华南理工大学高数答案第9章

1、第九章 曲线积分与曲面积分作业作业 13 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界dLxs Lyx2yx解：可以分解为及L1:,1,0,1Lyx yx22:,2 ,0,1Lyxyx x12112200ddd1 1 d12dLLLxsxsxsxxxxx11113222220000121 225 512d14d 1414828 321212xxxxxx2，其中为星形线在第一象限内的弧4433dLxysL33cos,sinxat yat 02t 解：为L33cos,sin,0,2xat yat t 223 cossin ,3 sincos ,3 sin cos

2、dxdyattatt dsattdtdtdt 原式47224422330031cossin3 sin cos1sin 2sin222attattdtattdt7772223333003311 cos 2cos2cos2cos 2883at dtatta 3计算，其中折线 ABC，这里 A，B，C 依次为点dxyz s)3 , 4 , 1 (),3 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0(解：:,2 ,3 ,0,1 ,14123xyzABxt yt zt tdsdt:1,3,2,4 ,BC xzyt tdsdt:,4 ,3 ,0,1 ,26143xyzCAxt yt zt tdsdt14023

3、ddd2 3141314182ABBCxyz sxyz sxyz stttdttdt 4，其中为螺线上相应于 从变到22dxyz scos ,sin ,xtt ytt zt t0的一段弧1解：为2cos ,sin ,0,1 ,2xtt ytt zt tdst dt 112222222001d2(22) 222xyz sttt dttt d t 153222201 229 34 26 34 28 232222 5353155tt 5计算，其中 L：22dLxys A0,22aaxyx解：将 L 参数化，22cos ,sincos ,cos ,cos,xrt yrtrart rat xatcos

4、sin ,sin2,cos2,2 2yatt tdxatdt dyatdt dsadt 2222222222002dcos2cos2sin2LxysatadtatdtataA6计算，其中 L 为圆周，直线及轴在第一象限22edxyLs A222ayxxy x内所围成的扇形的整个边界解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分12:0,0,;:sin ,cos ,0,;4Lyxadsdx Lxat yat tdsadt21232:,0,2;2aLyx xdsdt LLLL从而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLase dxeadtedxeeeA112244aaaaaaae

5、eeee 作业作业 14 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1计算下列第二型曲线积分： (1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；ddLxyxxyy AL22221xyab解：为Lcos ,sin , :02xat ybt t原式20sincossincoscossinat atbtbt atbtdt22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababtt dtt(2) ，其中是从点到点的一段直线；dd1 dx xy yxyz1,1,12,3,4解：是111,1,12 ,1 3 , :012 13 14 1xyzxt yt zt t 原式1012 123 1121ttttdt

6、112006 146713t dttt(3)，其中是圆柱螺线从到 dddy xx yz2cos ,2sin ,3 xt yt zt0t 的一段弧；2t 解：是2cos ,2sin ,3 , :02xt yt zt t原式202sin2sin2cos2cos3ttttdt 2200432dtt (4) 计算曲线积分,其中为由点 A (-1, 1)沿抛物线(12e )d(cose )dyyLxyxyxyL到点 O (0, 0), 再沿 x 轴到点 B (2, 0)的弧段2yx解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；2:, : 10AO yxx :0, :02OB yx原式220222010(1

7、2e )d(cose )2 dx(e )dxxxxxxxxx220232210(12e2 cos2e )ddxxxxxxxx22200004211113sine dde21 sin1sin11xxxxxxxxee 2 设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为Fy 的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功m21xy1,00,1F解：2220, 10,:1,:01Fxxdsdx dyL xyy 113522400281 23515LLyyWFdsxdyyydyy 3把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中 ,d,dLP x yxQ x yyL为：(1) 在平面内沿直线从

8、点到点；xOy0,0 1,1(2) 沿抛物线从点到点2yx0,0 1,1解：（1）2:, :01,0;1 12L yx xdxdsdxdx,d,d,dds2LLLP x xQ x xP x yxQ x yyP x xQ x xx（2）22:, :01,0;14L yxxdxdsx dx222,2,d,d,2,dds14LLLP x xxQ x xP x yxQ x yyP x xxQ x xxx作业作业 15 格林公式及其应用格林公式及其应用1填空题(1) 设是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界, L 12 (24)d(536)dLxyxyxy A(2) 设曲线

