人教版高数必修五第8讲：数列的前n项和求解方法（教师版）.docxVIP

1、数列的前n项和求解方法垦大脑体操）W作业完成情况JA&教学目标）教学重点：掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。教学难点：了解数列求和的方法的应用。疝趣味引入）二。知识梳理）一、数列求和基本方法拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.1. 并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.2. 裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.3. 错位求和法：将一个数列的每一项都作相同

2、的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前项和公式的方法.4. 反序求和法：将一个数列的倒数第A项（妙1,2,3,，）变为顺数第#项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前项和公式的方法.二. 常用结论(1) 支k=l+2+3+.+n=卜i2(2)£(2k-l)=l+3+5+.+(2n-l)=A=1逆1=1I如+D1(1)(+1)22"n1_412仲21(1)(+1)22"n1_412仲2业冬上+j22"一2”7.已知数列知的前项和为S”如+2-2如+如=0（£片）,打=

3、11（1）求数列%,如的通项公式;,点（nA）在直线yH上,数列如满足n22且其前9项和为153.设'数列席的前”项的和为，求使不等式柜含对一切5*都成立的最大正整数的值答案：斗=；+'&=?2+!，=+5,2如+i=b+如+2,.也为等差数列，b、=11,9(4)为)=53,即但=17d=3,bn=3+2八3LI1、(2)C=()“(6+3)(2-1)22/?-12h+1.T=li-l+l-l+.+=-()r23352n-l2+122一12+1Ik当=1时，仁）胴=->-<19故k的最大正整数值为18。8. 数列%的前项和为Sn，旦满足=1,2S=（+1）

4、。,（l）求“与的关系式，并求“,J的通项公式;求和呢=招+招土答案：（I）答案：（I）-1”a2_nn-1n-177-2(II) 吧=+”1-32-43-5+2）=*-!）+（扫）*=(+1",两式相减彳凯2S”=nan_.+（）+.+（：）=/_土一点.9. 将等差数列%的所有项依次排列,并如下分组：（/）,（%）,（印，%，%），其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，第组有项，记L,为第组中各项的和，己知丁3=-48,T4=0,（I）求数列%的通项公式：（II）求数列Tn的通项公式；（III）设数列T”的前"项和为Sn，求S8的值.答案：（I）设*,的公差为d

5、,则4=4缶一6"=48，7；=8代+36=0，解、得d=2,a7=-9,/.an=2n一23;（II）当n>2时，在前一1组中共有项数为1+2+2"-2=2”-'一1,2"-'（2”-'11.第组中的2"T项的和7；=（2"-23）X2'1+Lx22=3x2*2-24x2-'（III）S8为%的前255项,.*8=59415.能力提升10. 己知抛物线xX+1Xn11»/.、/=>知I+也，=布二如=*2*一*2,1=（工2甘+易”）-U2+易心）4也+1一玉Z2.=4y,过原点作

6、斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点匕，又过点匕作斜率为!的直线交抛物线于点於，再过r作斜率为!的直线交抛物线于点八，如此继续，一般地，过点乙作斜率为二的直线交抛物线于点pn+l，设点4（.,月）.2（）令如=仁仲一2,1，求证：数列如是等比数列.并求数列也J的前项和为无答案：（1）因为4（"月）、饥（知，爪）在抛物线上，故必=4乂，”2=4扁，又因为直线4E+的斜率为-，即也月=：,代入可得2"耳土一五2=故也二是以上22n222n322n2b444131为公比的等比数列；S)-S+l=,数列前中，ai=l,且an+i=Sn(N1,住N*),数列如是等差数列,其公差d&g

