第十章重积分

1、第十章重积分教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中 值定理。2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。§ ,1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱

2、体的体积设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面 它的顶是曲面z=f（xy）这里f（xy）_0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体 现在我 们来讨论如何计算曲顶柱体的体积资料个人收集整理，勿做商业用途首先用一组曲线网把 D分成n个小区域丄、i. * ； 2 ；：n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱 体分为n个细曲顶柱体 在每个丄:'i中任取一点（i . i）以f（ . i）为资料个人收集整理，勿做商业用途 高而底为厶口的平顶柱体的体积为f （U® Aq （日.2 严n 八这个

3、平顶柱体体积之和nV 八 f（ i,i =1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即nV =lim ' f （ i, i）*i其中，是个小区域的直径中的最大值.2平面薄片的质量，设有一平面薄片占有 xOy面上的闭区域 D它在点（x y）处的面密度为：?（x y）这里：?（x y） 0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M资料个人收集整理，勿做商业用途用一组曲线网把D分成n个小区域. '：c 1 . 士 2 ./'： ；/n ,把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：( i . ip：o .各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

4、：nM ；： X(，i)*ii =1将分割加细取极限得到平面薄片的质量nM =lim、珥 i,其中，是个小区域的直径中的最大值.定义设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域-u i . y 2. : :n ,其中丄:表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个A门上任取一点(i. i)作和nV f( i, i)壮ii 1如果当各小闭区域的直径中的最大值，趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)!f(x,y)d 二在闭区域D上的二重积分 记作D即资料个人收集整理，勿做商业用途n11 f (x,y)d；- lim '二 f ( i, i)Dr0i Tf(

5、xy)被积函数f(xy)d；域积表达式d；面积元素xy积分变量D积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 ：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域厶口的边长为 細和細 则丄;n=.-：xr"：yi因此在直角坐标系中 有时也把面积元素 d；：记作dxdy而把二重积分记作 资料个人收集整理，勿做商业用 途f (x, y)dxdyD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性 当f(xy)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数f(xy) 在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数

6、f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二 重积分都是存在的 资料个人收集整理，勿做商业用途二重积分的几何意义 如果f(xy)_O被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点 (x y)处的竖坐标. 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的 柱体就在xOy面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 资料个人收集整理，勿做商业用途二重积分的性质 性质1设Cl、C2为常数则. .Cif(x,y) C2g(x, y)d；丁 二q . f(x, y)d二 C2 . .g(x,y)d二DDD_性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二

7、重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域 d1与d2贝y资料个人收集整理，勿做商业用途f (x,y)d： if (x,y)d，.亠 11 f (x, y)dcDD1D2ill d；d二-；性质3 DD(匚为D的面积).性质4如果在D上f(x yHg(x y)则有不等式f (x,y)d；一 g(x,y)d 二DD特殊地有|f(x,y)d；任 | f(x, y)d-DD性质5设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值匚为D的面积则有m- . 11 f(x,y)d；_M；D性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续匚为D的面积则在D上至少存 在一点

8、C .)使得资料个人收集整理，勿做商业用途f (x,y)d；：.，f ( , )cD§9,2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X-型区域D gx)弓2(x) an处.Y型区域：D H(x)_y _ 2(x) c_y，混合型区域：设 f(x y) _0 D =( x y)| 1(x)2(x) a 空b.” f(x, y)d此时二重积分d在几何上表示以曲面 z=f(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积.对于ab曲顶柱体在x次o的截面面积为以区间3(x0).2(X0)为底、以曲线 z=f(xoy)为曲 边的曲边梯形所以这截面的面积为资料个人收集整理，勿做商业用途心)=：x； f

9、(x0,y)dy根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为bb q(x)V = “(x)dx = (Upi(x) f(x, y)dydxb I af(x, y)dydx”f(x,即V = D可记为b qa（x）f（x,y）d；= adx ；（x）f（x,y）dyD1类似地如果区域D为Y型区域D ： -1（x）y J 2（x） c：7<d .则有d 巴（y）f （x,y）d；：.，c dy =（y）f （x, y）dxD1例1计算ffxDD是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域：1空殳.1勻空于是2 x口 xydb = 1 1 xyd

10、ydxD二：x手忸二11（x<x）dx 4242 x2 xJJxydb = 1 dx 1 xydy=xdx （ ydy 注积分还可以写成 D解法2也可把D看成是Y_型区域：1旬殳y強殳 于是2 2斗抽知dy,2y 二y2-=_9_8! ! *、1 x2 _y2d二例2计算D其中D是由直线y=1、x1及y=x所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X-型区域：-1空乞1x勻叩 于是y、.1 x2-y2dD1 3 1一x2-y2）21xdx“3y（|x|3-1）dx一2 0（x -1）d2也可D看成是Y-型区域：-1 _y_1 ,.：-1 _x<y于是-1y.y.1 X2 -y2d &q

