圆与二次函数知识点

1、圆和二次函数知识点圆、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的

2、一条直线。、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;、点与圆的位置关系1、点在圆内2、点在圆上点C在圆内;点B在圆上;3、点在圆外点A在圆外;BCAdOd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径ABCDCEDE

3、弧BC弧BD弧AC外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点dRr-dRr.RrdRrdRr-内含（图5）无交点dRr;四、圆与圆的位置关系七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：:AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。中，:C、D都是所对的圆周角推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所弧AD中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。0中，=AB/C

4、D.MAC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：AOBDOEABDE；DOCOF；弧BA弧BD九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。O中，:AB是直径C90.AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：

5、在ABC中，OCOAOB.ABC是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。中,.四边形ABCD是内接四边形CBAD180BD180DAEC即：:MNOA且MN过半径OA外端.MN是。的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)以上三个定理及推论也称二推一定理:即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线

6、的夹角。即：:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，二弦AB、CD相交于点P,PAPBPCPD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。O中，.直径ABCD,2CEAEBE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，:PA是切线，PB是割线PA2PCPB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在。中，:PB、PE是割线PCPBPDPE十二、两圆

7、公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：01、。02相交于A、B两点.Ol2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:22(1)公切线长：Rt0102c 中，ABC01(2)外公切线长：C02是半径之差；内公切线长：C02是半径之和十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在。0中ABC是正三角形，有关计算在RtB0D中进行:0D:BD:0B1:石:2.(2)正四边形同理，四边形的有关计算在Rt0AE中进行，0E:AE:0A1:1:亚：(3)正六边形同理，六边形的有关计算在Rt0AB中进行，AB:0B:0A1:.3:2.0i02

8、2C022.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式:nRl180S(2)扇形面积公式：n21IR3602An：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图S表S侧2s底=22rh2r(2)圆柱的体积：Vr2h母线长底面圆周长C13、圆锥侧面展开图RrV(2)圆锥的体积：r2h二次函数知识点(一)、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(aw。，则称y为x的二次函数。(二)、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(aO顶点式：y=a(x-h)2+k(aw。，此时抛物线的顶点坐标为P(

9、h,k)交点式：y=a(x-x)(x-x2)(aO仅用于函数图像与x轴有两个交点时，xi、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A(xi,0)和B(x2,0),对称轴所在的直线为乂=出凶2注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：,b.4ac-b2-b.b2-4ach=,k=；xi,x2=;2a4a2a(三)、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线

10、与y轴的交点C,再找到点C的对称点Do将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点Do由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。(四)、几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向1对称轴顶点坐标2yax当a0时开口向上x0(y轴)(0,0)2yaxkx0(y轴)(0,k),2yaxh当a0时开口向卜xh(h,0),2,yaxhkxh(h,k)2yaxbxcbx2ab4acb2(c，)2a4a

11、图象平移规律：左加右减，对X；上加下减，直接加减（五）、抛物线的性质抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线X2，对称轴与抛物线唯一的交点2a是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.2 .抛物线有一个顶点P,坐标为P（-,4aC-b）。当x=2时，y最值二2a4a2a24ac-b4a当a0时，函数y有最小值；当a0时，抛物线开口向上；当a0）；当对称轴在y轴右边时，a与b异号（即ab0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；A=b4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。A=2-

12、4ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。（六）、二次函数的对称性关于X轴对称22Vaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是Vaxbxc；22yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是Vaxhk；关于Y轴对称2,2,Vaxbxc关于 y 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；关于原点对称22yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；22yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk关于顶点对称yax2bxe上土yax2bxcyaxbxC关于顶点对称后，得到的解析式是2a；22yaxh卜关于顶点对称后，得到的解析式是