和三角形有关的向量问题

1、与三角形有关的向量问题三角形有关的问题可以很好表达向量的核心问题如和差、数乘、数量积.在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视.三角形根本问题例 1.如图 AABC 中,AB=c,BC=a,CA=b,那么以下推导不正确的选项是(D)A.假设 ab0,那么ABC 为钝角三角形.B.假设 ab=0,那么ABC 为直角三角形.C.假设 ab=bc,那么ABC 为等腰三角形.D.假设 c(a+b+c)=0,那么ABC 为正三角形解：A.ab=|a|b|cos00,那么 cos80,日为钝角 B.显然成立C.由题设：|a|cosC=|c|cosA,即 a、c 在 b 上的投影相等D.

2、a+b+c=0,.上式必为 0,.不能说明ABC 为正三角形例 2.如图：MN是ABC 的中位线,1一求证：MN=-BC,且 MN/BC2 证：:MN 是 4ABC 的中位线,11AMAB,ANAC1-1-1二MN=AN-AM=1AC-1ABJ(AC-AB)2222.1_i二 MN=-BC,且 MN/BC2例 3.：平面上三点 O、A、B 不共线,求证：平面上任一点 C 与 A、B 共线的充要条件是存在实数人和内使OC=入OA+屈,且入+=1.证：必要性：设 A,B,C 三点共线,那么可设AC=tAB(gR)那么OC=OA+AC=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB令

3、1T=入,t=内那么有：OC=入OA+pOB,且入+产 1充分性：AC=OC-OA=XOA+OB-OA=(X-1)OA+OB+,ifc+-=gA+gB=,OB-OA)=pAB.三点 A、B、C 共线例 4.(04 浙江)平面上三点A,B,C满足网=3,同=4,忸=5,那么ABBC+BCCA+CAAB的值等于一般地对于ABC 的结论是例 3.O 是平面内一点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P 满足例.某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶,感到风从正东方向吹来,而当速度为 2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向解：设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量,无风时此

4、人感到风速为 T,设实际风速为 v,那么此时人感到的风速为 v-a,设OA=-a,OB=-2avPO+OA=PA；PA=v-a,这就是感到由正北方向吹来的风速,丁PO+OB=PB；PB=v-2a,于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB,由题意：ZPBO=45.,PA1BO,BA=AO 从而,POB 为等腰直角三角形,PO=PB=V2a 即：|v|=2a实际风速是 Y2a 的西北风三角形重心问题例 1.是 AABC 内一点,OA+OB+OC=0,那么.是 AABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心例 1.1.是 AABC 内一点,OA+2OB+3OC=0,

5、贝 U 问 AABC 的面积与 AAOC 的面积的比是多少解：一平行四边形法：设D,E分别是AC,BC的中点,那么OA+OC=2O5,OA+2OB+3OC=2OD+2OE=0,即OD=2OE,故S&EC6住=3:2,例 2.O 是平面内一点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P 满足A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心2OB+OC=4OE,故可得：那么S.ABC:S,AOC=3：1二化归法：延长 OB 使 OB=2OB,延长OC使OC=2OC,贝UO是AABC的重心,S.AOCOP=OA九wS尸,那么动点 P 的轨迹一定通过&ABC 的=3SAOC即：AG=2GD 同理可

6、化：AG=2GD,CG=2GF 三角形垂心问题例 1.AABC 中,O 为其外心,P 为平面内一点,OA+OB+OC=OP,那么 P 是ABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心例 2.O 是平面内一点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P 满足ABC 的OP=OA+MAB+AC),九 S(0,+oc),那么动点 P 的轨迹一定通过 AABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心例 4.证实：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.1 一一一证：坟AC=b,CB=a,贝UAD=AC+CD=b+a,EB=EC-CB=2.A,G,D 共线,B,G,E 共线.可设与=入AD

7、,EG=pEB,11那么AG=入AD=入(b+-a)=Xb+-入 a,22EG=pEB=M；b+a)=1 肉+同AEEG二AG1即：-b+21,、1一如间=入 b+一入 a22.(1入)a+(k 入+)b=0222a,b 不平行,1,=0211 一3=AGAD133OP=OAAB 上 ACABcosB|AC|COSC九 w0,收,那么动点 P 的轨迹一定通过A.重心 B.垂心 C.外心解：D.内心ABAC+ABcosBACcosCJACi 一 i+BC=BC+BC|AC|cosC11例 3,O 是 AABC 所在平面上一点,假设OAQB=OB,OC=OCQA,那么O是ABCA.重心 B.垂心

8、C.外心 D.内心例 4.如图,AD、BE、CF 是ABC 的三条高,求证：AD、BE、CF 相交于一点.证：设 BE、CF 交于一点 H,AB=a,AC=b,AH*=h,贝UBH=h-a,CH=h-b,BC=b-avBH_AC,CH_AB(h-a)b=0、卜二(ha)b=(h-b)anh(b-a)=0(h-a)a=0AH_BC又丁点 D 在 AH 的延长线上,AD、BE、CF 相交于一点例 4,O 为 4ABC 所在平面内一点,且满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2,那么 O 是三角形的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解：设OA=a,OB=b,OC

9、=c,贝UBC=c-b,CA=a-c,AB=b-a由题设：OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,化简：a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2得：c?b=a?c=b?aAPABABcosBC从而AB?OC=(b-a)?c=b?c-a?c=0AB1OC同理：BC1OA,CA1OB四、三角形外心问题-222例 1.O 是 AABC 所在平面上一点,假设 OA=OB=OC,那么 O 是 AABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心例 2.O 是平面内一点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P 满足过 AABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解：点 P

10、在 BC 的垂直平分线上三角形内心问题例 1.O 是平面内一点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P 满足A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心例 2.O 是 MBC 所在平面上一点,A,B,C所对的边分别是a,b,c,假设aOA+bOB+cOC=0,贝UO是 AABC 的A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解：由于aOA+bOB+cOC=0,又OB=OA+AB,OC=OA+AC,所以OPOB+OC.ABAC2+TT二2ABcosBACcosC九0,依卜那么动点 P 的轨迹一定通OP =OAAB网AC+AC九 w0,y,那么动点 P 的轨迹一定通过 AABC 的(a+b+cOA+bAB+

11、cAC=0,AB国AC同例 3.三个不共线向量 OA,OB,OC 满足aOAbOBcOCOI二abc六、三角形心心关系在AABC中,0GH分别是AABC的外心、 重心、垂心.(1)求证：OH=OA+OB+OC;(2)求证：O,G,H三点共线；(3)假设 AH=OA,求/BAC 的大小.解：连接 BO 并延长交 AABC 外接圆于点 DCD.LBC,所以 AH/CD,同理 CHDA,OA-OH=OD-OC=-OB-OC,所以OH=OA+OB+OC由于 G 是是 AABC 的重心,所以OG=AG-AO=-1AB+ACOA32=1AB+AC+OA=1OA+OB+OC.33AH=OA,那么OH-OA=OA,所以OB+OC=|OA,两边平方并注意到一 L.1n,、2nOA=OB=0C,又 cos/BOC=cos