11、uot;dyX2 -y2dxD_.xyd -例3计算D其中D是由直线yn_2及抛物线y2=x所围成的闭区域解积分区域可以表示为 D刃1 +。2 .其中 D1: 0 _x _1, -x _ y 一 i x D2 : 1 _x 一4, 2 一 y 一、x 于是1<x4<x11 xyd dx xydy 亠 i dx xydy0- - x1x -2D积分区域也可以表示为D :-1勻空y2_x_y于是2y42xyd 二二 /丫2 xydx D.f(x,y)d匚D资料个人D分为n个小闭2其中：i表示相邻两圆弧的半径的平均值222cu=丿知弘知諾y(y 2)2y5dy6-5i讨论积分次序的选择

12、例4求两个底圆半径都等于二的直交圆柱面所围成的立体的体积 解设这两个圆柱面的方程分别为X24y2=P2 及 X2+z2=P2.利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积Vi然后再乘以8就行了第一卦限部分是以 D=(xy)| 0乞r2-x2 ,:为底以zR2 -X2顶的曲顶柱体于是心严汕。=8 fdx 02 JR订屁丫 =8讥応？ yoEdx =8R(R2-x2)d16R3二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量人7表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 收集整理，勿做商业用途njjf (x,y)d仃

13、=im迟 用丿旳按二重积分的定义 D'.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点0出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 区域 小闭区域的面积为资料个人收集整理，勿做商业用途*弓(心2-1平心兮(2一 -?iPv-i4 在厶；:-i内取点(：i，千)设其直角坐标为(i. “ .则有 i =，i cosi i 二片 sin 耳nnlim ' f ( i, )=lim ' f (一 cosS,斤 sin") 用 口于是'Um11 f(x, y)d；：= f ('cost, 'sin 二) 即DD若积分区域D可表示

14、为W 1(6)兰佞9 2(8) a如邙.fLcosrsi nr)d、d宀f (cosv,sin v)d则D讨论如何确定积分限？I if(cost,sin v)ddvDfdTf®f(PcosT,Ps in G)PdPf( rcosisinREdrD2 二drE f c、cosn ?sinRTdr例5计算0兰P鱼.0兰虫2兀，11 e dxdy 二 e"v于是dd=讥计Pd日=家-討0Od日其中D是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中 闭区域D可表示为冷（1心2）："二（1心2）注此处积分e fj D2 2I ie_y dxdy也常写成X2于_a

15、22 2 2口e* t dxdy =兀(1e)鈕利用X2 y2左2计算广义积分0 dx :QQQ设 Dg(xy)|x y :-R x_0y_0.2 2 2 D2-(xy)|x y _2R x_0y_0.S=(xy)|0致乐.0马歩.2 2显然Di S D2由于 e T 0从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式为 因又应用上面已得的结果有e$T2dxdy(1-e")丁4D2dxdy = 4(1_/R2)2 R 2"2于是上面的不等式可写成(V ) :(0e dx)2 <-(VR )ef令R,上式两端趋于同一极限4从而 0例6求球体x2 y2 z4a2被圆柱面x2 y2

16、ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积 资料个人收集整理，勿做商业用途解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍，V2 x2 _y2dxdyD*其中d为半圆周y=2ax-x2及x轴所围成的闭区域 在极坐标系中d可表示为0<6 < 0_：_2a cos2 ,2acos-i于是V =4JJj4a2_P2 RR8 =4 02d8 £j4a2_P2PdPD= 32a2 2(i_sin) -32a2(-)3032 3.§9 3三重积分一、三重积分的概念定义设f(xyz)是空间有界闭区域 门上的有界函数 将门任意分成n个小闭区域LVi i.V2二 Vn其中.Wi表示第i个

17、小闭区域也表示它的体积在每个.:Vi上任取一点()作乘积n' f ( i , i, i'：Vif( i . i . ipvi(i =1 . 2 .n)并作和i詔如果当各小闭区域的直径中的最大值，趋于零时这和的极限总存在 则称此极限为函数f(xyz)在闭区域门上的三重积分记作. . .f (x, y, z)dvQ即资料个人收集整理，勿做商业用途n三重积分中的有关术语in f(x,y,z)dv = lim v f ( i, i, J." .' 0 i d积分号f(x y z)被积函数f(xyz)dv被积表达式dv体 积元素xy z积分变量.'.积分区域 资