9、是以为顶点的正方形边界，L) 1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1 (DCBA不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_ddLxyxy A（3）相应于曲线积分的第一型的曲线( , , )d( , , )d( , , )dLP x y zxQ x y zyR x y zz积分是 其中为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线( , , )3 ( , , )ds5LP x y zR x y zL段2计算,其中 L 是沿半圆周33(e sin)d(e cos)dxxLIyyxyxy 从点到点的弧22xay ), 0(aA), 0(aB解：L 加上构成区域边界

10、的负向:0, :BA xx aa 3322(e sin)d(e cos)d3cosaxxLDaIyyxyxyxydydy v34230233cos2sin4aaaadr drydya 3计算,其中为椭圆e31 de33 dxyxyLyxyxxxyy AL正向一周22221xyab解：原式e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy44Ddxdyab4计算曲线积分 其中为连续( )sind( )cosd ,LIfxy xf xyxy)(xf 函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点L222(1)()1xy (2,2)A 的一段弧)0 , 0(O解：令1:, :02Lyx x则，原式111( )sin

11、d( )cosdL LLLDIdxdyfxy xf xyxy22201( )sin( )cosd2fxxf xxxx 22242222031( )sin1222222xf xx 5计算,其中为22ddLx yy xxy AL （1）圆周（按反时针方向） ；22111xy解：，而且原点不在222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 该圆域内部，从而由格林公式，原式0（2）闭曲线（按反时针方向） 1xy解：，但所围区域内222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向） ，在圆环域

12、上用格林公式得，220.01xy1L原式1122dddd1001 120.01LLDx yy xx yy xdxdyxyAA6证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：xOy（1）；,0,0ecos dsin da bxy xy y解：由于在全平面连续，从而该曲线积e sine sine cosxxxyyyxy 分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy0,00,ba b原式00sine cos dcos11 coscos1baxaay dyb xbebeb （2）；2,14231,023 d4dxyyxxxyy解：由于在全平面连续，从而该曲233442423xxyxyxyyxy线积

13、分在平面内与路径无关，沿直线积分也xOy10,1, :122 11 0 xyyxx可，原式 24321211341dx xxxx xx 243213235141dxxxxx 2543213115xxxxx（3）,20,0e cosde sindyyxmxxmyy解：由于在全平面连续，从而该e sine cose cosyyyxmyxxmxy曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy0,0,0,2原式2000cose sindyexm dxmyy2200sin2myxmx 2mm 7设在上具有连续导数，计算 f x, ， 2221d1 dLy f xyxxy f xyyyy其中 L 为从

14、点到点的直线段23,31,2解：由于在 2222111y f xyxy f xyf xyxyfxyxyyyy右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，12:2, :31Lxyyxx原式 2122232421122dd22xffxxxxxxx13xdx1232x1 942 8验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求,d,dP x yxQ x yyxOy出它的一个原函数：（1）；eede1 edxyxyxyxxy解：由于在全平面连续，从而e1 eeexyxyxyxeexyxy该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy,u x y则,e1 e ,eexyx

15、yuuuududxdyxxyxyyx从而 e1 ee1 exyxyuxdyyxg x eeee= exyxyxuxyygxgxxx， =exxxxxg xxdxee dxxeec1 e1 exyuxyxc（2）；223238d812 edyx yxyxxx yyy解：由于在全平面连续，32222812 e31638yxx yyxxyx yxyxy从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy,u x y则原式3223224d412 e dyydxyxx dyx dyyy3322224d412 deyydxx dyyxx dydy32241212e dyyd yxdx ydyey

16、32241212eyyd yxx yye可取32241212eyyuyxx yye（3）222 coscosd2 sinsindxyyxxyxxyy解：可取折线作曲线积分0,0,0,xx y222002d2 sinsindsincosyxuxxyxxyyyxxy9设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力2,28Xxy Yxy场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关证：，2,28Fxyxy质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为L228Lwxydxxydy由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，2282xyyxyxy场力所作的功与路径无关作业作业 16 对面积的曲面积分对面