7、t;0,bi=l,且公、勿+2、3施成等比数列.(I) 求数列饥、如的通项公式；设数列&满足cn=anbn,求&的前r?项和答案：I)由己知有SzS“=S”,即Sz=2S,QeN"),.S是以5=苗=1为首项，2为公比的等比数列.Sn=2"T.,S(=1),1(=1),由Tsf22),碍俱2(*).,:成，+2,3场成等比数列，07+2)2=b33如即(l+6d+2)2=(l+2d)3(l+8d),解得d=l或d=-；(舍)，:.如=l+(-l)xl=.(II)Tn=aibi+a2b2+anbn=lX1+2X2°+3X21+-+nX2n2,设T=2

8、X2°+3X21+-+nX2n-2,/.27=2X21+3X22+-+nX2n_,相减得-T=2+2i+22+2"-2f2心=|+»(1_2”/-“I=(i_n).2n-,1-2即T=(n-1)-2,_1,.乙=1+(一1)2tSN*).11. 己知数列%的前项和为S，且缶=52+&对一切正整数都成立。(I)求,角的值；(II)设6>0,数列ig给的前项和为L，当为何值时，L最大?并求出K的最%大值。答案：I)取=1,得=S?+§=2%+角取二2,得=2.+2a2由一，得a2(a2-al)=a2(1)若a2=0,由知at=0(2)若外工0，

9、由知a2-at=1由、解得，ax=5/2+1,tz2=2+2:或巧=1V5,6/2=2血综上可得，6=0,%=0；或q=+=2+次；或tz,=1>/2,a2=2>/2(II)当>0时，由(I)知a=72+1,02=2+72当n>2时，有(2+V2X=S2+&,(2+41)an_=S24-S,_，所以(1+皿)=(2+扼)】，即为=国z(/?>2),所以弓=%E'=(V2+1)-(令如=lg给，则勿=1_g(S)T=1一!(一1)lg2=；lg%所以数列也是单调递减的等差数列(公差为-?lg2)，从而>打>.>=lg£&g

10、t;lgl=。当28时，仑奴=；lg黑<：lgl=。，021ZoZ故n=l时，7；取得最大值，且7；的最大值为弓=也丑，=7(l+l_31g2)=7_21g222212. 设数列"中，%=1+2+3+(£AT),将%中5的倍数的项依次记为么,如，(I) 求白，如力3,如的值.(II) 用k表示。22与如t，并说明理由.(III)求和：Z?+Z?2+“3"、2”T+b.n.答案：(I)4=。4=1°,”2=%=15,如=“9=45,如=%o=55；(II)atl=但；D=5fn(mgN*),:.h=5上或+1=5k(kgN+),即=5k-1或=5k,

11、b2k_x<h2k,b2k_x=aSk_=,.5k(5k+1)b2k=a5k=；,25(III) b2ll_+b顼=25«2,.+/?2+b2n=(+1)(2+1).6已知数列%满足:ax+3白2+(2/7-1)6/=(2n-3)-2n+,数列"的前.项和Sn=2/12+-2.求数列%hn的前项和吧.答案：当=(2一3)2*-(2一5)2”=2”(2一1),_,zna.=2”(>2)ci=2;而。=-4,得(%=-4当22时,如=5一5,_=4一1;而。I=1,得而。I=1,得4=1b/-4/?-1(/2>2).吧=-4+22x7+23x114-.+2m(

12、4h-1),记s=22x7+23、11+2,xl5+2”(4l)2s=23x7+2,xll+.+2"(4一5)+2"+*4一1)(2),一得一s=28+4(23+2+2”)一2n+,(4一1)=28+32(2*2一)_2'中(4-1)=-4+2n+,(5-4)，s=4+2”“(4/2-5),得吧=2时(4-5).13. 已知数列”“的各项分别为槌+后,"+/+。4,口3+(广+5+“6,，求“的前n项和，.答案：=广+。”+.+/-2,（1）当。=1时=,S”="了）Stl=!(】+"+"2+.+"T)-(o+/+.

