直线与双曲线的相交弦问题讲解学习

1、直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 AB J（XX2P（y1 y2）2 （两点之间的距离） AB1k2X2刈,；J(1k2)(xiX2)24x1X2 abJi1y2 J(ik12) (yiy?)2Ayy例1、过双曲线X2一、已知双曲线方程和直线方程求弦长1的左焦点F1，作倾斜角为石的弦AB，求AB ;（2） F2AB的面积（F2为双曲线的右焦点）。4弋入艰曲蜒方诅 * 得 8j 4je 13=0* 谡 A（j：i »x ），方法一订人= /i+F /（X, +a-2）23.才灌二=很攥圖雉曲感的其同悝膚得EFi I =口+才劝= 1+2工j=2+Z（Xi +益）=&#

2、163;22 y1、求直线y x 1被双曲线x21截得的弦长;42 22、过双曲线16x 9y 144的右焦点作倾斜角为 一的弦AB，求弦长 AB32 23、已知斜率为2的直线L被双曲线 y 1截得的弦长为2 5，求直线L的方程;544、过双曲线x2 y2 1的左焦点F2，作倾斜角为 一的直线与双曲线相交于 A,B两点，求:3（1）弦长|AB（2） FiAB的周长（F2为双曲线的右焦点）、已知弦长求双曲线方程2被双5、已知焦点在x轴上的双曲线上一点 P，至U双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y x曲线截得的弦长为 20-. 2，求此双曲线的标准方程.2 26、已知倾斜角为一的直线l被双曲线

3、x 4y460截得的弦长 AB，求直线l的方程.例2、已知双曲线方程为3x2 y23，求以定点A（2,1）为中点的弦所在的直线方程.方區一；星然蚪卓不存在的直处不捋合希眸.v- L ktjc2）逹所求直现方程为y T=Mjc2）.由J整理得* h = 3（护一約F+朕（1一朗）文一仃一 2幻*+3=0设弦的曲疑点 Ctn，y）D（片）* M工+工：=-邙飞"* 由嗯意咼+探=4：二當三馥二4.解僭怡=6.代人亦4工33 X 32>0? 所以所求直蓟才程外l = f5（x-2）即Lr-y 11 = 6區二:设过.4（趴I的宜纭导衆1曲践3/- 7-3相吏于Pq CQ（仝*屮、裔点

4、. j 3j y 3.则：1画式厠减再3«加+及）Qi 一业一（1+讯】匕1亠曲）=0®乱珀羽才3T g 妣=龙寸;+加=缶心丸埒居三出一乞即论；r氣则史纯RQ的方程为&工一孑一11=0旃工=2代人3y-b=3,y=±3化盍人乙打才斌曲纯的內部，故过A的去轨銓然导处曲线相史.从丙所求的克璇方科为右工一y】1兰a解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的 关系或“平方差法”求解此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检 验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求

5、直线必须进行检验，以免 增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式 >0进行验证即可.例3、双曲线方程为3x2y2 3.问：以定点B（1,1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由.冕过也1* 1的直強-易肌曲茂y =3輻兗于VKjj小J.'（A*2 y盘-丸则y 两式相决静乳上】+毗"冷卜从4厂$：）； 1）（3'=3玄洌典J4.MN的中血.川疽©+込"趴+了厂真找兀旅里二辿亚乳帥-3.剧盘竝囂N的方桎炖恥仇Ij X|N M衣肚曲魄禹外邮.股要逊址一W 是占占我也疑切交”科严3x-?代入匸乳帚$分一】力+了=

6、0iKO.出红耳纵松枝无耋点负円M BflD为也Ci不冷血”7、已知中心在原点，顶点Ai,A在x轴上，离心率为二21的双曲线经过点3P(6,6)（I）求双曲线的方程;（n）动直线l经过 A1PA2的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M , N，问是否存在直线I使G平分线 段MN。试证明你的结论。解®设祈求朗黴曲绒方程为冷-斗=，弋二J半且应（3线经过点円（6启几戎曲谿T屋为兰一疋二服 ti b1 3912由务件苗坐标分别为（6上卜n讥二&盒坐林为屈窗锂直钱;使024平分弐反闷讪耐血呃坐标介别为（巧）.（观丿(1)-(2)#-£)(比+码)(*-再呛】I yy- -y

7、：又血 + % 二2严4”）=厶即4% = 4i+y = -I.=- = =22'阳一咼 312 疋*A <0 J.所求直线K存在-.订程为y 2 = U 丄）由 擁潯J+ 二i»-2 =亍（乂-耳爵悌TM+lfaTL讶th I柚：叶'题型三:（.fl=2.审萤琰如执的社*才-2u ;7 =住乂猛亠扮 m2应7子云卩-百令：H =乎虫人上丄和字爲两求曲ti方戰肖扌辛=1我*一爷=LX29、设双曲线c：-y y21 a 0与直线I : X y 1相交于不同的点 A、B.a求双曲线C的离心率e的取值范围；一 5设直线l与y轴的交点为P，且PA 一 PB，求a的值。1

8、2、x2解：（1）将y = x+ 1代入双曲线 二一 y2= 1中得（1 a2）x2 + 2a2x 2a2 = 0由题设条件知，a1 a2 工04a4+8a2 1 a? >0，解得碍'2且-0va<Hj2且 aH 1/ e-且 eH 2.设 A(X1, y1), B(x2, y2), P(0,1)./ PA= 12PB,'(X1 , y1 1)=y2 1)-_5_ x1= 12X2, X1、X2是方程的两根，且1 a2H0,.172a212X2= 1 a2,5 22a212X2= 1 a2,10.已知双曲线的焦点为F1c,0 , F2 c,0，过F2且斜率为3的直线