17、积的曲面积分1计算下列对面积的曲面积分：(1) ,其中为锥面被柱面所截得()dxyyzzxS22zxy222xyax的有限部分；解：为222222,xyxyzxyzzxyxy，2212xydSzz dxdydxdy:02 cos ,22Dra原式2 cos222302d2d d = 2cosaDzx Sx xyx ydrdr4422424022 cos64 2= 2cos=8 21 2sinsinsin415aadad（2）,其中为球面222dxyzS2222xyzax解：为两块222222222,yyyzxaayzxxayzayz，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02

18、Dra原式12222222222d2dDaaayzax Sax Sdxdyayz22222222Daaayzdxdyayz233222220024=42aDdxdyrdraadayzar22332242200=8882aad araaaraar 2计算，是平面被圆柱面截出的有限部分dy S4zyx122 yx解：为两块，4,1,1xyzxy zz 1 1 13dSdxdydxdy :01,02Dr原式3Dydxdy1232200003sin3cos03ardr dr （或由，而积分微元反号推出）, ,x y zxy z 3求球面含在圆柱面内部的那部分面积2222azyxaxyx22解：为两块2

19、22222222,xyxyzaxyzzaxyaxy ，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02Dra原式12222d2DadxdySdSaxycos222022=22ardradarcos2222220022=2=4sin412422ardradaaadaaar4设圆锥面 ,其质量均匀分布,22hzxyaah为圆锥面的底面半径，为高求它的重心位置解：设密度为单位 1，由对称性可设重点坐标为00,0,z2222222221DDhhh ahzdSxydxdyxy dxdyaaa22222220023ah ahah ahdr dra22221DDhahdSdxdydxdyaa22

20、22200aahdrdra aha，故重点坐标为220222233ah ahhza ah20,0,3h5求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变2212zxy01zz更解：2222112DmdSxyxydxdy223200112drrdr22532200224 32(1 1)11122 53515ttdttt 作业作业 17 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1，其中是柱面被平面及所d dd dd dz x yx y zy z x221xy0z 3z 截得的在第一卦限内的部分前侧解：221,:01,03,cos0,01yzyzyxyDyzxxy原式=22d dd dd d01d d1d dyzzx

21、DDz x yx y zy z xyy zxz x131222000321d d21612yzDyy zdyy dzy dz 2计算曲面积分，其中为旋转抛物面下2()d dd dzxy zz x y221()2zxy侧介于平面及之间的部分0z 2z 解：22221(),:4;2xyxyzxyzx zy Dxy22,:02,22 .yzxzyDzzyz 原式=1122()d d()d dd dzxy zzxy zz x y22222212d d2d d()d d2yzyzzxDDDzzyy zzzyy zxyz x22222222300021122d d()d d2222yzzxzDDzzyy

22、zxyz xdzzy dydr dr224232000222824zdzr drz3计算d dd dd dxy y zyz z xxz x y A其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面1, 0, 0, 0zyxzyx的外侧解：分片积分。123:0,cos0;:cos0,0;:0,cos0;xyz41:1,coscoscos03zxy 原式=（由轮换对称性）1234400031d dyzDyz y y z 123411100001113131322348yyyydyyyz dzydy 4把对坐标的曲面积分( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y

23、 zz xR x y zx y化为对面积的曲面积分：（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；322 36xyz（2）是抛物面在面上方的部分的上侧228()zxy解：（1）3 2 2 3cos0,3,2,2 3 ,5 55nn原式=3 ( , , )2 ( , , )2 3 ( , , )dS5P x y zQ x y zR x y z（2）222 ,2 ,1cos0,2 ,2 ,1 ,144xynxynxy原式=222( , , )2( , , )( , , )dS144xP x y zyQ x y zR x y zxy5计算曲面积分,其中为旋转抛物面2()d dd dIzxy zz x y下侧介

