专题：立体几何练习

1、1.（2011陕西）某几何体的三视图如下，则它的体积是主视图左视图伽视图2兀8v32兀D/3解析由三视图可知该几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥，所以V=23-1X宓2=8-牛故选A.33答案A2.正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、E、F分别是AB、AD、B1C1、C1D1的中点，则正方体的过P、Q、E、F的截面图形的形状是A.正方形B.平行四边形C.正五边形D.正六边形解析如图所示，由EFPQ,可确定一个平面，此平面与正方体的棱BB1、DD1分别相交丁点M、N,由此可得截面图形的形状为正六边形PQNFEM,故应选D.DiFClPB答案D3.在ABC中，

2、AB=2,BC=1.5,ZABC=120，若zABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是357A.2兀B.-弓兀D.9TT解析依题意可知，ABC绕直线BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin60=也高为1.5+2Xcos60=2.5的圆锥，挖去一个底面半径为寸3,高为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积=!兀/3.3答案.3一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2.3,它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是./3解析设底面边长为x,则V=xx=2寸3,x=2.由题怠知这个正二梭柱的俯视图左视图为长为2,宽为寸3的矩形，其

3、面积为2寸3.答案2.37. 如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.pAkJo*u解析解法一圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为a,则圆柱底面半径为4sin%局为8cosa,.S圆柱侧=2兀,4sin8cosa=32兀sin2.当sin2a=1时，S圆柱侧最大为32兀.此时S球表一S圆柱侧=4兀2432咛32兀.解法二设圆柱底面半径为r,则其高为Rr2r2,.圆柱侧=2tt2寸R2r2=4Mr2（R2r2）r2+R2-r22W4J2tR2丫且仅当r2=R2r2,即r=*R时取=”j乂R=4,圆柱侧最大为32兀.此时S球表一S

4、圆柱侧=4兀432咛32兀.答案32兀8. 如图所示，在单位正方体ABCDAiBiCiDi的面对角线AiB上存在一点P,使AP+DiP最短，求AP+DiP的最小值.解析设AiP=x,则在AAAiP中，AP=i2+x22ixcos45=x_V2x+1,在RtZDiAiP中，DiP=qi+x2.y=AP+DiP=$-V2x+i+x2+i,卜面求对应的函数y的最小值.将函数y变形，得y=220）+0-ij,它表示平面直角坐标系中，在x轴上存在一点P(x,0),它到点M快,乎L到点N(0,-i)的距离之和最小,.当P、M、N三点共线时，这个值最小,则为yj2o2+肾+12+瞻.9. 如图所示，在四棱锥

5、PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PDL底面ABCD,且PD=a,PA=PC=寸2a,若在这个四棱锥内放一球.求此球的最大半径.解析设放入的球的半径为r,球心为O,连接OP、OA、OB、OC、OD,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r,底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则Vpabcd=?r(S尘ab+S尘bc+S尘cd+S3d+S正方形abcd)=(2+V2)a证明：ADL平面PBC;求三棱锥DABC的体积；.由题意，知PD项面ABCD,Vpabcd=S正方形abcdPD=3a在ZACB的平分线上确定一点Q,使得PQ/平面ABD，并求此时PQ的长.解析证明因

6、为PAL平面ABC,所以PAJBC,乂ACJBC,所以BCL平面PAC,所以BC_AD.由体积相等，得3(2+42)a2=3a3,解得r=2（2-也）a.10. 如图1,在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,ACBC,D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.由三视图可得，在zPAC中，PA=AC=4,D为PC的中点，所以ADJPC,所以ADL平面PBC.由三视图可得BC=4,由知ZADC=90,BCL平面PAC,乂三棱锥DABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，11-所以所求三棱锥的体积V=-X-XADXCDXBC321116=2艘X2膏4=16.323(3)取AB的中

7、点O,连接CO并延长至Q,使得CQ=2CO,连接PQ,OD，点Q即为所求.因为O为CQ的中点，D为PC的中点，所以PQ/OD,因为PQ?平面ABD,OD?平面ABD,所以PQ/平面ABD,连接AQ,BQ,因为四边形ACBQ的对角线互相平分,且AC=BC,ACJBC,所以四边形ACBQ为正方形，所以，CQ即为MCB的平分线，乂AQ=4,PAL平面ABC,所以在RtzPAQ中，PQJAP2+AQ2=4聿.1.（2011浙江）下列命题中错误的是A.如果平面心平面6,那么平面a内一定存在直线平行丁平面6B. 如果平面a不垂直丁平面传那么平面a内一定不存在直线垂直丁平面6C. 如果平面心平面平面队平面a

8、C6=l,那么I平面YD. 如果平面心平面6,那么平面a内所有直线都垂直丁平面6解析两个平面a,6垂直时，设交线为1,则在平面a内与l平行的线都平行丁平面6,故A正确；如果平面a内存在直线垂直丁平面6,那么由面面垂直的判定定理知a_L0,故B正确；两个平面都与三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个面a,6垂直时，平面a内与交线平行的直线与6平行，故D错误.答案D2. 设有直线m、n和平面a、6,下歹0四个命题中正确的是A. 若妒An,mIIn,贝UmIIa且mII6B. 若m?a,n?a,m/6,n/6,贝Uall6C. 若心6,m?a,贝UmL6D. 若心6,m6,m?%贝