13、+/T),-a当。乏±1时,s=-L上£1丝二史2；1-671-67-a当。=一1时，1）当。为奇数时=;22）当77为偶数时Sn=.2标程顾问签李:教学主管签李:(4) 2=12+22+32+n2=项+1)(2+1)4=16,1111Ill、(5) =()(/?+1)nn+1n(n+2)2n+2(6) =()(Pv4)pqq_ppq2典例讲练)类型一：用公式法、倒序相加法求数列的和例1.求和：Sn=Inx+lnx3+lnx54-4-lnx2,_l.解析：法一：=InInx3+Inx5+.+Inx2n_,S=lnx+31nx+51nx4-+(2n-3)lnx+(2/7-l)

14、lnxPMS=(2一l)lnx+(2一3)lnx+5lnx+31nx+lnx.,.+有：2Sn=2nInx+2nnx+2nnx+2nInxSn=n2Inx法二：=Inx+Inx3+Inx5+Inx2nlSn=Inx+Inx3+Inx54-Inx2,''=lnx-x3-x5x2nlIn工1+3»5.必(2/!-1)=l+3+5+(2一l)lnx=n2nx.答案：见解析练习1.求和S=sin21°+sin22°+.+sin289°.答案:S=sin21°+sin22°+sin289°.S=sin289°

15、+sin288°+sin21°=cos2l°+cos22°+-+cos289°.2S=(sin21°+cos21°)+(sin22。+cos?2。)+.+(sit?89°+cos289°)=89S=2例2.数列%的前项和为S“,已知q=n2an-n(n-1),/?=1,2,鬃(I) 写出S与的递推关系式(32),并求S.关于的表达式；(II) 设bn=Sn(x?R),求数列勿的前项和兀。n解析：由S=tvan-n(n-1)(«32)得：S=n2(5ZJ-5;,)-n(n-1),即(气i)s,广2

16、算产(),所以sn-St_.=1,对32成立。nn-1由sSn.|=1>s_is,卜2=1，s2-=相加得:nn-1n-1n-221S-2S,=n-1,又5.=«!=,所以S=,当n=1时，也成立。nM1112"n+I(II)bfl=nxno而兀=x+2x2+3x3+.+(n-l)xz,'1+nx",xTn=+2x3+3x4+.+(n-l)x"+nxH'1,(1-x)C=x+J+V+.+寸】+"Jx(l-妒)-心f1-X答案：见解析练习2.设/,Q)=M，定义=厂:,其中nN*.1+x九(0)+2(1)求数列an的通项公式

17、；(2)若弓=%+2。2+3。3+-+2%,?-|I2答案：(1)/.(0)=2,ai=-=-,zJ+I(o)=/1iA(o)j=T-;-y,-11+人（0）。二/U0)T二1+九(0)二1-九(0)二1一(0)-1二七w+1£.(0)4-2"2|24+2九(0)一2九(0)+22T，.数列s上首项为-公比为彳的等比数列,%=阵(2)乌=。+2a2+3角+2na2n,-乂=（-：）+（-?）2角+（-?）3%+（-：）2四2”，In_（l）2rti两式相减得：:乌二4:+x：（_S",乌*1-翌）+2类型二：错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例3.已

18、知数列""的通项公式=,求它的前项和.（2一1）（2+1）解析：+,"2/7-12/7+1e/1、/22、nn，“、s=(i+二)+(=+(_+_)+(_+_)，3352一32一12/?-12n+11223/T、n33552/?-12一12+12+12(+1)2+1答案：见解析练习3.已知数列的通项公式=2+】，,求它的前项和.答案："n(«+!)n(+1).，=（1号）+（£_寺）+（志_£）+（+冷）例4.己知数列%的各项为正数，其前项和，满足S=（±）2,（I）求4与之间的关系式，并求%的通项公式:(id求证