24、于平面 z=0 及 z=2 之间的部分221()2zxy解：2222, , 1cos0, , 1 ,:41x ynx ynD xyxy原式=（两类曲面积分的互化） 22222()()dS()1 d d1x zxzxzxzx yxy （第二类曲面积分投影法计算） 22222211()()1 d d42xyDxxyxxyx y （用了重积分的对称性）22()d dxyDxyx y2243002284dr dr6 已知速度场，求流体在单位时间内通过上半锥面( , , ), ,v x y zx y z与平面所围成锥体表面向外流出的流量22zxy1z 解：222212222:,cos0, 1 ,:4xy

25、zxynD xyxyxy同样。22221, 1 ;2xynxyxy2:1,cos0,0,0,1 ,znD1212d dd dd dd dd dd dd dx y zy z xz x yx y zy z xz x yx y 1122222222dSdS2222xyxyxyzxy作业作业 18 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式1利用高斯公式计算曲面积分：(1) ，其中是平面，及222d dd dd dxy zyz xzx y A0 x 0y 0z 所围成的立体的表面外侧；1xyz解：原式2110012226662zDzxyz dvzdvzdzdxdyzdz112334001111131

26zdzzz（2），其中为柱面及平面，()d d()d dx yzy zxyx y A221xy0z 所围成的立体的表面外侧；3z 解：原式3320001zDyzdvzdvzdzdxdyzdz 3201922z (3) 计算 ,2(81) d d2(1)d d4d dyx y zyz xyz x y其中，是由曲面绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向1(13)0zyyx量与 y 轴正向的夹角恒大于2解：加上右侧，构成封闭区域的外侧。221:3,2yxz原式111131( 16)16yDDdvdzdxdydzdxdzdx 3211132342y2设函数有一阶连续导数，利用高

27、斯公式计算曲面积分( )f，式中是22223211()d d()d d()d d3If xyy zf xyz xx zy zzx yyx下半球面的上侧2221(0)xyzz解：加上下侧，构成封闭区域的内侧。221:0,1zxy原式112122240000sinxyzdvddd 1500142cos55 3利用斯托克斯公式计算曲面积分：（1） 式中是圆周，从轴正向看去, 23 ddd ,y xxz yyzz A2222xyzzOz 取逆时针方向解：原式1112235520zDzdxdyzx dydzdxdydxdy （2），其中为圆周,从d3 d2 dy xz yx z A2224xyz0 xy

28、z轴的正向看去， 取逆时针方向 Oy解：原式121 3260 1030228 333dxdydydzdzdxdxdy 作业作业 19 场论初步场论初步1求下列向量场通过曲面指定一侧的通量：A（1），为由平面与，所zyxAijk632zyx0 x0y0z围成立体的表面，流向外侧；解：1d dd dd d0 1 03 2 666z y zy z xx x ydv （2），为以点(3,-1,2)为球心，半径223y2xyxzyzAijk的球面，流向外侧3R解：223d dd d2d d2 12xyy zxzyz xyzx ydv 34331083 2 求向量场沿闭曲线的环流量(从 z 轴正向看32(

29、)()3Axz ixyz jxy k 依逆时针的方向),其中为圆周222,2zxyz 解：32dd3dzAdlxzxxyzyxyAA22226d d1 3d d30 d d3d dzxyyy zyz xxx yxx y 24223400331d d34192224xyx ydr dr3求向量场在点 M (1, -1, 2)处的散度和旋度224,Axyzxyx yz解：242,82 17MdivAyzxyx y divA 22,42,4,2,0, 9MrotAx zxyxyzyxyCrotA4证明向量场为平面调和场，并求势函数2 , 2Ayx 解：由于220,0,0,220,divAyxrotA

30、xyxyxy因此是无源场且为无旋场从而为调和场A由为势函数 2 ,22,0,2xyuy uxuxyg ygyuxyc 5验证下列向量场为保守场，并求其势函数：A（1）；yzzxxyAijk解：由于 ,0,rotAxyzxyzxyzxyzyzzxxy因此为无旋场从而为有势场A由 ,0,0 xyzyuyz uzx uxyuxyzg y zguxyzh zh为势函数uxyzc（2） 2226xyxzyzAijk解：由于26222622,0,yzxzxyyzxzxyrotAyzzxxy因此为无旋场从而为有势场A由22,2 ,26,2 ,xyzyuxy uxz uyzuxxyg y zgz为势函数 22

