第一章+因式分解小结与复习

1、因式分解小结与复习考点呈现考点一因式分解的意义例1下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()2A . mx(a+b) = mxa+mxbB . a -2a+1 = a(a-2)+123C. (x+2)(x+4) = x +6x+8D . p p = p (p +1)( p 1)分析：根据因式分解的概念是解答.解：A , C中的变形是整式乘法，错误；D中，p3 p采用先提公因式，再用平方差公式分解，属于因式分解,正确；B中变形的结果不是整式的积的形式，不是因式分解故选D.点评：因式分解与整式乘法是两种互逆变换，可表示如下:考点二因式分解的方法例2因式分解：2x2 4x=分析：只需提出公因式 2

2、x进行分解即可. 解：2x2 4x =2x (x 2).例3下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是()2 2 2 2A. x +x+1 B. x +2x 1 C. x 1 D. x 6x+9分析：根据完全平方式的结构特征，逐一验证四个选项解：完全平方式的一般形式是a2±2ab+b2.A中，中间项应为2x，不正确；B中，x2与一1符号相反，不正确;C中只有两项，不正确； D中符合完全平方式的特征，正确故选D.考点三利用因式分解求值例 4 若 m n = 1，则(m n) 2 2m+2n 的值是()A . 3B. 2C. 1D . 1分析：先将待求式进行因式分解，然后代值计算解：(m

3、n) 2 2m+2n= (m n) 2 2 (m n) = (m n) ( m n 2)./ m n = 1,原式=(1) X( 1 2) =3.故选A.点评：求代数式的值，如果给出的条件不能直接运用，可以考虑运用因式分解转化为含有已知条件的因式，然 后再代值计算例5已知(2x _21)(3x _7) _(3x _7)(x _13)可因式分解为(3x a)(x b),其中a , b均为整数，则a3b =.分析：利用提公因式法，可先将 (2x _21)(3x _7) _(3x _7)(x _13)进行因式分解，再结合题中已知的分解结果 (3x a)(x b)，可求得a，b的值，进而求出 a 3b

4、的值.解：(2x _21)(3x _7) _(3x _7)(x _13) = (3x _7)(2x _21 _x 13) = (3x _7)(x _8).将上述因式分解的结果与(3x a)(x b)对比可得a - _7 , b - 8将a, b的值代入待求式，得 a 3b = -7 3 (丿)=-31 .例6若非零实数a, b满足4a2+b2=4ab，则b=.a分析：已知等式变形后符合完全平方式的特点，整理得到a与b的关系，再代入待求式求值.解：将4a2+ b2=4ab移项、整理得(2a b) 2=0,所以b=2a.将其代入待求式得 卫=空=2.a a考点四因式分解与三角形例7已知a , b

5、, C是厶ABC的三边，且满足 a 2+ b2 4a 8b+ 20= 0，求 ABC的最大边c的取值范围.分析：根据已知条件先求出a, b的值，再利用三角形的三边关系确定出c的取值范围.解： a 2+ b2 4a 8b+ 20=a 2 4a+ 4 + b2 8b+ 16 =( a 2) 2+( b 4) 2= 0, a 2= 0, b 4= 0. a= 2, b = 4./ c为最大边，且c可能等于4, 4< c<6.考点五开放型题例8 (1)把4/+ 1加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，请你写出三个符合条件的单项式;(2)写一个二项式，再把它因式分解(要求：二项式含有字母x

6、和y,系数、次数不限，并能先提公因式法，再用公式法分解).分析：(1 )完全平方式可以是二次三项式、四次三项式或单项式等；(2)先写出符合要求的二项式，再用提公因式法和公式法分解，而公式法对二项式只能用平方差公式分解.24解：(1)答案不唯一，如4x, 4x, 4x， 1 , 4x 等.(2)答案不唯一，如 x2y y= y (x2 1)= y (x+ 1) (x 1),或 x3y xy3= xy (x2 y2)= xy (x+ y) ( x y),或 2xy2 8x3 = 2x (y2 4x2)= 2x (y+ 2x) (y 2x)等.误区点拨1.忽视特征，符号出错例1因式分解-x2y2.错

