圆锥曲线与方程复习资料

1、高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程知识点：一、曲线的方程求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立适当的直角坐标系;设动点Mx,y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。二、椭圆1、平面内与两个定点Fi,F2的距离之也等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。|MF1|MF22a2a2c2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形,1匕AJ,标准方程222221ab0ab22-221ab0ab第f义到两定点Fi、F2的距离之和等于常数2a,即|MFi|MF2|

2、2a（2a|F1F2|）第二定义rMF到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即e（0e1）d范围axa且bybbxb且aya顶点1a,。、2a,010,b、20,b10,a、20,a1b,0、2b,0轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距F1F2I2c(c22人2ab)离心率ei耳尸JaVa1与(0e1)准线方程2axc2ay一c焦半径M(xo,yo)左焦半径：MF1aex0右焦半径：MF2Iae%下焦半径：上焦半径：MFJaey0MF2|aey0焦点三角形面积c，2，Smf1f2btan(F1MF2)

3、通径b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH|一a（焦点）弦长公式A(x1,y)B(x2,y2),AB51k2x1x2|Jk2J(x1x2)24x1x23、设是椭圆上任一点，点到Fi对应准线的品巨离为di,点到F2对应准线的距离为d2,贝5e。did2常考类型类型一：椭圆的基本量一221.指出椭圆9x4y36的焦点坐标和离心率.22【变式1】椭圆二1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点516的后巨离=22【变式2】椭圆？一1的两个焦点分别为FPF2,过F2的直线交椭圆于A、B1625两点，则ABF1的周长Cabf1=22【变式3】已知椭圆的方程为1,焦点在x轴上，则m的取值范围是（

4、）。16mA.4WmW4且mw0B.4vmv4且mw0C.m4或mv4D.0V类型二：椭圆的标准方程2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别是（一4,0）、（4,0）,椭圆上一点P到两焦点距离的和是10;（2）两焦点的坐标分别为0,4,0,-4,且椭圆经过点(5,0)。2x【变式1】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆921有相同的焦点，并且4经过点（3,2）,求此椭圆的方程。3.求经过点P（3,0）、Q（0,2）的椭圆的标准方程。【变式1】求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为工5的椭圆的标准方程。5【变式2】在椭圆的标准方程中=6,b=巧,则椭圆的标准方程是

5、（）D,以上都不2xA.362匕1352B.362135【变式3】长轴长等于20,离心率等于3,求椭圆的标准方程。5类型三：求椭圆的离心率4.已知椭圆一条准线为yx4,相应焦点为（1,-1）,长轴的一个顶点为原点O,求其离心率日的取值。【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为A.33B.乎oJyD.不确定【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是()A.-R曲C妇D-5432225 .已知椭圆勺2_1(ab0),以口，b,之为系数的关于K的方程欧+於=口ab无实根，求其离心率金的取值范围。类型四：椭圆定义的应用6 .若一个动点P(x,y)到两个定点

6、A(1,0)、A，(1,0)的距离的和为定值m(m0),试求P点的轨迹方程。【变式1】下列说法中正确的是()A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是条线段【变式2】已知A(0,1)、B(0,1)两点，ABC的周长为6,则ABC的顶点C的轨迹方程是()。十匕二1(了工土2)A.43类型五：坐标法的应用7.ABC的两个顶点坐标分别是口4是-,求顶点A的轨迹方程。9口+工2)B. 43二十

7、二=18=0)D.-B(0,6)和C(0,6),另两边AB、AC的斜率的乘积【变式1】4ABC两顶点的坐标分别是B（6,0）和C（6,0）,另两边AB、AC的44斜率的积是-,则顶点的轨迹方程是B.+二1(yH6)81169-F=1(y#6)A.8136C.】36（了工土6）D.十二二15工均3616课后练习,一x21.椭圆一162y251的焦点坐标为(A)(0,3)(B)(超0)(C)(0,5)(D)(4,0)2x2.在方程1002y641中，下列a,b,c全部正确的一项是(A)a=100,b=64,c=36(B)a=10,b=6,c=8(C)a=10,b=8,c=6(D)a=100,c=6

8、4,b=363.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆方程是(A)2(B)x2(C)16y21(D)2L1164.已知焦点坐标为(0,4),(0,4),且a=6的椭圆方程是2-x(A)362y202x(B)一202y362x(C)一362L1162x(D)一162E1362x5.若椭圆1002y361上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点E的距离是(A)4(B)194(C)94(D)146.已知Fi,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MR|+|MF?|=8,则点M的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段7 .当a+b=10,c=25时的椭圆的标准方程是8 .已知一个圆

9、的圆心为坐标原点，半径为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP,则线段PP的中点M的轨迹方程为.9 .经过点M(J3,2),N(2J3,1)的椭圆的标准方程是.三、双曲线1、平面内与两个定点Fl,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。|MFJ|MF2|2a2a2c2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形3标准方程22xy，八21a0,b0ab22yx，-2-21a0,b0ab第f义到两定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于常数2a,即|MFi|MF?(02a|讦2|)12a第二定义rM

10、F与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e,即e(e1)d范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点1a,0、2a,010,a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距222F1F22c(c2a2b2)离心率ec，E/a2bJ1%(e1)准线方程X2acy2aC渐近线方程ybXayaxb左焦：MF1|exoaM在左焦：MF1eyoa焦半径M在右支右焦：mf2exoa上支右焦：mf2eyoaM(Xo,yo)左焦：MF1ex0a左焦：MF1eyoaM在左支右焦：mf2exoaM仕卜文右焦：mf2eyoa焦点

