表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (局表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) va2和(石)2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若°，则abc举一反三:1、若vm3(n1)20,2、已知x,y为实数,B.-3Jmn的值为_23y20,贝UxC.

4、1D.-1y的值为（3、已知直角三角形两边x、y的长满足|x24|+(y25y6=0,则第三边长为ab1与&2b4互为相反数，贝ua2005bIM京期噩溺憧H危（公式（4a）2a(a0）的运用）【例5】化简：a1（Ja3）2的结果为（A、42aC、2a4举一反三:1、在实数范围内分解因式:x23=x42；m4mx49,x22.2xa(a0)a(a0）的应用）【例6】已知x2，则化简Jx24x4的结果是B、C、xD、举一反三:根式,（3）2的值是（）A.-3B.3或-3C.32、已知2a<0，那么I*a2a可化简为（）A.3a3、若2pap3，贝U2a2Ja32等于()A.52aB

5、.12aC.2a5D.2a14、若a-3v0,则化简展6a94a的结果是()(A)1(B)1(C)2a7(D)72a5、化简J4x24x1J232得()(A)2(B)4x4(C)-2(D)4x4,a22a1一r2-6、当avl且a莉时，化简aa=.7、已知a0,化简求值：J。(a92/&ma-b+b)2的结果【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简等于()*AbaoA.-2bB.2bC.-2aD.2aI,aH1012举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a1J(a2)2.【例8】化简1xJx28x16的结果是2x-5，则x的取值范围是()(A)x为任意

6、实数(B)1<x<4(C)x>1(D)x<1举一反三：若代数式V(2a)2J(a4)2的值是常数2,则a的取值范围是()A.a>4b.a<2c.2<a<4d.a2或a4【例9】如果aJa22a11,那么a的取值范围是()A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a<1举一反三：1、如果aJa26a93成立，那么实数a的取值范围是()A.a0B.a3;C.a3;D.a32、若(x3)2x30,则x的取值范围是()(A)x3(B)x3(C)x3(D)x3【例10】(A)化简二次根式a'.a2(B)aJ2a的结果是()2(C)、a21(D

7、).a21、把二次根式aj-化简，正确的结果是()-aA./aB.?aC.-：aD.:a2、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，v'x=；(a1)J一=x1a知识点二：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.【例11】在根式1)Ja2b2;2)£3)Jx2xy;4)j27abc，最简二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、*应,V30,)21(40b2，近4,Vb2)中的最简二次

8、根式是。22、下列根式中，不是最简二次根式的是()A.B.43C.巨D.J2,23、下列根式不是最简二次根式的是（）An.a21B.、.2x12bC.4D.两4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么?5、把下列各式化为最简二次根式:ab（ab）、.5.8xy12-45a2b【例12】下列根式中能与J3是合并的是（A.8B.27C.2.5举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（a、扼和418b、的日J1c、7和yob2d、ja1和2、在二次根式：J12;寸23；J-;J27中，能与43合并的二次根式,33、如果最简二次根式J3a8与V172a能够合并为一个二次根式，则a=知识

9、点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1.分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用ja石a来确定，如：而与ja,焰与焰b,拓b与Jab等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如aVb与aJb,Ta扼与石Jb,a“xbJy与a,xby分别互为有理化因式。3. 分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例13

10、】把卜列各式分母有理化1/、43,、11(4)1'3(1)/,48(2)区3.7(3)、2.12550【例14】把下列各式分母有理化(4)【例15】把下列各式分母有理化:333223/、结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:知识点五：二次根式计算一一二次根式的乘除1. 【知识要点】积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。2. 'Tab=aVb(aa0,b>0)二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。3. 4a爪='?ab.(a>0,b>0)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式

11、的算术平方根除以除式的算术平方根4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例16】化简.916.1681(4)9x2y2(x0,y0)【例17】计算（1）Jg淀(3)【例20】能使等式,x2、xx2成立的的x的取值范围是（）A、x2B、x0C、0x2D、无解知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】1. 同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。2. 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。再把同类二注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式,次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例20】计算（1)厄17752/0523I(2)102、.元3-V245;7（3）应