第6章高频考点专训

1、专项训练一：巧用线段中点的有关计算名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计 算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立.线段中点问题类型1与线段中点有关的计算1已知A, B, C三点在同一直线上，M , N分别是线段AB, BC的中点.(1) 若线段AB= 20 cm,线段BC= 8 cm,求线段MN的长；(2根据(1)中的计算过程和结果，设 AB = a, BC= b,且a>b,其他条件都不 变，你能猜出MN的长度吗？(直接写出结果)类型2:与线段中点有关的说明题2画线段MN = 3 cm,在线段MN上取一点Q，使MQ = NQ ;延长线段1MN到点

2、A，使AN = 2MN ;延长线段 NM到点B,使BN = 3BM.(1) 求线段BM的长；(2) 求线段AN的长;（3试说明点Q是哪些线段的中点.线段分点问题类型1与线段分点有关的计算（设参法）3.如图，B, C两点把线段AD分成2 : 4 ：3三部分，M是AD的中点，CD =6 cm,求线段MC的长.盂人门游乐场（第 3题）类型2:线段分点与方程的结合（数形结合思想、方程思想、分类讨论思想）4. A、B两点在数轴上的位置如图，0为原点，现A、B两点分别以1个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度同时向左运动.（1）几秒后，原点恰好在两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA： OB= 1 : 2?

3、A 0 -3 Q1? （第 4 题）专项训练二：巧用角平分线的有关计算名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、 差关系求解.角平分线间的夹角问题（分类讨论思想）1. 已知/ AO吐 100。，/ BOO 60 °, OM 平分/ AOB, ON 平分/ BOQ 求/ MON的度数.期縫鬼度刘利用角平分线解决折叠问题（折叠法）2如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点 A落在A处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A'B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度?巧

4、用角平分线解决角的和、差、倍、分问题（方程思想）3.如图，已知/ CO吐2 / AOCOD平分/ AOB且/ CO* 19。，求/ AOB.3题）巧用角平分线解决角的推理证明问题（转化思想）4.如图，已知 OD、OE、OF分别为/ AOB / AOC / BOCB平分线,/ DOE和/ COF有怎样的关系？说明理由.角平分线与线段中点的结合5如图,（第5题）已知/ A0吐 90。，/ BOCC30°, OM 平分/ AOQ ON 平分/ BOC,求/ MON的度数.(2)如果中/ A0吐a，其他条件不变，求/(3) 如果(1)中/ BOOB ( B< 90 ° )，其

5、他条件不变，求/ 的度数ON(4) 从(1)(2)(3的结果中能得到什么样的规律？(5线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)(4),设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规 律.专项训练三：巧解时针与分针的夹角问题名师点金：时钟时针、分针转动角度的问题，注意指针转动一大格，转过的角度为周角的十二分之一，即30 ° .每一个大格又分为5个小格，指针转动一小 格，转过的角度为6° .注意时针与分针转动角度的速度之比是1 : 12，时针转动 30。，分针转动360 ° .分针与秒针转动角度的速度之比是1 ： 60分针

6、转动6 ° （个小格），秒针转动360 ° （ 一周.利用时间求角度类型I按固定时间求角度1. 从上午11时到下午1时30分，这期间时针转过了 下午1:30,时针、分针的夹角是.（2）3点20分时，时针与分针的夹角是多少度？类型2:按动态时间求角度（方程思想）2. 小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关冋题.(第2题)(1) 分针每分钟转6度，时针每分钟转 ;(2) 你能指出各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？图的钟面角为，图的钟面角为.(3) 12 00整，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时

7、，时针和分针各转动了多少度？出躍逸您爲利用角度求时间(方程思想)3. 如图，观察时钟，解答下列问题：(1) 在 2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角?(2) 小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为110下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为110。，那么小明外出用了多长时间？专项训练四思想方法荟萃名师点金：本章涉及的思想方法主要有转化思想、方程思想、分类讨论思想 等.转化思想1 如图，C, D , E将线段AB分成2 : 3 : 4 :四部分，M, P, Q, N分别是AC, CD, DE , EB的中点，且 MN = 21,求线段PQ的长度.M尸 D 总

