中心差分解两点边值问题

1、题目用中心差分格式计算如下两点边值问题dxduxesinx1xuxe2x1sinx1xxx1,1x2dxdxu(1)0,u(2)2已知其精确解为u(x)x(x1)理论作为模型，考虑两点边值问题：,ddu、duLu(p(x)-)r丁q(x)uf(x),axb(1.1)dxdxdxu(a),u(b)(1.2)假定pC1a,b,p(x)Pmin0,r,q,fCa,b,是给定的常数。建立差分格式(1).区域网格剖分首先取N1个节点：ax0为LxiLxnb,将区间Ia,b分成N个小区间：Ii:为1xxi,i1,2,LN于是得到区间I的一个网格剖分。记hxixi1,称hmaxh为网格最大步长。用Ih表i示

2、网格内点x1,x2,L,xN1的集合，Ih表小内点和界点冷a,xNb的集合。1取相邻下点xi1,xi的中点x1-(xi1xi)(i1,2,L,N),称为半整数点。则由节点i22a冷xx3Lx1Lx1-i-N-2222xnb又构成a,b的一个网格剖分，称为对偶剖分。(2).微分方程的离散，建立相应差分格式用差商代替微商，将方程(1.1)在内点xi离散化.注意对充分光滑的u，由Taylor展式有(1.3)u(xi1)u(xii)duhihi1顷1hi1hid2u2、丁"O(h)p(x1)i2rduP.dxiu(xi)u(xi1)du_P.1dxi芝hi24iO(h3)P(x1)i2u(x

3、i1)u(xi)dupdxihi1由(1.5)减(1.4),并除以2=P(xi1)hihi1i22dun-(phihi1dxid,duhi(P)i-dxdxhihi1得一2一，苛u(x1)u(x)hi1rdu_Pdxihi.d223hirduP乩1O(h)24dx|芝(1.4)2n1dup3iO(h)24dx(1.5)p(x)件*i2hiP四iO(h2)12dx3ihid3u2、-p3iO(h)dx1)2duh1Ht(P)iFdxdx12(1.6)令P.1i-2满足方程:p(xii),rir(xi),qi2q(x),fif(x),则由(1.3)(1.6)知，边值问题的解u(x)LhU(Xi)2

4、rp1hih1i2u(x1)u(xi)hi1u(x)12u(xi1)hi(1.7)其中ri-一-一u(xi1)hihi1U(Xi1)qiU(Xi)fiR(u)Ri(u)(hi1d2dui(P)i1hi)(一4dxdx1d3uP3i12dx1d2u2】")O(h)(1.8)为差分算子Lh的截断误差，舍去R(u),便得逼近边值问题(1.1)(1.2)的差分方程:、u(xi)土p1心1)心)hihi1i2hi1Piu(xi)u(xi)xhi(1.9)ru(xi1)u(xi1)qiu(xi)hih1fii=1,2，N-1,u°,un由方程(1.7)(1.9)，截断误差R(u)可表示

5、为(1.10)R(u)LhU(x)LhUiLh(u(Xi)u)当网格均匀，即hh(i1,2,L,N)时差分方程(1.9)简化为LhUi1r，、-rp1Ui1(P1P1)Uiiiih222P.1山1i2Ui1Ui1r-qufi2h(1.11)1.1)的一阶微商和二阶微商的结果。这相当于用一阶中心差商，二阶中心差商依次代替(这个方程就是中心差分格式。截断误差为：R(u)1d2du1d3uh(一2(p)ip3i4dx2dx12dx3<罚i)O(h2)2dx(1.12)xe2x1sinx1xxx1所以截断误差按|Rh(u)|。或|Rh(u)|C的阶为O(h2)。在本题中，p(x)ex,r(x)0

6、,q(x)sinx1x,f(x)0,2因为r=0方程(1.11)的系数对角矩阵是三对角矩阵。我们可以用消元法或迭代法求解方程组(1.1)(1.2)式(1.11)用方程组展开：1,、1rp3U22(P3p1)q1U12P1U0f1h2h22h2LL1hpk1Uk1pk)2qkUph2N1UN22(p1hN1p3)qN1UN1N一2pi)qmf1h2pi12ph2N1,2(p1p3)qN1UN1NN-写成矩阵形式为:Pi)qh221h2P21-1祁p312(p5p3)。h2201Rp；LLLL0000uU2LLLM0LL01h2pN；+(pN3PN5)qN2221h2PN|UN2UN10LL001

7、1,C"ch2(PN1Pn3)*1h2Nf12Plh2MfN2fN12p1hN12收敛性分析根据(1.10)我们引进误差eu(x)u则误差函数eh(Xi)e满足下列差分方程:启R(u)i1,2,L,N1Ri(u)(截断误差)估计误差函数eeoeN0的问题。由(1.12)我们知，有晚IR(u)|0从而差分方程满足相容条件。若引进记号/、ViVi1(Vi)V,(Vi)xVi,xxi,xhVi1Viu，(V)Vhi1xi,xVi1Vhihi2(hihi1),h0,hN于是收敛性及收敛速度的估计问题，就归结到通过右端设PminCo则可将(1.9)改写为LhU(pi(Ui)qufiIxx2将差

