三重积分的计算方法与例题

1、重积分的计算方法:三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f(x,y,z)dz，再做二重积分F(x,y)d，就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。z2f(x,y,z)dvf(x,y,z)dzdDziC2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是“截面法”，也DzCi即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zG与zc2之间，即zc1,c

2、2,过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区5上的二重积分Dzf"z)d,完成了"先二”这-步(二重积分)；c2c2进而计算定积分F(z)dz，完成“后一”这一步。f(x,y,z)dvf(x,y,z)ddzciciDz当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)D是圆域(或其部分)，

3、且被积函数形如f(x2y2),fC)时，可选择x柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算S。，。因而中只要za,b,且f(x,y,z)仅含z

4、时，选取“截面法”更佳。对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分Izdxdydz,其中为平面xyz1与三个坐标面x0,y0,z0围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xy"0x1X型D:0y1x0x1:0y1x0z1xy1. 计算解2“截面法”1.画出。2.z0,1过点z作垂直丁z轴的平面截得Dz3.计算I区域。解1“投影法”Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x111zdxdydzzdxdydzzz,

5、y1Dzdxdydz1zSdzdz0补例2:计算寸x2y2dv，其中是x2y2z和z=1围成的闭I22"消去z,X型D:2.“穿线”3.计算z1.画出及在xoy面投影域D.由z得x2y21即D:x2y211,11x111x2x2y2dvdxdyx2y2dzdxx2y2(1x2y2)dy12221xdxy1日62x2y注：可用柱坐标计算解2“截面法”1.画出。2.z0,1过点z作垂直丁z轴的平面截得Dz:x20Dz002用柱坐标计算:0rz3.计算0z1rzi,x2y2dvx20Dz补例3:化二重积分I12z22ydxdydzdrdrdz000113z2质r°dz01z3dz

6、06f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中22丁:zx2y及z2x2所围成的闭区域。解：1.画出及在xoy面上的投影域D.即D:2.“穿线”X型D:x2消去z,得x2y2x2y21222x2yz2x1x122.1xy、1x3.计算I2.解zz6r2r得r2D:r2即00r2202“穿线”rz6r2:0r2rc2z6r1x1,1x2y一1x2x22y2z2x2f(x,y,z)dxdydzdxdyf(x,y,z)dz11x2x22y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算补例4:计算zdv,其中为z6x2y2及zJx2y2所围成的闭区域解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D

7、,用柱坐标计算xrcos由yrsin化的边界曲面方程为：z=6-r2,z=rzz3.计算zdv6r2zdzrdrdr226rdrdr00rzdz21126rkzr022rdr2r(6r2)20r2dr2(36r013r2r5)dr923解2“截面法”6r2及zr围成。1.画出2.z0,60,22,6i由z=r与z=2围成；z0,2,Dz:rz020rz0z22由z=2与z=6r2围成；z2,6,Dz:rVFz2:0r26z3.计算zdv=zdv1zdv2zrdrddz0Dz16z2Drdrddz2zSd0'z16dzzSDDz22dz2z06(z2)dzz(.6z)2dz22z3dz06(6z2z2)dz肾注:x解：用球坐标计算。由yzcos被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换补例5:计算（x2y2）dv,其中由不等式0aJx2y2z2A,z0所确定cossinsinsin得的边界曲面的球坐标方程：aP，连结OP=，其与z轴正向的火角为，OP=。P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的火角为。aA,0-,022(x22jy)dv/22、2(sin)sind=23sin15Aad52,53a)sin5(A55、2da)31三重积分的计算方法练习1.