8、EN上©躍鬼£Z：分类讨论思想2. 已知线段AB = 12 cm,直线AB上有一点C,且BC= 6 cm, M是线段AC的中点，求线段AM的长.方程思想3如图所示，OM ,0B ,0N是/ AOC内的三条射线，OM ,0N分别是/ AOB,/ BOC 的平分线，/ NOC 是/ AOM 的 3 倍，/ BON 比/ MOB大 30。，求/ AOC 的度数.（第3题）4. 两人开车从A市到B市要走一天，计划上午比下午多走 100 km到C市 吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇 汽车赶了 400 km，傍晚才停下休息，一人说，再走从 C市到这

9、里路程的二分之一就到达目的地了，A，B两市相距多少千米?答案专项训练一1解：(1)分两种情况：当点C在线段AB上时，如图，因为 M为AB1 1 1的中点，所以MB = 2AB = 2X 20 =10Cm),因为N为BC的中点，所以BN =尹C1=2X 8H(cm),所以 MN = MB BN = 10 4 = 6(cm);当点 C 在线段 AB 的延1 1长线上时，如图，因为 M为AB的中点，所以MB = qAB = 2X 20 =10(cm),因1 1为 N 为 BC 的中点，所以 BN = qBC= QX 8一4(cm)，所以 MN = MB + BN = 10+ 4=14(sm)IIll

10、iAM C N BI IB _| |- -(第 1 题)1 1(2)MN = 2(a+ b)或 MN = Q(a b).2解：如图.b 用空利，寸(第2题)2因为BN = 3BM，所以MN = -BN.331即 BN = 2MN.因为 MN = 3 cm,所以 BN = 4.5 cm,所以 BM =-BN = 1.5cm.231(2) 因为 AN = 2MN , MN = 3 cm.所以 AN = 1.5 cm.(3) 因为 MN = 3 cm, MQ = NQ ,所以 MQ = NQ = 1.5cm.所以 BQ = BM + MQ = 1.5+ 1.5= 3(cm),AQ = AN + NQ

11、 = 3 cm.所以 BQ = QA，又 MQ = QN ,所以Q是MN的中点，也是AB的中点.3. 解：设 AB = 2k cm,贝U BC = 4k cm, CD = 3k cm,所以 AD = 2k+ 4k+ 3k=9k cm.因为 CD = 6 cm所以 3k= 6,所以 k= 2,则 AD = 9k= 18又因为 M 是 AD1 1的中点，所以 MD = 2AD = 2X 18 =9(cm).所以 MC= MD CD = 9-6= 3(cm).4. 解：(1)设运动时间为x秒，x+ 3= 12 4x, x = 1.8.答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间.(2)设运动时间为t秒.B

12、与 A 相遇前：12 4t= 2(t+ 3), t = 1B 与 A 相遇后：4t 12= 2(t+ 3), t = 9.答：1秒或9秒后，恰好有OA： OB= 1 : 2.专项训练二1 解：如图，当OC落在/ AOB的内部时,因为OM平分/ AOB, ON平分/ BOC,1 1所以/ AOM= 2/ AO吐 2X 100 °= 50 ° ,11/ BON= 2/:BOO 2X 60 °= 30 ° ,所以/ MON=Z AOB-/ AOM-Z BON= 100 ° - 50 ° - 30 °= 20（第1题）(2)如图(2

13、),当OC落在Z AOB的外部时，因为OM平分Z AOB ON平分Z BOC,1 1所以Z BOM= ?Z AO吐 50 ° ,Z BON = ?Z BOO 30所以/ MONkZ BOW/ BON= 50 ° + 30 °= 80 ° .综上可知，/ MO的度数为20。或80 ° .点拨：本题没有图，作图时应考虑 OC落在/ AOB的内部和外部两种情况， 体现了分类讨论思想的运用.2. 解：由折叠可知/CBA=Z CBA ,/ EBD-Z A BD.因为/ ABC+Z A BC+Z A BD+Z EBD- 2( / A BC+Z A BD)=

14、1180 °，所以Z CBD-Z CBA'+Z A BD< 180 °= 90 ° ,即两折痕BC与BD间的夹角为90 ° .点拨：本题可运用折叠法动手折叠，体验“重合”“折痕”的具体含义， 便 于寻找角与角之间的关系.3. 解：设Z AOO x。，贝UZ CO吐 2x°.113因为 OD 平分Z AOB 所以Z AOD-2Z AO吐 2( Z AOC+Z BOC)* ° .3又Z DOC*Z AOCKZ AOC，即 19 °=2乂 ° - x。，解得x ° * 38 ° .所以Z