8、分解Ui表成(2.1)UiUiUi,iIh(Ui)xx0,iIh,U0Uo,UNUn(2.2)而Ui满足LhUifiLhUi,iIh,U。UNo(2.3)先估计Uh,由Co|(Uh)|x0(fhLhUh,Uh)ih(fh,Uh)Ih(LhUhUh).其中Ui满足据差分格林公式2.4)(LhUh,Uh)ih(Ph(Uh),(Uh)ih(qhUh,Uh)ihxx再利用柯西不等式，有常数&使|(LhUh,Uh)|h|Ci|(Uh)|0C2|Uh|0|(Uh)|(2.5)xx将不等式(2.6)用于(2.5)右端，则1,GC2|(Uh)|o|fh|i-|(Uh)|o-|Uh|o(2.6)xx解差

9、分方程（2.2,易得）从而UnUibUo/(为aa)Uo1|(Uh)|o.|UnUo|x.(ba)|Uh|°.(ba)max|Ui|,(ba)(|U°|un|)iIh这样，|u5川厂bapduol|uNI)(2.7)利用范数|uhIk,从(2.7)推出ll(Uh)Ho-IIMhJ|Uh|k(2.8)xCoCo因为IIUh|oll(Uh)lb2x因此l|Uh卅|Uh|0|(Uh)|oXba(1)ll(Uh)|o(2.9)2xba1CiCo(1)-|fh|i-lluhlh2CoCo联结(2.1)(2.7)及(2.9)即得差分解的先验估计：II"|k|Uh|k|UhM(

10、20)MJIMHM2(|u0|unI)其中1ba、M1(1c°2M2J(ba)(ba)'1(12c0不等式(2.10)说明差分解连续依赖于右端和边值，因此差分格式(1.11)关于右端及边值稳定.根据定理1.1:若边值问题的解u充分光滑，差分方程按旧"满足相容条件且关于右端稳定，则差分解山按|剧收敛到边值问题的解，且有和|Rh(u)|R相同的收敛阶。所以差分方程的解的收敛速度为0(7)。三.程序代码：clcclfclfsymsx;a=1;%区间界点b=2;%区间界点p=exp(x);%这是p函数q=sin(x)+1+x;%这是q函数f=-exp(x)*(2*x+1)+

11、(sin(x)+1+x)*x*(x-1);%这是f函数r=0;%这是r函数.N=10;%将区间划分的等分，这里控制！h=(b-a)/N;%这里确定步长value_of_f=zeros(N-1,1);%这是fdiag_0=zeros(N-1,1);%确定A的对角元diag_1=zeros(N-2,1);%确定A的偏离对角的上对角元diag_2=zeros(N-2,1);%确定A的偏离对角的下对角元X=a:h:b;u_a=0;%边界条件u_b=2;%边界条件forj=2:Ndiag_0(j-1)=(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)+(subs(p,x,(X(j-1)+X(j)/2)

12、/(hA2)+(subs(q,(x，(X(j);end%获取对角元素forj=3:Ndiag_2(j-2)=-(subs(p,x,(X(j-1)+X(j)/2)/(hA2)-subs(r,x,X(j)/(2*h);end%获取A的第三条对角forj=2:N-1diag_1(j-1)=-(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)/(hA2)+subs(r,x,X(j)/(2*h);end%获取A的第二条对角forj=2:N;value_of_f(j-1)=subs(f,x,X(j);end%获取F值value_of_f(1)=value_of_f(1)+u_a*(subs(p,x,(X(

13、2)+X(1)/2)/(hA2);value_of_f(N-1)=value_of_f(N-1)+u_b*(subs(p,x,(X(N)+X(N+1)/2)/(hA2);A=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_2,-1);%组装系数矩阵formatlongU=inv(A)*value_of_f%差分解%fprintf('%11.5f,U)fprintf('n');dx=X(2:N);precise_value=dx.*(dx-1)%精确解%fprintf('%11.5f,precise_value)deta=U-preci

14、se_value'%误差deta_max=max(abs(deta);%最大误差fprintf('最大的误差是%fn',deta_max)plot(X(2:N),U,'b*',X(2:N),precise_value,'r-')%差分解与精确解对比表figure();plot(X(2:N),deta)%误差图结果：、'<X.的值步长卜、2.12.22.32.42.52.62.72.82.9最大误差0.10.110150.240260.390330.560370.750380.960381.190311.440221.710120.0003800.050.110030.240060.390080.560090.750090.960081.190071.440051.710030.0000950.0250.110000.240010.390020.560020.750020.960021.190021.440011.710010.0000240.01250.110000.240000.390000.560010.750010.960001.190001.440001.710000.000006精确解0.110000.240000.390000.560000.750000.960001.190001