电磁场与电磁波复习文档

1、1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为I H = JE 总八 B =o八 D，（3ctct分）（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源； 除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。2. 时变场的一般边界条件D?n=、E?t= 0、H?t= Js、B?n= 0。（或矢量式L&2=、n = 0、n H2 =上、n_B2 =o）1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2. A dS 是矢量A穿过闭合曲面S的通

2、量或发散量。若0,流出S面的通量大于流入的S通量，即通量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若0,则流入S面的通量大于流出的通量，即通量 向S面内汇集，说明S面内有负源。若=0,则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。1.在直角坐标系证明'd；： A二02.4? v A心 茫 芫）总（昱一皂）ez（也-仝x y :z'y _zN xx y1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。例静电场2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质'IQ DdS八q。v D =0有源sL 4 t E dl = 0 E = 0无旋1.已知- r ,证明R2

3、.证明还e迟ez还弋:x斜 :z1试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?2. 一般电流Jd§ = 4q dt 0,"一3 %t ；恒定电流JdW = O, ' J二01. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式。2. 答静电场基本方程的积分形式口 E d" q，T E dl = 0s"or微分形式'-D八E = 01. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。I2. 静电场基本方程微分形式D =E = o，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。1. 试说明导体处于静电平衡时特性。

4、2. 答导体处于静电平衡时特性有 导体内E = o ； 导体是等位体（导体表面是等位面）； 导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）; 导体表面附近电场强度垂直于表面，且e = ：n/； 0。1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2. 答在界面上D的法向量连续D1n =。2门或（代D2 = A D2）； E的切向分量连续巳=E2t或（n nE2）1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。* * * *2. 在界面上D的法向量D2n或（n 1D - ）； E的切向分量E2t=0或（niE2= 0）1. 试写出电位函数：表示的两种介质分界面静电场的边界条件。:

5、n2. 答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为J 21. 试推导静电场的泊松方程。2.解由D =1p，其中 D = eE,E = © ,i月D=可呂E -为常数2亍泊松方程1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义2. 对于某一空间区域V,边界面为s, 0满足1 三兀,£（对导体给定q）则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法）,还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。1试写出恒定电场的边界条件。2.答恒定电场的边界条件为I = II

6、/ : S 巴=111. 分离变量法的基本步骤有哪些？2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定 的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界 条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据 是唯一性定理。7、试题关键字恒定磁场的基本方程1. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义2. 答真空中恒定磁场的基本方

7、程的积分与微分形式分别为1-7HJ B dS =0sIH dl =迟 I说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1.试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义IIII2.答:恒定磁场的边界条件为：-H2） = Js，汉（B（-B2）=0，说明磁场在不同的边界条件下磁场 5强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程'、E =0 和-D - 由D ='得V D d .巾.TT据散度定理，上式即为d dS = qs利用球对称性，得q4二 r2故得

8、点电荷的电场表示式E 二 erq4 二；r2由于l E = 0，可取E二，则得 D - e - m - 一 2=即得泊松方程1. 写出在空气和J =:'的理想磁介质之间分界面上的边界条件2. 解空气和理想导体分界面的边界条件为n E = 0 n H = J s根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E r H H r E J s r Jms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件n H =0n E = - Jms式中，Jms为表面磁流密度。1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件2. 答边界条件为E1t = E2t = 0 或 n E<| = 04H1t=Js或n

9、 H14 =JsB1n-B2n - 0或n B,-0D1ns或n D1=P；1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2. 答- ' 廿=j ；.-： EE - -jHdB =0l D -01试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点2. 答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点时為，且E£的相位差为-， 直线极化的特点Exm , Eym的相位差为相位相差0,二椭圆极化的特点Exm鼻吕，且Exm，Eym的相位差为士或°円，1.能流密度矢量（坡印廷矢量）S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的?2.答能流密度矢量印廷定理

10、的表达式为恒和转换关系。（坡印廷矢量）S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡，反映了电磁场中能量的守(E H) dS- ( ；E 丄H2)dE2dJdt 222时变场的一般边界条件D,n-D2n"二、E1t=E2t、H1t - H2t = Js、Bln二B2n。（写成矢量式毗止一丘2）n（£一匕2）=0、n（朮一2）=1、礼（8-氏）=0一样给5分）1. 已知同轴电缆的内外半径分别为J和上,其间媒质的磁导率 为勺，且电缆长度 »Pz，忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。2. 设电缆带有电流一1.图示球形电容器的内导体半径二-jv，外导体内径

