平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题

1、平面向量与解析几何交汇的综合问题平面向量与解析几何交汇的综合问题苍南县龙港二高李丕贵设计立意及思路向量具有代数与几何形式的双重身份， 故它是联系多项知识的媒介， 成为中学数学知识的一个交汇点， 数学高考重视能力立意， 在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 而学生普遍感到不适应， 因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础， 渗透平面向量的基本方法。 本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习； 1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义， 平面向量的

2、数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。 2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质， 直线与圆锥曲线位置关系， 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。高考考点回顾近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段： 2002 年天津卷 21 道只是数学符号上的混合； 2003 年江苏卷 20 道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合； 2004 年有 6 份卷（分别是全国卷理科（必修 +选修 I ）21 道；全国卷理科（选修） 21 道；辽宁 19 道；湖南文 21 道；江苏卷 21 道；天津卷 22 道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以

3、说是应用层面上综合。 就应用层面上又有两个层次。 第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况 . 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用， 如平面向量共线定理、 定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及） 、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例 1 变式）。考查学生把向量作为工具的运用能力 .这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识梳理1向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3 平面向量的数量积及其几何意义、平面两

4、点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；5曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。例题讲解一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法， 以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、 射影定理来表示， 无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的

5、空间。 在以向量为载体， 求轨迹第1页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题方程为命题切入点， 可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义， 平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。例 1 已 知 i , j 是x,y轴 正方 向的 单位 向量 ，设 a = ( x3)iyj ,b = ( x3)iyj , 且满足 | a |+| b |=4.(1) 求点 P(x,y) 的轨迹 C 的方程 .(2) 如果过点 Q(0，m)且方向向量为 c =(1,1)的直线 l 与点 P的轨迹交于 A，B 两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解： (1)a =(x3)iyj ,|b |

6、= (x3)iyj , 且| a |+| b |=4.点 P(x,y) 到点 (3 ,0) ， (-3 ,0) 的距离这和为4，故点 P 的轨迹方程为 x2y 2 14(2) 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 依题意直线 AB的方程为 y=x+m.代入椭圆方程，得5x 28mx4m 24 0 ，则 x1 + x2 =- 58 m, x1 ? x2 = 54 (m21)因此， S AOB1AB d2(52)m225m当 5m2m 2 时，即 m=210 时， Smax 1 题设变式 I.1已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x3)i yj ,b =

7、 ( x3)iyj, 且满足 | a |-| b |=2 . 求点 P(x,y) 的轨迹 C 的方程 .( 轨迹为双曲线 ) 题设变式 I.2已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x3)i yj ,b = ( x3)iyj , 且满足 b? i =| a |. 求点 P(x,y) 的轨迹 C 的方程 . 提示：设 K(-3 ,0) ，F(3,0) ，则 b ? i 表示 KP 在 x 轴上射影，即点 P 到 x=- 3 的距离，所以点 P 到定点 F 的距离与到定直线 x= - 3的距离比为 1，故点P 的轨迹是以 (3 ,0) 为焦点以 x= -3 为准线抛物线 题设

8、变式 I.3已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x3)i yj ,b = ( x3)iyj , 且满足 b? i =| a |. 求点 P(x,y) 的轨迹 C的方程 . 提示：设 K(-3 ,0) ，F(3,0)，则 b ? i 表示 KP 在 x 轴上射影，即点 P 到 x=第2页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题- 3 的距离，所以点P 到定点 F 的距离与到定直线x= - 3 的距离比为a1，当 011 时，点 P 的轨迹是以 (3 ,0) 为焦点，以 x= -3 为相b ? i应准线的椭圆；当 11 时，点 P 的轨迹是以 (3 ,0) 为焦点，以

9、x= -3 为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？ 题设变式 I.4已知平面上两定点 K、F，P 为一动点，满足，KP ? KFPFKF.求点 P(x,y) 的轨迹 C的方程 .( 以 F 焦点，过 K 且垂直于 KF 的直线为准线的抛物线 ) 题设变式求点 P(x,y)曲线。 )I.5 已知平面上两定点 K、F，P 为一动点，满足， KP ? KF PF . 的轨迹 C的方程 .( 以 F 焦点，过 K 且垂直于 KF 的直线为准线的圆锥 考题已知点 A(2 2 ， 0)，B(2 ，0)动点 P 满足 APAB2|AB|BP|(1)若动点 P 的轨迹记作曲线 C1，

10、求曲线 C1 的方程 .(2)已知曲线 C1交 y 轴正半轴于点2）作斜率为 k 的直线交曲线Q，过点 D （ 0，3C1 于 M 、N 点，求证：无论 k 如何变化，以 MN 为直径的圆过点 Q.（解答见附页） 题设变式 II.1已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x3)i yj ,b = ( x3)i yj , 且 满 足 | a + b |=4. 求 点 P(x,y) 的 轨 迹 C的方程.( APBP 2OP , 点 P 轨迹为圆，其中 A（ 3 ，0），B（3 ，0）) 题设变式 II.2已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设a = ( x3)i