15、 AO吐 3x°* 3 X 38 ° * 114 ° .点拨：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方 程求出角的度数，体现了方程思想的运用.4. 解：Z DOE=Z COF.理由如下：1因为OD平分Z AOB 所以Z DOB=?Z AOB.因为OF平分Z BOC，所以1 1 1 1Z BOF* 2Z BOC，所以Z DOBZ BOF*?Z AOB+ Z BOC* Z AOC，即1 1/ DOF=/ AOC.又因为 0E 平分/ AOC,所以/ EOG/ AOC,所以/ DOF =/ EOC.又因为/ DOF=Z DOEZ EOF, / EOO

16、Z COF+Z EOF,所以 / DOE=Z COF.点拨：欲找出ZDO与Z COF的关系，只要找到ZDOFZ COE的关系即可.而OD、OF分别是Z AOB Z BOC勺角平分线，那么由此可得到ZDOF与Z AOC的关系，而且又有ZAOO 2 Z COE即转化为寻找Z与OF COE的关系.体现了转化思想的运用.5. 解：因为OM平分Z AOC, ON平分Z BOC,1 1所以Z MOG2, AOC, Z NOG= 2, BOC.1 1 1所以Z MON=Z MOG-Z NOG=AOC- §Z BOO §( Z AOB+Z BOC)11-;ZB OC = -Z AOB= 4

17、5 ° .2 21a(2) Z MON=2Z AOB= 21(3) Z MON=2Z AOB= 45 ° .(4) 从(1)(2)(3的结果中可看出：ZMON大小总等于Z AO的 一半，而与Z BOC的大小变化无关.(5) 可设计的问题为：如图，线段 AB= a,延长AB到C使BC= b,点M、N 分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长. (第 5 题)1 1解：因为点M、N分别是线段AC、BC的中点，所以MC = qAC, NC =qBC.1 1 1所以 MN = MC-NC = 2(AC BC)=qAB =规律：线段MN的长度总等于线段AB长度的一半，而与线段BC的

18、长度变化无关.专项训练三1. 解：(1)75 ° ;135 ° ;(2) 时针每小时转30。，分针每分钟转6 ° .时针从指向12开始转过的角度：133X 30 ° = 100。分针从指向12开始转过的角度：20 X 6 ° = 120 ° 120 ° 100=20。，即3点20分时，时针与分针的夹角是20 ° .2. 解:(1)0.5; (2)30; 22.5;(3) 设x分钟后分针与时针再次重合，则 6x 0.5x= 360,720720解得x=，即经过需分钟会再次出现时针与分针重合的现象.111172011X

19、 0.536011720432011答：时针转了360,分针转了43203. 解：(1)设从2时经过x分，分针与时针的夹角为直角，依题意，有6x60- 0.5x= 90,解得 x=30011 .答：在2时31分时，时针和分针的夹角为直角.(2)设小明外出用了 y分钟，则时针走了 0.5y度，分针走了 6y度.根据题意，列方程为6y= 110+ 0.5y+ 110,解得y= 40.答：小明外出用了 40分.点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分转动6时针每分转动0.5。，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系.专项训练四1. 解：设 AC = 2x，贝U CD

20、= 3x，DE = 4x，EB= 5x,由 M， N 分别是 AC,EB 的中点，得 MC = x，EN = 2.5x.由题意，得 MN = MC+ CD + DE + EN =x+ 3x+ 4x+ 2.5x= 21,即 10.5x= 21,所以x= 2,1 1J则 PQ= 2CD + 2DE = 3.5x= 7.点拨：解答此题的关键是设出未知数，禾U用线段长度的比及中点建立方程, 求出未知数的值，进而求解.体现了转化思想在解题中的应用.2. 解：（1）当点C在线段AB上时，如图.A M（第2题）1 因为M是线段AC的中点，所以AM = qAC.又因为AC= AB BC,AB = 12 cm,

21、1 1 BC= 6 cm,所以 AM = 2(AB BC)=(12 )= 3(cm).(2)当点C在线段AB的延长线上时，如图.3 X(第 2 题(2)1因为M是线段AC的中点，所以AM = ?AC.1 1又因为 AC = AB + BC, AB = 12 cm, BC = 6 cm,所以 AM =?AC = -(AB + BC)1二只(12 +)= 9(cm).所以线段AM的长为3 cm或9 cm.3. 解：设/ AOMx，则/ NOC= 3x.因为OM , ON分别是/ AOBZ BOC的平分线，所以/ MOB=Z AOM= x, / BON=Z NOC= 3x.依题意得3x-x= 30 ° .解得 x= 15。，