11、v - -' "，其间充有 两种电介质 与丨， 它们的分界面的半径为二匚二I。已知的相对介电-9x10"常数分别为 O 求此球形电容器的电容：。- 54 <r<3)S2 - 一 弓(3 <r <6) 4加甲fi-103 1 L 01 h1 _ - J _【=-)4需目3 14昨6 3Q 102 1 k 9xlOL12 -xicrnF91. 一平板电容器有两层介质，极板面积为一:,一层电介质厚度工二二丄 电导率'一二,相对介电常数|；,另一层电介质厚度；:',电导率I 一二'匚。相对介电常数-，当电容器加有电压"

12、; 时，求(1) 电介质中的电流；(2) 两电介质分界面上积累的电荷；(3) 电容器消耗的功率2.(1)_厅同皿 ',F伍二耳览巳-叽 -g - 明14“+0厂'"4兀+Q化1=JS=呵卅宙25" A 如+ a坯15= rfw 8.85x10 C/mJu -铭+绑u2. P= = 25xl0'u W R1. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为：K和匚求合成波电场强度的瞬 时表示式及极化方式2.：.8二比得合成波为右旋圆极化波£1 -costct+ 炖)-耶u sirtrH 仇)1.无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为H（j;

13、t）= 0. Los（15jjy）sirf6xl09 A/m试求；的值；（2） 电场强度瞬时矢量匚:和复矢量（即相量）K2. （1）VW二（兰+兰）刃二-厅+ Q5讦#di di=0Q5" +厅二(6-xlO9)2(3x1 刖故得= 5-7?寵 rasdsj(5 = lj7xJdt=xffdter9sirfl5J!zy)cos(6xlO f-bT?ni+弓3育恥。血5渤呂ir（6肿13十-5育砖）V/in J? 二 q9庇irl5E巳响秸-$3丽方co£L5;zy）/E1. 证明任一沿匚传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加2证明设线极化波

14、3;（=材严=直）+场（2）-和匚-分别是振幅为二的右旋和左旋圆极化波1.图示由两个半径分别为I和的同心导体球壳组成的球形 电容器，在球壳间 以半径丁-匸为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为"1 - 1 :和- - < 试证明此球形电容器的电容为'111 .2. 证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q则两导体球壳间的电压为1.已知丿二Q0#唱-2"璐+ 2亍陀)A/m '求 穿过面积在二;方向的总电流 在上述面积中心处电流密度的模； (3)在上述面上，的平均值2.(1)二 J："氐兰-3旷)4/xl2.6G,-21)= 399

15、A 面积中心,-,-:.1=281.25-45+81J = ,/28L25f+45z+812 = 296J21 A/m(3)的平均值I _ 399 (5 2 - 3 8)(3 - 2)1.4 圈 285 A /id 21.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中1。略去端部效应,试求两线圈间的互感。I2 疋 S+q）（S+站）1. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度 片乜： 为；H仕“二兮吗8s(4 TsirGuf-/?访A/m ,其中川i、爲为常数，求位 移电流密度人。2. 因为.八一 -2. 设线框_带有电流线框的回路方向为顺时针。线框产生的丄:为林二m=jcr；m严dz

16、A2 cos（4二-j4cos（4 t） cosfdit- ffy） + er4 A2 sir（4t）ffy）-Jsii4j）siT（田f-0_y） A/m1.空气中传播的均匀平面波电场为Eee"，已知电磁波沿z轴传播，频率为f。求 (1)磁场H ； 波长；(3)能流密度S和平均能流密度Sav ； (4)能量密度W2解s"2Re(E H)吗匸oeo1 2 i W 0E20H2 21.频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（z ）方向传播，介质的特性参数为；r =4、叫=1， =0。设电场沿x方向，即E二&Ex ;当t =0，-m时，电场等8于