18、料个人收集整理，勿做商业用途在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分则厶xiyAzi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作 资料个人收集整理，勿做商业用途 f (x, y, z)dw i n f(x, y,z)dxdydz QQnimfGi,7)Avi当函数f (xyz)在闭区域上连续时 极限是存在的因此f(xyz)在门上的三重积分是存在的以后也总假定f(xy z)在闭区域门上是连续的.三重积分的性质与二重积分类似，比如!cif(x,y,z)C2g(x, y,z)dv =0 ! f(x, y,z)dvC2 !g(x, y,z)dv QQQ. f(x,y,z)dv = . f(x

19、,y,z)dv . f(x, y,z)dv' 1-' 2T门h i dv =VQ其中V为区域0的体积,二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域丨可表为zi(x y) <<Z2(x y) yi(x)乞y_y2(x) a _x Jbin f(x, y,z)dv 二QDZ2(x,y) z (x, y)f (x, y,z)dzdcby2(x) Z2(x,y)= JdxJ f(x,y,z)dzdyayi(x)z(x,y)by2(x)Z2(x,y)dx dy f (x, y,z)dzayi (x) ，z(x,y)by

20、2(x)z，(x, y)即打侮,八曲宀%(肿律紳)f(x,y,z)dz其中D : yi(x)马兰y2(x) a致切它是闭区域0在xOy面上的投影区域，提示：设空间闭区域I】可表为zi(x y) _z_z2(x y) yi(x) _y_y2(x) a _x_b!f(x,y,z)dv计算八.基本思想：对于平面区域D :yi(x)马兰y2(x) a致如内任意一点(x y)将f(x y z)只看作z的函数 在区间zi(x.y).Z2(x y)上对z积分 得到一个二元函数F(x y)资料个人收集整理，勿做商业用途Z2(x,y)F(x,y)f(x,y,z)dzzi(x,y)然后计算F(xy)在闭区域D上的

21、二重积分 这就完成了 f(x yz)在空间闭区域 门上的三重积分，z2(x,y)F(x,y)Z(x,y)DD(x,y,z)dzd 二b y2(x) Z2(x,y) adXyaxy)f(x,y,z)dzdyz2(x,y)MfgzgW)QDf (x,y,z)dzd 二b y2(x) Z2(x,y)= adxy1(x)z(x,y)f(x, y,z)dzdy,Z2(x,y) dyz(x,y)f (x, y, z)dz十Py2(x)Z2(x,y). f(x,y,z)d，adxyi (x)dyzi (x,y) f(X,y,z)dz 即门 其中D : yi(x)含兰y2(x) a致虫它是闭区域0在xOy面上

22、的投影区域i n xdxdydz例1计算三重积分。其中0为三个坐标面及平面 xPy+z=1所围成的闭区域10兰 y 詁(1x)0空兰 1=_2y.2. 0強M ,111_x_2yin xdxdydz = °dx°2 dy °xdz于是Q解作图区域可表示为：11 了 (1x2y)dy°xdx1 1 2 3 1 = 4°(x-2x2 x3)dx 诂讨论其它类型区域呢？有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域i.J(xy z)|(xy). DzC1殳_C2其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域I】所得到的一个

23、 平面闭区域 贝U有资料个人收集整理，勿做商业用途C2UJ f(x, y,z)dv=C dz"f (x, y,z)dxdyQ1Dz. Z2dxdydz丘工.云詁例2计算三重积分 0其中。是由椭球面a2 b2 c2所围成的空间闭区域解空间区域门可表为：于是川 z2dxdydz = f z2dzjjdxdyQyDzz2dabc3151练习I 二 f (x,y,z)dxdydz1将三重积分 门化为三次积分其中(1) 1】是由曲面z=1-x2-y2z=0所围成的闭区域.(2) 1】是双曲抛物面xy=z及平面xy-1=Oz=0所围成的闭区域，其中门是由曲面z=x22y2及z=2x2所围成的闭区

24、域，I = . f(x, y,z)dxdydz2将三重积分 |化为先进行二重积分再进行定积分的形式其中'-1由曲面Z=1x2_y2z=0所围成的闭区域 资料个人收集整理，勿做商业用途2利用柱面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为)则这样的三个数:、二、z就叫做点M的柱面坐标这里规定几=z的变化范围为资料个人收集整理，勿做商业用途0茁v ：. 0 2%：w<z< ：,坐标面 0二-0点M的直角坐标与柱面坐标的关系：x cos y = Qsin jXriCosTy-fSin Oz=z f -z柱面坐标系中的体积元素dv=：ddpz简