9、交双曲线于 P、Q两点，若；5消去X2 得,-芒 289(其中O为原点)，PQ 4，求双曲线方程。17-a>0，a= 13.OP OQ寸押-山淮丄典昭过扎,林*勺* : rh衣扎显33-y.yi =y(Ti.XB h他站覇+71耳=讣.冲&r冋“訊並+忑)亠护=址W當昕+鼾# -册呵阳丄幫H血E、鮒曲 皿 世扎武負企比蹲4=JjV巨1 *5 Ut£js"亦川 肾注新車H也擁牙枉为Z- = r11.双曲线的中心为原点O,焦点在X轴上，两条渐近线分别为I1,I2，经过右焦点F垂直于h的直线分uuuuuuumruuuuuu别交I1, I2于A, B两点.已知OA、A

10、B、OB成等差数列，且BF与FA同向.(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.耐直迪孙删炖一丰盒L石討鮭，耳難Pgy hg"；Z, £, I，6AJ*二.盼Pg話尸虽L心呼Lm、解：(I)设 OA md， AB m，OB由勾股定理可得：(m d)2m2 (m d)2得：d - m4tanAOFb , tan aAOB tan 2AOFABOA由倍角公式2ba2b解得-，则离心率e2.52(n)过F直线方程为b(Xc),与双曲线方程2 X 2 a2工b21联立，将a 2b,c > 5b代入,化简有鸟乂24b8、5Xb21X2(X

11、1 X2)24x1x2将数值代入，有45 32155b 228b24,解得b53故所求的双曲线方程为362-1I o912、已知双曲线2 2字岸=1(b>a>0),o为坐标原点，离心率e= 2，点M( ,5,3)在双曲线上. 11(1)求双曲线的方程； 若直线I与双曲线交于P, Q两点，且OP OQ 0.求 百+ 乔的值.OP| |OQ|22解：(1) / e= 2，二 c= 2a, b2 = c2 a2= 3a2,双曲线方程为 X2 兀=1，即卩 3x2 y2= 3a2.a 3a点 M(Q5, V3)在双曲线上， 15 3= 3a2. A a2= 4.精品文档丿(V所求双曲线的方

12、程为 4 12=!.22x2y123 k212k2|OP|2= x2+ y2=空则OQ的方程为y= kx,3 k212 1同理有|OQF =k23 k212 k2+ 13k2 11 + 1 = 3 k2+ 3k2 1 = 2+ 2k2 = 1 jOP?+ jOQl2=12 k2+ 1= 12 k2+ 1 = 6.13. (2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 C1： 2x2 y2= 1.(2)设直线0P的方程为y= kx(kz 0),联立乡(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；设斜率为1的直线I交C1于P、Q两点.若I与圆

13、x2+ y2= 1相切，求证：OP丄OQ ；，渐近线方程为:y= 士，2x.设椭圆C2： 4x2 + y2= 1若M、N分别是C1、C2上的动点，且 OM丄ON，求证：O到直线MN的距离 是定值.2 x 2 解: (1)双曲线C1： 1 y 1，左顶点A过点A与渐近线y= ,2x平行的直线方程为，即 y=, 2x+ 1.解方程组尸，得2x 1所求三角形的面积为S=2|OA|y|=¥.证明：设直线PQ的方程是y= x+ b,：直线PQ与已知圆相切， 曇=1,即b2= 2.y x bx x2 2b由 22 得 x2 2bx b2 1 = 0. 设 Pg, y“、Q(x2, y2)，贝V2

14、2x y 1x21 b又 y1y2 = (x1 + b)(x2+ b),uuu uur故OP丄OQ.OP OQ = X1X2+ y1y2= 2x1X2+ b(x1+ X2) + b2= 2( 1 b2)+ 2b2+ b2= b2 2 = 0.证明：当直线 ON垂直于x轴时，ON|= 1, OML2，则O到直线MN的距离为撐.当直线ON不垂直于x轴时，设直线 ON的方程为y= kx(显然k1则直线OM的方程为y= x.y kx4x2 y24 k2k24 k2设O到直线MN的距离为d.2 1 + k22 1 + k2|0N|2= 4+Q.同理 |OM|2= 2k口.3,即 d = (|OM |2+

15、 |ON|2)d2= |OM|2|ON|2,1113k2 + 3厂 |OM|2+ |ON|2= k2 + 1 =综上，O到直线MN的距离是定值.五、能力提升1总有公共点，贝U b的取值范围是（2 21.若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与双曲线x y(A)73,3(B)3,3(C)2,2(D)2,222.过双曲线x1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4 ,则这样的直线l有（(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条3.过点P1,的直线I与双曲线2古1a 0,b0有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C) 1

16、或 2(D) 2 或 422xy,4.已知双曲线21 a 0,bab0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A) (1 , 2(B) ( 1, 2)(C) 2 , +R)(D) (2 , +R)6 .直线 l : y kx22与双曲线C :x2y6的右支交于不同两点，贝yk的取值范围是 7.已知倾斜角为2的直线l被双曲线x2 4y2 60截得的弦长|AB 8 2，求直线I的方程.3=（貓尸TX 3"卩再fr>45.说AUr 如心勘剧工.J：是才程的两札2十欽=寻価jt产虫牛处=心1一亦上+4力尸=23工孑兀5卜巧尸引些=垃