11、三角形面积2Smf1f2bCOt(F1MF2)通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb2a3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。到F对应准线的距离为di,点到已对应准线的距离为d2,4、设是双曲线上任一点，点贝U_FL_F2e。did2常考类型类型一：双曲线的定义及标准方程22例1.如图2所示，F为双曲线C:二3一1的左916焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称,则PFP2FPFF4FP5FF6F的值是（）A.9B.16C.18D.27练习:设P为双曲线X2y2121上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若图2|PF|:|PF2|=3:2,则处RF2的面积为A.6d3

12、B.12.x2例2.已知双曲线C与双曲线16）C. 12向D,242=1有公共焦点，且过点（352,2）.求双曲线C的4方程.2x练习：1.曲线102y1(m6m6）与曲线1(5n9)的nA.焦距相等B.焦点相同C.离心率相等D.以上都不对_2-22m3n1有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近2,一x2.已知椭圆一23m2-yr1和双曲线5n线方程（2）直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为33 ,求双曲线的方程4类型二：双曲线的几何性质22例3.已知双曲线mn题型1求离心率或离心率的范围4_,1的一条渐近线方程为yx,则该双曲线的离心率e为3题型2与渐近线有关的

13、问题2x例4.若双曲线a2看1(ab0,b0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2D.2练习：焦点为（0,22人L1A. 1224题型3焦点三角形2点P是双曲线4则FPF2的面积6）,且与双曲线2yB. 122x24Fi、有相同的渐近线的双曲线方程是F2是双曲线焦点，若2xD.五2上112oFiPF2=120,2练习：设22是双曲线上2y161的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF260,求F1PF2的面积。课后练习一、填空题22221.椭圆左41与双曲线江上1的焦点相同，则k=9k2k3222.双曲线二1的渐近线为943.过点(-6,3)且和双曲线x2-2y2=2有相

14、同的渐近线的双曲线方程为。224.过原点与双曲线2一1交于两点的直线斜率的取值范围是435、若双曲线8kx2ky28的一个焦点是(0,3),则k的值是。一.x2y2o.6.点P是双曲线1上一点，R、卷是双曲线焦点，若FiPF2=120,则F1PF2的面43积。二、选择题27 .经过双曲线X2”1的右焦点F2作直线l交双曲线与A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数为()(A)4;(B)3;(C)2;(D)18 .双曲线与其共轲双曲线有()A.相同的焦点B.相同的渐近线C.相等的实轴长D.相等的虚轴长2x9.过点P(3,4)与双曲线c:92y161只有一个交点的直线的条数为A.4B.3

15、C.2D.1三、解答题10.已知动圆与圆C:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切，(1)求动圆圆心P的轨迹方程。(2)若动圆P与圆Q内切，与圆Ci外切，则动圆圆心P的轨迹是。若动圆P与圆Ci内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹若把圆Ci的半径改为1,那么动圆P的轨迹是。(只需写出图形形状)四、抛物线1、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.2、关于抛物线焦点弦的几个结论：2设AB为过抛物线y2Px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2,y2),直线AB的倾斜角为，则AB2P.2；sin

16、2.P2xX2,YiY2P；4以AB为直径的圆与准线相切;(4)|FA|FB|3抛物线的几何性质:例题讲解图形4*国正标准方程y22pxp0y22pxp0x22pyp0x22pyp0定义与一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）顶点0,0离心率e1对称轴x轴y轴范围x0x0y0y0焦点FP,02F去0F0,fF0，i准线方程xE2x艮2yiyi焦半径M函,y0）MFxpX。2|mf1x02|MFy02MFy2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH12p焦点弦长公式AB%x2p参数p的几何意义参爹工p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔21.抛物线

17、y=4x上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）A.17B.16C.7D.01682.顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线的条数有常考类型类型一：抛物线的定义例1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2,1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为2练习1.已知抛物线y2px(p0)的焦点为F，点R(xi,yi),F2(x2,y2),P3(x3ya)在抛物线上，且|PF|、|P2F卜|P3F|成等差数列，则有()A.xix2x3b.yiy2yc.xx32x2d.yiy2y22练习2.已知点A(3,4),F是抛物线y8x的焦点，M是抛物线上的动点，当MAMF最

18、小时,M点坐标是A. (0,0)B. (3,2.6)C. (2,4)D. (3,2、6)类型二：抛物线的标准方程例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:过点(-3,2)(2)焦点在直线x2y40上22.x2练习3.右抛物线y2Px的焦点与双曲线yi的右焦点重合，则p的值3练习4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为i的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,I)能使这抛物线方程为y2=i0x的条件是(.要求填写合适条件的序号)类型三：抛物线的几何性质2例3.设A、B为抛物

19、线y2px上的点，且AOB90(O为原点工则直线AB必过的定点坐标为.2一.、练习5.若直线axyi0经过抛物线y4x的焦点，则实数a练习6.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B若A、B在抛物线准线上的射影为A,Bi,则AiFBi()A.45B.60C.90D.i20课后练习、选择题1.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(1,0)2.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A.x+y-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x+y-x-2y+=

20、03.抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是r，11、A.(1,1)B.(一,)24C.4.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶,39、_,、(,-)D.(2,4)242m时，水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为()A.6mB.2,6mC.4.5mD.9m5.平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是A.y=2xB.y=4xC.2y=8xD.2y=16x6.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是A.y2=-2xB.y2=-4xC.2=2xD.y=-4x或y=-36x7.过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于

21、A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=A.8B.10C.6D.48.把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a(2,3)平移，所得的曲线的方程是()A.(y3)24(x2)B.(y3)24(x2)C.(y3)24(x2)D.(y3)24(x2)9.过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有A.B.1条C.2条D.3条10.过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、,11一q,则一一等于pqA.2aB.-C.4a2a、填空题11 .抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4J3,则焦点到AB的距离为.12 .抛物线y=2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是.13 .P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作