17、其振幅值10 V / m。试求 H（z,t）和E（z,t）；（2）波的传播速度；（3）平均波印廷矢量。2. 解以余弦形式写出电场强度表示式E（乙t）二 &Ex（z,t）= eXEm cos（ t -kz - xe）把数据代入Em =10°V/mrad / mxEE（z,t）二誉肌工込门二108tTtz )V/m6dEH(Z,t)二 gyHy 諾4 二384兀g 10兀160 二10，cos(2 二 108t-±3JIz 6)A/m1 :rad13 / 26113 1088= 1.5 10 m/s(3)平均坡印廷矢量为Sav = Re E H 2SavReeX1oyG

18、zF ey10'ejzF2 60n4 2g匹丄2 60 :.10* 2W/m2120 二1.两点电荷q =8C位于z轴上z=4处，q2= -4C位于y轴上y = 4处，求(4Q0)处的电场强度。2解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为e q r叮e14 二；°2-0 (4 一 2)3ex4 - ez4电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为4 二；or - r231 ex4 - ey4g (4%/2)3故(4,0,0)处的电场为32 2二 0:'Qsin3 丁0J'Q1. 半径为a的球体中充满密度?(r)的体电荷，已知电位移分布为r3 Ar2(r 込 a)D

19、r -壬5 Aa42(r - a)L r其中A为常数，试求电荷密度'(r)。2. 解由' Id = -，有故在r : a区域Mr)»LD 二(r2Dr)r d rr(r)id 2322；0 2 r (r Ar ) = ；°(5r4Ar)r d r在r a区域r(r)54d” Aa)r2drr=01. 一半径为Ro的介质球，介电常数为®o，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为2 ；r 3 ；o2.解由"D_d S = q可得到4r2Di4二 r3（r ：R）4r2D24二戌(r RDi =r ,Ei =Dirr；03o（r ：R）D3r

20、3 or2(r R)故中心点的电位为d2EOOJRO+ r 印 f o-prs3dr02 drRR %r6 :r ；0十3 ；01. 一个半径为R的介质球，介电常数为；，球内的极化强度P =er K r，其中K为一常数。（1）计算 束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。2解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为r dr r r在r =R的球面上，束缚电荷面密度为（2）由于D = oE P，所以i Ld =_eLp =丄 i Ld ： - Ip即（1-®LD 八Pz由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量RK 1,24：；RK2 4

21、r dr =一 ；0 0 "（3）介质球内、外的电场强度分别为-；o)r(r : R)(r R)E = q _ ERKE 2 er “2 - er4 二；or；o(o)r介质球内、外的电位分别为nR7i 二 EUdl 二 EidrEzdrrrRdrR p( - -"0)rdr亠nRJ-ip r ”o(，- ”0)(亡R)'rE2d"r 5；RK；。（；-；o）r(r -R)1如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零, （0y > : a（ y =）0 （x, 0> 0 （x,b戶U根据条件和，电位

22、：（x, y）的通解应取为打n二 yn二 x(x, y)二' AnSinh()sin()n maa由条件，有n b)sin(QOU0 八 AiSinh(n =1两边同乘以sin（n二x.a），并从0到a对x积分，得到2U0asinh(n二b a)a-sin( n-x)dx2U°n二 sinh(n二 b a)(1 - cos n：)4U。=n 二 sinh(n 二 ba)n,3,5,川0 ,n = 2,4,6，川4U(x,y 0 '、二 n 4,3,5,i.|故得到槽内的电位分布sinh( )sin( )nsinh(n二 b a)aa1.两平行无限大导体平面，距离为b，

23、其间有一极薄的导体片由y = d到y = b （- ： : z ：）。上板和 薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y=o到y = d，电位线性变化，®(Q y =U°y力2. 解 应用叠加原理，设板间的电位为（x,yH i（x, y） ：（x,y）其中，i （x, y为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为Uq）的电位，即（x, yUoy b ；2（x, y）是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为 ；（x,0）2（x,b） =0 ；（x,y）= 0 （x 宀）牡丫-（0 兰yWd） 2（0, yH （0, i（0, v