11、 yj ,b = ( x3)i yj , 且满足 a ? b 6. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程 . ( 轨迹为圆 )例 2、已知两点M(- 2，0) ，N(2，0) ，动点P 在 y 轴上的射影是H，如果PHPH , PMPN分别是公比 q=2 的等比数列的第三、第四项.（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）已知过点 N 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴下方两个不同的点， A、B，设 R为 AB的中点，若过点 R 与定点 Q(0， - 2) 的直线交 x 轴于点 D(x0 ，0) ，求 x0 的取值范围 .导 析（ 1 ） 设 P(x ， y) ， 则 H(0 ， y) ，

12、PH ( x,0),PM( 2x, y), PN(2x, y).第3页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题所以 PHPHx 2 , PMPN(2x)(2x)y 2x2y 24.又因为 PMPN2, 所以有 x 2y 242.PHPHx2所以点 P 的轨迹方程为 y2 - x2=4(x 0).y ) ，R(xy ).（2）设 AB：y=k(x -2) ， A(x1y ) ，B(x12233由yk (x)2化简得 (k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.y 2x24x3x1x22k 22k 2,y31所以有1所以.2kx3ky3.k 21所以 DQ的方程为y 2y32令 y=0，得2

13、y3212,xx3,x0x3kx3所以 x022又由12 k21(1 1)25k2k 2k2416k 416(k 21) 232k 216 0,可得 k2 12 k1，y1y20,，由题意可知y3y20.22所以 112，所以21-(1125 1，所以022 .kk2) +42x 2+故所求的 x0 的取值范围为 (2 ， 2+2 2 ). 题后反思 若改变 q 的值能否构造出椭圆来呢？ 当 0 q 1 时，点 P 的轨迹为椭圆 例 3、如图所示，点F (a ，0)(a 0) ，点 P 在 y 轴上运动， M在 x 轴上， N为动点，且PMPF0,PNPM（ 1）求点 N 的轨迹 C 的方程；

14、（ 2）过点 F(a ，0) 的直线 l( 不与 x 轴垂直 ) 与曲线 C交于 A、B 两点，设点 K(- a，0) ， KA 与 KB 的夹角为，求证： 0.2第4页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题 答案提示 （1）点 N 的轨迹 C 的方程为 y 24ax 变化 点 F (a ，0)(a 0) ，点 P 在 y 轴上运动， M在 x 轴上， N为动点，且PM PF 0,PNPM （ 为常数）求点 N的轨迹仍为抛物线吗？；二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质， 曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。例 4、已知 F1 ，F 椭圆 x 2y

15、21 的两个焦点，过点 F 的直线 BC交椭圆于 B、C62两点，1 (1)OMOC) ，求点的轨迹方程.2OBM 答案 (x1) 23y21 (2) 若相应于焦点 F 的准线 l 与 x 轴相交于点 A，|OF|=2|FA| ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q两点 . 设 APAQ （1 ），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M，证明 : FMFQ .解： (1) 略(2)证明： AP(x1 3,y1 ), AQ( x2 3, y2 ) . 由已知得方程组x13( x23),y1y2 ,x12y121,62x22y221.62注意151，解得 x22因 F (2, 0

16、), M ( x1 , y1 ) ，故FM(x12,y1 ) ( ( x23) 1, y1 )(1,y1 )(1, y2 ) .221 ,而 FQ( x22,y2 ) (y2 ) ，所以2FMFQ .第5页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题 结论发散 设 P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点，(1) 求 PF1 ? PF 的 Min(2) 求 PF1 ? PF 的 Max(3) 当 PF1 ? PF <0 时， x0 的取值范围。(4) 若相应于焦点 F 的准线 l 与 x 轴相交于点 A， AP ? FF13 ，求 PF1(5) 已知点 M的坐标为 (2,3) ，求 OM ?

17、 OP 的最值。(6)已知点 Q的坐标为 (1,1)，求 PQ26 PF 的最小值(7)已知点 Q的坐标为 (1,1)，求 PQPF 的最值 提示 PQ PFPQPF =QFPQ PF =2a+ PQPF12a+ PQPF1 =2a+ F1Q例 5. 已知 A、B 为抛物线 x22 py (p>0) 上两点，直线 AB过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、 D，（1） 若 OA ?OB6 ，求抛物线的方程。（ 2） CD 是否恒存在一点 K，使得 KA ? KB 0 YAFPBXODKC解：（ 1）提示：记 A（ xy ）、B（x2 , y2）设直线方程为 ykxp代入抛物1,1