19、v2.§&s解析：I).4S,=(4+1)2，而4S_,=(«_,+1)2,一得片一c己一2(%+an_x)=0=>(6/+I)($-an_x-2)=0,%>0".。一=2（>2）,.,是公差d=2的等差数列,而4%=(%+1)2=>Q=1而4%=(%+1)2=>Q=1Cl=2/2-1;(.1)S禹sI13=n+S禹sI13=n+1+2222v<!=-(h>2),nn(n-)n-n1111、，11、，S|S2S223-1n=2-<2.n答案：见解析练习4.设数列%的前n项和为S,点（,S,）（N.）均在函数y

20、=3x-2的图像上。（I）求数列%的通项公式；（II）设hfl=,7；是数列也的前n项和，求使得Tlt<20对所有neTV*都成立的最小正整数mo答案：（1）Q=6-5（eN）（2）满足要求的最小整数m为10。逢当堂检测）个91. 0.9+0.99+0.999+0.999-9若的前n项的和若的前n项的和答案：s=一6（1-10一“）求数列二,二口22-132-142-1答案：s=（i+；4）+（i+!t）+（i+；!）+（i+吉-）+（1+>出）=十1+1+2111(1A求和1二+2二+3二+n+.<2/答案：s答案：s=(l+2+3+-+n)+f-+-+-«+&g

21、t;12")【242n)=1-+2-+3-+248T2I+:+2-x5.等比数列%中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两(求和X+答案：当乂=±1时，Sn=4n；当x"±l时，"2弓=(x+%4+xn)+2r+Htx如-广)-；+2+1I1-±1-xX"-1个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（I）求数列%的通项公式;（II）若数列如满足：如二%+（l）"lnq,求数列如的前2项和S2”.答案：(I)由题意知%=2,。2=6,%=18,因为%是等比数列，

22、所以公比为3,所以数列%的通项公式=23"-'.(II),=%+(-l)"lnq=23”T+(l)"ln2+(一l)ln3=23t+(-1)In2+(_l)”(_l)ln3,所以S*=(23O+23i+232+232'i)+(_l)'+(_l)2+.+(_l)2”ln2+(_l)L0+(_l)2.1+(_l)3.2+.+(_l)2”.(2_l)ln3=2,；)+(_i+i_i+1+I)ln2+O+1-2+3-4+.-(2«-2)+2/?-lln3=9”l+0ln2+ln3=9l+ln3已知数列的通项公式是=，则前项和为+5+6答案

23、：3(+3)己知。“的前n项和S”=2一物+1,则|%|+|缶I+I%。I的值为答案：67逢当堂总结)变陟家庭作业)基础巩固1. 求和：=1+2(一1)+3(一2)+1;ak=k-=kn-k1+k(k=1,2,3,)，答案：Stl=(1+2+3+(14-2+3"+)+(l+2+3+)n2(n4-1)(+l)(2+l)n(n+1)(/?+l)(+2)=4.2626a2. 己知数列%=(+l)x(寿)”，求%的前项和S“.o答案：.=+1为等差数列如=(七)为等比数列，.应运用错位求和方法：99,9S=2x3x()+(+1)x()"”1()1()1()Q99QS=2x()2+3

24、x()3+.+(+1)x()w+l,10M101()10|QQQGQ两式相减=-+()2+()3+(r-(n+i)x(r+,10"510101010G«1QQGGQ=-+X1-()H-(n+1)X()H+,=)M+I(/?+10),510101010109/.S=99-9(+10)x()"."10求和W=C?+4C：+7C；+10C；+(3+1)C；答案：an=3n+1为等差数列,+an=t/j+an_x而C：=运用反序求和方法是比较好的想法，W=C?+4C；+7C：+.+(3-2)C：-'+(3+1)C；，=(3+1)C：+(3+(3一5)C尸+4C：+C?W=(3+1)C：+(3-2)C：+(3-5)C：；-2+.+4C：+C?,+得2W=(3/2+2)(C；+C+<+C：)=(3+2)x2”，.W=(3+2)x2'i.3. 若练=，口=1,2,3,求数列%