25、单来说 dxdy = ：d ：d v dxdydzxdy dz=Jdd Pz柱面坐标系中的三重积分：I II f (x, y, z)dxdydz 二 f( "co's in yz)dd)dz QQi n zdxdydz例3利用柱面坐标计算三重积分闭区域解闭区域门可表示为：斤立空.04立.0兰日空工Q其中0是由曲面z/+y2与平面z=4所围成的i n zdxdydz 二z?d?d 対z于是；'；1412兀 24d.zdzl o&o 珥16-W弓2二8詔-1先643利用球面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、二来确定其中T

26、r为原点O与点M间的距离.:为OM与z轴正向所夹的角为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段 OP的角这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、叫做点 M的球面坐标 这里r、：、潮变化范围为 资料个人收集整理，勿做商业用途0刍鈕.0曲 兀.0兰日空兀，坐标面r=r° 1的意义：点M的直角坐标与球面坐标的关系：”x = rsi n cosTy = rsin®sin 日x=rsin cosvy=rsin sin vz=rcosz _ r cos球面坐标系中的体积元素dv=r2sin drd d.球面坐标系中的三重积分：.1.1.1 f(x, y, z)dv 二 f (

27、r sin cosprsin sin -, r cos ：)r2sin drdQQ例4求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解该立体所占区域 门可表示为：0台仝acos申.0生®勿.0呦殳兀.于是所求立体的体积为V = dxdydz =r2sin drddrQot=2二 sin d :2' 2acos2=L d叫 d® 0r2sin®dr2acos :r2dr=16；a fcos3半 sin=43(1-cos4a)提示 球面的方程为x2y2(z_a)2=a2即x2 y2 z2 =2az在球面坐标下 此球面的方程为2r -2arcos 即卩r

28、 2acos资料个人收集整理，勿做商业用途§9,4重积分的应用元素法的推广：有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理这种元素法也可推广到二重积分的应用中如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时所求量U相应地分成许多部分量且U等于部分量之和)并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域d；:时相应的部分量可近似地表示为f(xy)d；二的形式 其中(x y)在d匚内则称f(xy)d；为所求量U的元素 记为dU以它为被积表达式 在闭区域D上积分 资料个人收集整理，勿 做商业用途U =f(x,y)d 匚D这就是所求量的积分表达式.一、曲面的面积设曲

29、面S由方程Z=f(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(xy)在D上具有连续 偏导数fx(xy)和fy(x y)现求曲面的面积 A资料个人收集整理，勿做商业用途在区域D内任取一点P(x y)并在区域D内取一包含点P(xy)的小闭区域d二其面积也记为de . 在曲面S上点M(xyf(xy)处做曲面S的切平面T再做以小区域d二的边界曲线为准线、母线 平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近 似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为贝U资料个人收集整理，勿做商业用途dA二去J仔化y)对(兀y)d二这就是曲面S的面积元素.于是曲面S的面积为

30、A：上1 f?(x,y) f：(x,y)d 匚DA二.1 (:z)2 (:z)2dxdy或 D ；X 门设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域 d- M在xOy面上的 投影为点P(xy)因为曲面上点 M处的法向量为 n=(fx.-fy. 1)所以资料个人收集整理，勿做商业用途 dA=|n|d,1 f?(x,y) fy2(x,y)d-提示 dA 与 xOy 面的夹角为(n A k) dAcos(n A k)=d；.-4nk=|n|cos(n Ak)= . cos(n Ak)=|n| “讨论 若曲面方程为x和(yz)或y=h(zx)则曲面的面积如何求？其中Dyz是曲面在y

31、Oz面上的投影区域 Dzx是曲面在zOx面上的投影区域 例1求半径为R的球的表面积，解上半球面方程为z =、R2 -x2 -y2 x2 "乞r2 ,因为z对x和对y的偏导数在D x2 yR2上无界所以上半球面面积不能直接求出因此先求2 2 2在区域Di x y <a （a :R）上的部分球面面积然后取极限资料个人收集整理，勿做商业用途x2 ya2R-RxCy2dxdyrdr、R2-r2=2二R（R-、R2-a2）lim 2nR（RJr2a2）=2?iR2于是上半球面面积为 a >R整个球面面积为 A=2AiPR2,提示：z Lxz Ly1 ,（二z）2 ,（： z）2 R

32、汶、R2-x2-y2'y 、. R2-x2-y2:x :y . R2_x2_y2 解球面的面积A为上半球面面积的两倍 ，上半球面的方程为zR2-x2-y2而:z -x ；：z n汶、R2 -x2 -y2:y . R2 -x2 -y2所以A1（了倚2=2x2 y2 歩2R、R2d-y22兀Rdxdy=2R dd -:R2772 R= YtrJr2-P2 o =4兀R2例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h-36000km运行的角速度与地球自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6400km）资料个人收集整理，勿做商业用途解取地心为坐标原点地心到