9、Um/a解析对丁A,m也可能在面a内或面6内，故A错；对丁B,若m与n平行，则a与6可能相交，故B错，对丁C,m与6可能平行，故C错.所以选D.答案D3. （2011中山模拟）已知m、n为直线，a、6为平面，给出下列命题: 若ma,n/a,贝Umn；若ma,mn,贝Un/a;若心6,m/a,贝Um6;若ma,m/6,贝Ua3其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析对丁，由线面的位置关系可以判定是正确的；对丁，直线n可能在平面a内，所以错误；对丁，举一反例：m?6且m与务6的交线平行时，也有m/a,错误；对丁,可以证明其正确性，正确.故选C.答案C4.已知l,m是两条不重合的直线，叫6,

10、丫是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到II6的是A.l/%l/6B.aX%幻丫C.m?a,l?a,m/6,l/6D.lL%m6,l/m解析选项A得不到a/0;选项B中的平面a,6可能平行也可能相交；选项C中的直线m,l可能平行，Ma与6可能相交；选项D中，由l/m,m邓，可得l邓，再由l_La可得a/6故选D.答案D（2011温州联考）已知m、n是两条不同的直线，眼$丫是三个不同的平面，则下列命题正确的是A.若m/a,n/a，贝Um/nB.若ma,na，贝UmIInC.若m/%m/传贝Ua/6D.若aX卞幻贝Ua/6解析对于选项A,若m/%n/a,则m与n可能平行、相交或异面；对于选项C,

11、a与6也可能相交；对于选项D,a与6也可能相交.故选B.答案B5. 设a,b为两条直线，a,6为两个平面，则下列结论成立的是A.若a?gb?6,且a/b，贝Ua/6B.若a?%b?6,且ab,见Ja6C.若ab?%则a/bD.若aa,ba,则a/b解析分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内平行于交线的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及已知平面内平行于交线的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直

12、线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立.故选D.答案D6. 给出下列四个命题： 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行； 一条直线与两个相交平面平行，则它必与这两个平面的交线平行； 过平面外一点，作与该平面成0角的直线一定有无穷多条； 对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等.其中正确命题的序号为.解析显然错误，若点在其中一条异面直线上明显不可能作出，既使点在两条异面直线外，也不一定能作出；正确；错误，0=90时，即过平面外一点作与该平面垂直的直线有且只有一条；正确.答案7. 如图所示，在中的矩形ABCD内，AB=4,BC=3,E是CD

13、的中点，沿AE将/ADE折起，如图（2）所示，使二面角DAE-B为60,贝U四棱锥DABCE的体积是.6解析在平面图形中，RtMDE斜边上的局是M3,故折起后棱锥的高是晶sin60=噜,棱锥的底面积为9,故其体积为V_1X9X瘟贝39V_3X9X13-13-答案*9138. （2011福建）如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,点E为AD的中点，点F在CD上.若EF/平面ABiC,则线段EF的长度等丁.解析由丁在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,.AC=22.乂E为AD中点，EF/平曲B1C,EF?平面ADC,平面ADCn平面ABiC=AC,-EFAC,/1F为DC中

14、点，.-.EF=AC=也.答案.29. （2011陕西）如图，在ABC中，ZABC=45,ZBAC=90,AD是BC上的高，沿AD把/ABD折起，使ZBDC=90.A(1)证明：平面ADBL平面BDC;若BD=1,求三棱锥DABC的表面积.解析(1)证明.折起前AD是BC边上的高,.当/ABD折起后,ADJDC,ADJDB.乂DBADC=D,.ADL平面BDC.AD?平面ABD,.平面ABDL平面BDC.由（1）知，DAJDB,DBJDC,DCIDA.DB=DA=DC=1,.AB=BC=CA=也,11从而SZDAB=S/DBC=SZDCA=产1X1=,13Szabc=2x皿x求xsin60=2

15、,一土一，_1-V33+V3.L二梭锥DABC的表面积S=X3+22一(2011济南模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在棱的中点,。为面对角线A1C1的中点.(1) 求证：平面MNP/平面A1C1B;(2) 求证：OML平面A1C1B.证明(1)连接DiC,则MN为8DiC的中位线,.MNDiC.乂.DiC/AiB,-MNAiB.同理，MPCiB.而MN与MP相交，MN,MP在平面MNP内,AiB,CiB在平面AiCiB内，平面MNP/平曲iCiB.(2)连接CiM和AiM，设正方体的棱长为a,在正方体ABCDAiBiCiDi中，CiM=AiM,乂.O为AiCi的中点，.AiCiJMO,连接BO和BM，在ABMO中，经计算知：OB=*a,MO=W3a,BM=3a,.ob2+mo2=mb2,即BOJM。，而AiCi,BO?平面AiCiB,.MOL平面AiCiB.i2.在三棱锥PABC中，PAC和zPBC是边长为也的等边三角形，AB=2,O是AB中点.在棱PA上求一点M