7、解：x2 y2 =(x y)(x-y).剖析：本题是不重视平方差公式的特征，对平方差公式中“两数的平方差”这个特征不理解而致错能用平方2 2差公式因式分解的多项式是 a -b,不符合这种形式的要适当变形.正解：法一：_x2 y2 = _(x2 -y2) = _(x y)(x-y).法二： -x2 y2 = y2 _x2 =(y x)(y _x).2只顾字母，数字出错例2因式分解4x2 - y2.2 2错解：4x - y = (4x y)(4x - y).剖析：本题是只重视字母，忽视系数而出错对平方差公式a2 -b2 =(a - b)(a -b)中的a, b不理解其含义，在这里公式中的 a, b

8、应分别是2x, y.正解：4x2 -y2 =(2x)2 -y2 =(2x y)(2x-y).3. 只顾两头，中间出错例3因式分解3a3 6a212a .3222错解：3a 6a 12a =3a(a 2a 4) =3a(a 2).剖析：本题是对完全平方公式 a2 2ab b(a b)2只注重两头的项，而忽视中间两数积的 2倍导致出错.多2项式a 2a 4不是完全平方式，不能因式分解.正解：3a3 6a2 12a = 3a(a2 2a 4).4. 忽视整体，分解出错例 4 因式分解 4(x 2y)2 -12(x 2y) 9 .错解：4(x 2y)2 -12(x 2y) 9 =4(x 2y)(x 2

9、y -3) 9.剖析：本题不重视整体运用公式而部分分解，导致出错.完全平方公式里的a, b可以是任何数、单项式或多项式.这里的a , b应分别是2(x 2y)和3.正解:4(x 2y)2 -12(x 2y) 9 =2(x 2y) -32= (2x+4y-3) 2 .5. 半途而废，结果出错例5因式分解x4 -8x2 - 16 .错解：x4-8x216 =(x2)2-24 x242二(x2-4)2.剖析：本题是因式分解不彻底而出错多项式x2 _4还可以继续分解.正解：x4 -8x2 16 =(x2 一4)2 二(x 2)(x 一2)2 =(x 2)2(x 2)2 .跟踪训练1.下列从左到右的变形

10、是因式分解的是()B.x2 y2+ 2= (x+ y) (x y) + 22A. (X 4) (x+ 4) =x 16C.2ab + 2ac=2a (b + c)2.下列多项式中，公因式是A.15a2b 20a2b2 + 100a2C.10a2b2 20a2b3 + 50a4JD. (x 1) (x 2) = (x 2) (x 1) 5ab2的是()B.30a2b3 15ab4 10a3b224“33, .42D.5a b 10a b + 15a b3.下列多项式不能运用平方差公式因式分解的是()A. - m24C.x2y2 -14. 下列因式分解结果正确的是(A. a? 4b = (a +

11、4b) ( a 4b)2 2C.8xyz 6x y =2xyz (4 3xy)5. 因式分解：a (x y) b (y x)6. 因式分解：9x2 49y2=2 2B. m -a iim a2 2D. _x - y)B.3x2y 3xy+ 6y=3y (x2 x+ 2)2 2D.a + 4ab+ 4b =(a+ 4b)+ c (x y)=; 8y16 y =.7. 因式分解 9aa3 =, 2x212x+18=.8. 多项式9x2+ 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)9. 把下列各式因式分解：2 3212112(1) 5a

12、b + 20ab 5ab; (2) a ab+ b .43910. 把下列各式因式分解：(1) 5x5 405x; (2) (x2 + 6x) 2+ 18 (x2 + 6x) + 81.11. 先因式分解，再求值：11(1) a (8 a) +b (a 8) c (8 a),其中 a=1, b= , c=;2211(2) (2x+ 3y) 2( 2x 3y) 2,其中 x= , y=.68第4页共5页因式分解小结与复习跟踪训练参考答案1.C2.B3.D4.B5.(x y) (a+ b+ c)6.(3x 7y) (3x+ 7y)(y4)7.a(3 a)(3 -a) 2(x -3)229.(1) 5ab (ab 4b + 1)81 48.答案不唯一，如6x或 x4(11 、(2) a b i .<23丿10.(1) 5x (x2 + 9) (x+ 3) (x 3) . (2) (x+ 3)11.(