33、通讯卫星中心的连线为z轴建立坐标系，通讯卫星覆盖的曲面匕是上半球面被半顶角为：的圆锥面所截得的部分三的方程为zR2 -x2 'V2 2 2.2 2z VR x v X 勺虫 si nd.于是通讯卫星的覆盖面积为Dxy 1其中Dxy=(xy)| x2 y%R2sin2是曲面在xOy面上的投影区域利用极坐标得2 - Rsin -_R_、R2 - 詔Rsin。p2 d- =2：Rd 匸=2二R2(1_cos：)Jr2 - p2cosx由于R h代入上式得A=2：R2(1巳)=2：R2R十hR+h ,由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为A _ h 4R2 2(R h)36 1062(

34、36 6.4) 106:42.5%JI由以上结果可知卫星覆盖了全球三分之一以上的面积故使用三颗相隔 3角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面资料个人收集整理，勿做商业用途、质心设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域 D在点P(x y)处的面密度为：?(x y)假定叫x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标资料个人收集整理，勿做商业用途在闭区域D上任取一点P(x y)及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d；(其面积也记为d；).则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为资料个人收集整理，勿做商业用途dMx=y.(x y)d；dMy=x.'(x y)d 二平面薄片对x轴

35、和对y轴的力矩分别为Mx ：!y"(x, y)d 二 My： iix(x,y)d 二DD、 设平面薄片的质心坐标为 (又y)平面薄片的质量为M则有x M =My y M =Mx于是“X巴人 y)db”y»(x,y)d<!M ii "(x,y)d二 M jj l(x,y)d DD> 在闭区域D上任取包含点 P(xy)小的闭区域d；(其面积也记为d；)则 平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为dMx=y)(xy)d；dMy=x*x y)d-.平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为Mx= y(x, y)d二 M y=x"(x,y)d二DD, 设平面薄片

36、的质心坐标为 (x, y)平面薄片的质量为M则有x M 二My y M =Mx 于是口x%x,y)db”y4(x,y)dbx旦y = M± = DMJJA(x,y)dbMkL(x,y)d<rDD> 提示将P(xy)点处的面积元素d；r看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(xy). 及包含的一直径很小的闭区域 de(其面积也记为dj则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考 虑大小)元素分别为资料个人收集整理，勿做商业用途讨论如果平面薄片是均匀的即面密度是常数则平面薄片的质心(称为形心)如何求？ 求平面图形的形心公式为Il xd 二x二一ndaDyd-y二D毗D例3求

37、位于两圆1-2si和Msin ：之间的均匀薄片的质心解因为闭区域D对称于y轴所以质心C(x, y)必位于y轴上于是x =0 .iiyd；-2sin 対8v因为DDH4sin 日osin 阳 .2小'=7：0-2sin：ii22 -二 12 =3二Dyd-升Z/ 叱"3C(0,7)所以 D所求形心是 3 .类似地 占有空间闭区域 门、在点(xyz)处的密度为：(xyz)(假宽(xyz)在I】上连续)的物体的质心坐标是资料个人收集整理，勿做商业用途. x(x,y,z)dv y 二 Q. . . k(x,y,z)dv z 二讣. . .z(x,y,z)dv Q. M QM 二，(x

38、,y,z)dv其中 '1例4求均匀半球体的质心解取半球体的对称轴为z轴原点取在球心上 又设球半径为a则半球体所占空间闭区可表示为2 2 2 2-=(xyz)| x y za z_0显然质心在z轴上故=0 .!：!：!：z'dvIiizdv- QQz -'! dv !dv _3a故质心为(0,0,肓)0<<p <-提示: 0乞a.2 .0"：丁：2二，二 2_aN dv = fd® 0' d日0 r2si n®drQ 0002 - a*sin®d半 0 d日 0 r2dr2二 a32 二 a2Hzdvu 0

39、2 d® 0 d日 0rcos®r2sin®dr三、转动惯量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域 D在点P(x y)处的面密度为(x y)假定：-(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量 资料个人收集整理，勿做商业用途在闭区域D上任取一点P(x y)及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d；(其面积也记为d；).则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为资料个人收集整理，勿做商业用途2 2dlxy(xy)d；dlyk J(xy)dc,整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为lx 二 y2(x,y)d；ly= x2(x,y)d二DD> "例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量 卩)对于其直径边的转动惯量 解取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为2 2 2D =(xy)| x y <a y _0而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量lx.Ix 二"y2d'=;?2