18、AB2线方程得 x 22kpxp 20x1 x2p2 , y1 y241 p 2OA ? OB x1x2y1 y243 p26（ 2）设线段 AB中点 P 在在准线上的射影为 T，则 TA?TB(TPPA) ?(TP PB)2PB) PA? PBTP TP ?(PA22214(DB CA)2PA?PB 41 ( FBFA)2PA 41 AB 41AB0故存在点 K 即点 T，使得 KA ? KB0第6页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题 实质：以 AB为直径的圆与准线相切 结论发散 1y 轴上是否恒存在一点 K，使得 KA ? KF 0 实质：以 AF为直径的圆与 y 轴相切 结论发散

19、 2求证： CF ? DF0 结论发散 3求证：存在实数使得 ADAO 实质：证明 A、 O、 D 三点共线（ 2001 年高考题） 结论发散 4设线段 AB中点 P 在在准线上的射影为 T，证明： FT ? AB 0 题设变更 1已知 A、 B 为抛物线 x 22py (p>0) 上两点， OA ?OB0，点 C坐标为 (0,4 p)（1） 求证： AC AB（2）若 AM BM （R）且 OM ? AB0 试求点 M的轨迹方程。 题设变更 2 （2004 全国湖南文21）如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（ 0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B 两点，点 Q

20、 是点 P 关于原点的对称点 .设点 P 分有向线段 AB 所成的比为，证明 : QP (QA QB) ；解：依题意，可设直线AB的方程为 ykx m, 代入抛物线方程 x24y 得x 24kx 4m 0.设 A、 B 两点的坐标分别是(x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ),则 x1 、x2 是方程的两根 .所以x1x24m.由点 P（0， m）分有向线段 AB 所成的比为，得 x1x20,即x1 .1x2又点 Q是点 P 关于原点的对称点，故点 Q的坐标是（ 0， m），从而 QP(0,2m) .QAQB (x1 , y1m) ( x2 , y2m) ( x1 x2 , y1 y2

21、QP(QA QB)2m y1y2 (1)m2m x12x1x22(1x1 )n 2m( x14x24x22m( x1x2 )4m4m0.4x2(1)m).x1 x24mx2 )4x2所以QP(QAQB).第7页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题思维能力训练一、选择题1、（ 2002 年新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A(3,1), B(1,3) ，若点C满足OCOAOB ，其中,R ，且1 ，则点 C 的轨迹方程为 ()A. 3x2y110B.(x1) 2( y2)25C. 2 x y 0D.x 2 y 5 02、已知 i , j 是 x,y轴正方向的单位向量，设 a

22、 =( x2)iyj ,b = ( x2)iyj ,且满足 | a |+| b |=4. 则点 P(x,y) 的轨迹是 .()A、椭圆B双曲线C线段D射线3、已知四边形 ABCD是菱形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点 A、 C），则 AP=（ A） (AB+AD),(0, 1)(B)(AB+BC), (0,2 )2(C)(ABAD),(0, 1)(D)(ABBC),(0,2 )24、已知 O 是平面上一定点，A 、 B 、 C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OPOA( ABAC) ，0,) ，则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（）（A）外心（ B）内心（C）重心（ D）垂心5、已知

23、两点 A( -22PA PB1，0) ，B(1，0) ，动点 P 在 y 轴上的射影是 Q，且 PQ则动点 P 的轨迹为（）：A、抛物线B双曲线C椭圆D直线6已知 A、B 为抛物线 x 22 py (p>0) 上两点，直线 AB过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、 D，则（ 1）y 轴上是否恒存在一点K，使得 KA ? KF0（ 2）CF ?DF0 （3）存在实数使得 ADAO （4）若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，有 FT ? AB0中说法正确的个数为（）A.1 B 2C3D4二、填空题7、已知 i , j是 x,y轴正方向的单位向量，设 a =( x3)iy

24、j , b = ( x3)iyj ,且满足 b ? i =2| a |. 则点 P(x,y) 的轨迹方程为.第8页共 10页平面向量与解析几何交汇的综合问题8、已知 F1 ， F2 椭圆 x 2y21的两个焦点， P( x0 , y0 ) 为椭圆上一点，10036当 PF1 ? PF2 <0 时， x0 的取值范围为. 。三、解答题9(2004 年全国高考辽宁 19) 设椭圆方程为2y 21（ ， ）的直线x4，过点M 01l 交椭圆于点 、 ， 是坐标原点，点P满足 OP1( OAOB)，点N的坐标为A B O2( 1 , 1) ，当 l 绕点 M旋转时，求：2 2（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP | 的最小值与最大值 .10. 已知双曲线 C： x2y 2 1(a 0, b 0), B 是右项点， F 右焦点，点 A 在 x 轴a2b 2正半轴上，且满足， | OA |、 | OB |、 | OF |成等比数列，过 F 作双曲线 C在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足