31、,6uxxyyzh zhz 2223uxxyyzzc6设具有二阶连续偏导数，计算zyxuu,urot grad解：由于uuuu,xyzgrad从而urot grad,uuuuuuyzzyzxxzxyyx222222,uuuuuuy zz yz xx zx yy x 由于具有二阶连续偏导数，从而zyxuu,0u rot grad第九章第九章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分测试题测试题1填空题（1）对坐标的曲线积分化成第一类曲线积分是dddP xQ yR z ，其中为有向曲线弧在点处coscoscosdsPQ , ( , , )x y z的 切向量 的方向角；（2）设为取正向的圆周则曲线积分L

32、922 yx；2(22 )d(4 )dLxyyxxxy A18（3）设曲线积分.与积分路径无关，其中( )esin d( )cos dxLf xy xf xy y 一阶连续可导，且，则；)(xf0)0(f)(xf2xxee（4）=_0_，其中为单位球面222()d d()d d()d dyzy zxzz xyxx y的外侧；1222zyx（5）设，则 0 ，22e sin(2)xAyxyzxzyijk(1,0,1)div |A(1,0,1)rot |A1,0, 12计算下列曲线积分：（1）计算，其中为球面与平面的相交部2dLzs AL2222xyza0 xyz分0a 解：由轮换对称性22222

33、2211ddddd33LLLLLzsxsysxyzsasAAAAA2232d2333Laasaa A（2），其中是，222dLysxyz L22222242xyzaxyax0,0za解：用球坐标表达是L22222242 ,cossin2xyzaaxyax22 cos,2 sincos ,2 sin ,0,xayaza 原式0222012d2sincos1 cos12 2143Lysdtdta （3）其中为椭圆由点经点到点2(2)d ,LxxyyL, 12222byax)0 ,(aA), 0(bC的弧段；)0 ,( aB 解：参数表达是Lcos ,sin ,:0 xayb 原式220(cos2s

34、incos ) cosaabbd 22222200241 sinsin2coscos01 133a bdabdabab （4），其中是与222d()d()dLx y xxyyxyzz AL11222zyx的交线，其方向与轴正向成右手系；122yxzz解：参数表达是L2cos ,2sin ,3 :02xyz原式222200cos41( 4sincos2 2cos )(2 2cos )2dd （5），其中为上半圆周(e sin2 )d(e cos2)dxxLyyxyyL，沿逆时针方向；222(),0 xayay解：加上形成半圆区域的正向边界1:0, :02Lyxa原式222(e sin2 )d(e

35、 cos2)d20 xxL LLDyyxyyda（6），其中是以点为定点，dd|Lxyxy AL(1,0)A(0,1)B( 1,0)C 的正方形的整个边界（取正向） (0, 1)D解：正向:1Lxy原式dd00LDxyd3计算下列曲面积分：（1）,为锥面介于之间的部分22edzSxy22zxy12z解：原式222222201ee2d =22 2xyrDdrdreerxy（2）计算2222222d,xyzRShRxyzh其中解：为两片222zRxy 222222,xxRdzdSRxyRxy 令2222222,rdrtRxyRrdtRr原式22222221122DRdRhhtRhhtRxy2222

36、22001122RRrdrdRhhtRhhtRr22220112222RRRdtRhRhhRhhtRhht（3）其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。是上半球面d d2d d ,yz z xx y的上侧；224yxz解：为2222222, ,4,cos0;:4,x y zzxyD xynxyz原式2cos2 cos2cosyzdSydxdy22222300112881222Dydxdyxy dxdydr dr（4），其中为锥面 222()d d()d d()d dyzy zzxz xxyx y22zxy的外侧；(0)zh解：加上上侧，构成封闭区域的外侧。2221:,zh xyh原式111220000Ddvxy dxdyxy dxdy 22223400110224hDDxy dxdyxy dxdydr drh （5），其中是圆周，若正对着轴正22 d3 ddy xx yzz A22290 xyzzOz向看去，取逆时针方向