24、Hd U buo-（d 兰 y 兰b）根据条件和，可设2（x, y）的通解为:n：叮2（x,y）八代血（丫）厂n#b由条件有qQ' AnSin（n=1UI bH d0y_U2b（0< y Ed）（d < y < b）两边同乘以sin（nr： y .b），并从o到b对y积分，得到db代晋。（d Tysin晋）dy 晋 d（仁 b）sinr）dy2Uo b（n二）2 dsin（故得到S）竽A-sin（罟）sin（罟）e知b d 二 n 4 n bb1.如题（a）图所示，在z ： 0的下半空间是介电常数为；的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q。求（1）

25、z 0和z : 0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明 表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q oi h%Lrq*o题 4.24图（a）2.解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极 化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（ C）所示）”名_名0q = q，位于 z 二-hg"o-0qq，位于 z = h"%上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4 二;0R 4 二;0R4 二；°下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q”共同产生，即2_q q _ q 12 4二;R2

26、 2（.亠心）.r2（z-h）2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为匚p=nR-B ZE = ；o（E）zE2z） z卫靜2 砂1、|（EYo）hq一 -O（一 ）22 3 2工:z一2二 H（r h ）极化电荷总电量为（- ；o）hqdrO0qp _ ； pdS - : P2二rdr =S01. 一个半径为r的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为d处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与 导体球之间的静电力；（2）证明当q与Q同号，且QRD3_Rq （D2 - R2）2 一 D成立时，F表现为吸引力。2.解（1）导体球上除带有电荷量q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号

27、的两种不同电荷。根 据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题图所示）q JDq , d = DDqq =Dq，八°导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为F = Fq j Fq _q ' FQ_qqqq(D+q')224二；0(D -d )4二；0D_ q Q (RD)qRq4 碍0DDb(r,d)2j(2)当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F ：0时，贝V应有Q (R D)qRq22 - 0DD D - R D由此可得出3Q RD R£ 2 2 2 q (D -R2)2 D1. 一圆柱形电容器，内导体半径为a,外导体

28、内半径为b,长为I。设外加电压为U°sint，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。2. 解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同(准静态电场)，即U 0sin 国 tE 二 err ln (b a)故电容器两极板间的位移电流密度为J厂卫",叽遡去:tr ln (b a)dSerrd dz2 二 i U0cos t00 r In (ba)2二；I式中,2二；Iln( b a是长为I的圆柱形电容器的电容流过电容器的传导电流为= CdUdt=C U 0 cos t可见id丸1. 已知在空气中E yO

29、-lrHO二（3°（6 10 1_）辽，求h和二（提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得'° ）2. 解 电场E应满足波动方程-0将已知的E二eyEy代入方程，得C Ey一 2 0 ；0 2 ' 0 :Z:t式中故得则-2 -:Ey、2x-2-'Z疔E0 0 .尹=0.1% 0sin 10二x-(6二 109)2cos(6 109t-0.1(10)2sin 10二 xcos(6 109t - 1 z)= 0.1sin10：x2cos(& 109t - : z)-2-z)-(10 二)2 - 一：2 % ；0(6 二 109)2 =0:二二、3

30、00 = 54.41rad/moU 0 coscot = CcoU 0 cosco t In (b a) E-一 H盘得.：Ey.：Ey_ex' ez ；z ；:xA一-ex0.V sin10 二 xsin(6二 109t - - z)-oez0.1 10二 cos10二 xcos(6二 109t - - z)将上式对时间t积分，得H9ex0.V sin10 二 xcos(6二 109t - - z% 6- 10ez二 cos10二 xsin(6 二 109t- -z)49-ex2.3 10 sin 10 二 xcos(6二 10t-54.41z)49-ez1.33 10 cos10二

31、 xsin(6二 10 t -54.41 z)A/m1在自由空间中，已知电场E(z,t) =eJ°沁曲-矽/m，试求磁场强度H (乙。JI2.解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式E (乙 t)二 ey103 cos(，t - - z - 5) V/m这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为-901 1 ( H (z,t)ez E (z,t)ez ey103cos t - 0 0 .103< B=-excos -1- -z-120-:与之相伴的磁场为31z-2丿2 = -ex2 65sin( -1 - : z) A/mA/m1.均匀平面波的磁场强度H的振幅为3二，以相位常数30rad/m在空气中沿一ez方向传播。当t=0 和z=0时，若H的取向为©，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长2.解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式